6251

Из формул (3.3.5 − 3.3.7) вытекает, что преобразование вторых моментов нелинейным звеном зависит, как и в случае средних значений, от плотности вероятности сигнала на входе. В частности, для нормального

распределения, например, дисперсия на выходе зависит от дисперсии σ2x

и среднего значения mx как от параметров

Dy = σ2y = Dy (Dx ,mx )= Dy (σ2x ,mx ).

Еще более сложные вычисления предстоит выполнить, если требуется определить корреляционную функцию. Автокорреляционную функцию стационарного процесса можно найти по общей формуле (3.1.16)

Ky (τ)= M (y(t)y(t + τ))= M (ϕ(x(t))ϕ(x(t + τ)))=

пределения.

Спектральная плотность, как обычно, определится как преобразование Фурье от корреляционной функции (3.3.8) по формуле (3.1.22).

Пример 3.3.2. Найти автокорреляционную функцию и спектральную плотность нормального (гауссова) процесса, преобразованного квадратичным детектором y = x2 .

Двумерная плотность вероятности для нормального процесса равна

191

Не вдаваясь в подробности вычисления этого двойного интеграла, отметим, что результат получается весьма простым

Наличие в корреляционной функции постоянной составляющей говорит о присутствии в выражении для спектральной плотности дельтафункции.

Спектральную плотность определим по формуле (3.1.22)

∞ ∞

Sy (ω)= ∫Ky (τ)e− jωτdτ = 2πσ4xδ(ω)+ 2 ∫Kx (τ)Kx (τ)e− jωτdτ .

−∞ −∞

Второе слагаемое в последнем выражении преобразуем по теореме о свёртке в области изображений1. Окончательно получим

1 Изображение произведений оригиналов равно свёртке изображений.

192

Sy (ω)= 2πσ4xδ(ω)+ π1 ∞∫Sx (ω1)Sx (ω− ω1 )dω1 .

−∞

Значительно сложнее исследовать преобразование нелинейным звеном суммы сигнала и помехи. На этом останавливаться не будем.

3 . 3 . 2 . Статистическая линеар изация

Сложность точных решений статистических задач для нелинейных звеньев ещё больше возрастает для систем с обратной связью. Это обстоятельство заставляет применять приближенные методы исследования.

Одним из распространенных подобных методов является метод статистической линеаризации. Этот метод разработан И.Е. Казаковым и Дж. Бутоном в 1953−1954 г.г. и заключается в приближенной замене нелинейного преобразования стохастических процессов неким линейным, статистически эквивалентным преобразованием. В результате система в целом линеаризуется, и для её исследования можно применять аппарат линейной теории.

Пусть на входе нелинейного звена с характеристикой y = ϕ(x) имеется стационарный случайный процесс

x(t)= mx + x (t),

где x (t) − центрированная случайная составляющая.

Начнем с однозначной нечетной нелинейной зависимости ϕ(x). Процесс на выходе звена можно представить в виде суммы математического ожидания и центрированной случайной составляющей

193

y(t)= my + y (t).

При замене нелинейной зависимости эквивалентной линейной зависимостью следует установить критерии такой эквивалентности. В качестве подобных критериев, как правило, используют два: первый – это равенства средних значений и дисперсий эквивалентного и реального процессов и второй – минимум среднеквадратичного отклонения эквивалентного и реального процессов.

Рассмотрим первый критерий. Согласно ему должны выполняться равенства

Первое равенство (3.3.10) говорит об эквивалентности линейного звена при прохождении детерминированной составляющей входного процесса (среднего значения). Второе равенство является условием эквивалентности при прохождении центрированной случайной составляющей.

Тогда уравнение эквивалентного линейного звена можно представить в виде

Согласно уравнению (3.3.11) эквивалентная линейная зависимость может быть представлена двумя параллельными безынерционными звеньями, одно из которых (с коэффициентом передачи kс0 ) пропускает

194

только детерминированную, а другое (с коэффициентом передачи kс1 ) – центрированную случайную составляющую (рис. 3.7, а).

kc1

x (t) yэ (t)

б

Рис. 3.7.Статистическая линеаризация

Коэффициенты kс0 , kс1 можно найти из равенств (3.3.10). Из первого равенства следует, что коэффициент передачи для детерминированной составляющей (математического ожидания) равен

Из второго равенства вытекает, что коэффициент передачи случайной составляющей равен

Действительно, возведя в квадрат уравнение yэ (t)= kс1x (t) и усред-

нив, получим Dyэ = kc21Dx , откуда непосредственно следует выражение (3.3.13).

Коэффициенты kс0 , kс1 называются коэффициентами статистической линеаризации. Знак у коэффициента (3.3.13) определяется нелинейной функцией: если она возрастает в точке x = mx , то берется знак «плюс», если уменьшается, то знак «минус».

Из формул (3.3.12), (3.3.13) следует, что каждый из коэффициентов статистической линеаризации зависит от плотности вероятности процес-

са на входе нелинейного звена, то есть коэффициент kс0 зависит, в том

числе от σx , а коэффициент kс1 − от mx , что и показано штриховыми стрелками на рис. 3.7.

Поскольку математическое ожидание и дисперсия полностью определяют только нормальный закон распределения, то применение метода статистической линеаризации основано на предположении о нормальности распределения случайного сигнала на входе и о неискажении нормального распределения нелинейным звеном. Это обстоятельство и определяет погрешность данного метода линеаризации.

Рассмотрим второй критерий. Согласно ему уравнение эквивалентно-

Здесь уже коэффициенты уравнения (3.3.11) будут другими. Подставим выражение (3.3.11) в левую часть условия (3.3.14)

196

M ((y − kc0mx − kc1x (t))2 )= M (y2 )+ kc20mx2 + kc12 Dx − 2kc0mxmy − 2kc21M(x y).

Необходимое условие минимума полученного выражения – равенство нулю частных производных по коэффициентам kс0 и kс1 , откуда нетрудно получить

Как видно из выражений (3.3.15), первый коэффициент совпадает с ранее найденным, а выражение для второго коэффициента получается другим.

Для типовых нелинейностей и нормального закона распределения существуют таблицы коэффициентов статистической линеаризации, которые можно найти в многочисленной справочной литературе по теории автоматического управления.

Погрешность в расчетах, проведенных по первому и по второму критерию, примерно одинакова, но, как правило, имеет разный знак, в связи с чем рекомендуется для повышения точности для коэффициента kс1

брать среднее арифметическое, посчитанное по обоим критериям.

Если нелинейная характеристика ϕ(x) неоднозначна, уравнение такого звена, кроме самой переменной x будет содержать ещё и производную dxdt . В этом случае формулы (3.3.12), (3.3.13) и (3.3.15) неправомерны, и их нужно усложнять с учетом производной dxdt .

197

Если характеристика ϕ(x) несимметрична относительно начала координат, то есть не является нечетной, то проявляется эффект выпрямления входного сигнала. Это означает, что среднее значение выходного сигнала my не будет равно нулю даже, если среднее значение сигнала на входе mx = 0 . Поэтому в данном случае нельзя среднее значение myэ выражать через mx с помощью коэффициента kс0 , то есть нельзя записывать

myэ = kc0mx ,

и, соответственно, вместо схемы на рис. 3.7, а следует пользоваться схемой на рис. 3.7, б. Уравнение (3.3.11) также несколько видоизменяется и превращается в уравнение

yэ (t)= myэ + yэ (t)= my + kс1x (t),

где my вычисляется по формуле (3.3.4).

3 . 3 . 3 . Пр им енение статистическо й линеар изации для исследо вания точно сти зам кнутых САУ

Рассмотрим стандартную схему простейшей одноконтурной системы с единичной обратной связью (рис. 3.8), содержащую нелинейное звено, заданное нелинейной характеристикой ϕ(x) и линейную часть W(s). На вход системы поступает сумма детерминированного задающего воздей-

198

ствия g(t) и приведенного к входу случайного шума n(t). Задающее воздействие будем считать достаточно медленно1 изменяющимся, а сигнал помехи – нормально распределённым, стационарным процессом с нулевым средним, корреляционной функцией Kn(τ) и спектральной плотностью Sn(ω). Нелинейность предполагаем однозначной и нечетной.

б

Рис. 3.8. Статистическая линеаризация замкнутой системы

Проведя линеаризацию нелинейного звена, получим схему, показанную на рис. 3.8, б. Здесь детерминированная составляющая проходит по верхней ветви схемы через звено с коэффициентом передачи kc0(mx,σx), а центрированная случайная составляющая – по нижней ветви через звено с коэффициентом передачи kc1(mx,σx). В скобках для коэффициентов статистической линеаризации показано, что они зависят от неизвестных пока среднего mx и среднеквадратичного σx.

1 Термин «достаточно медленно» означает, что переходные процессы, вызванные задающим воздействием, не принимаются во внимание.

199

Выше было выяснено, что проведение статистической линеаризации обосновано, если распределение сигнала на входе нелинейного звена подчиняется нормальному закону распределения. В нашем случае сигнал на входе нелинейного звена x = g + n − y . При этом воздействие g – детерминированное, воздействие n распределено по нормальному закону, следовательно, предположение о нормальности сигнала x справедливо, только если нормальное распределение имеет сигнал y. Если сигнал на входе нелинейного звена имеет нормальный закон распределения, то пройдя через нелинейное звено, он будет иметь закон распределения, отличный от нормального. Но, как правило, линейная часть является фильтром низких частот, имея конечную полосу пропускания. Чем у́же полоса пропускания, тем ближе закон распределения к нормальному. Поэтому гипотеза фильтра чаще всего выполняется, и можно с полным основанием считать возможным проведение статистической линеаризации1.

Уравнение для детерминированной составляющей имеет вид

где Mx (s) и G(s) − лапласовы изображения среднего значения mx и задающего воздействия g соответственно.

Установившееся значение можно найти из выражения (3.3.16) по теореме о конечном значении

1 Можно провести аналогию с подобной гипотезой фильтра в методе гармонической линеаризации.

200