6251

Одной из таких характеристик является одномерная плотность вероятности p1(x1,t1). Произведение p1(x1,t1)dx1 есть вероятность того, что в момент времени t1 выполняется неравенство x1 ≤ x < x1 + dx1 . Одномерная плотность вероятности зависит от времени, то есть в разные моменты времени закон распределения случайной величины, вообще говоря, может быть различным.

Одномерная плотность вероятности не может характеризовать связь между значениями стохастического процесса в разные моменты времени. Для такой характеристики можно ввести двумерную плотность вероятности p2 (x1,t1;x2,t2 ). Тогда величина p2 (x1,t1;x2,t2 )dx1dx2 представляет собой вероятность того, что в момент времени t1 случайная величина x

попадёт в интервал x1 ≤ x < x1 + dx1 , а в момент времени t2 – в интервал x2 ≤ x < x2 + dx2 . Но и это ещё не полная характеристика случайного процесса. Продолжая подобные рассуждения, введём n-мерную плотность вероятности pn (x1,t1; x2,t2;...;xn ,tn ). Максимально полную информацию о стохастическом процессе мы будем иметь, если знаем все n-мерные плотности вероятности для любого n.

Однако существуют случайные процессы, для полной характеристики которых вовсе необязательно знать все многомерные плотности вероятности. Самый простой пример такого процесса – чисто случайный процесс, когда случайные величины для разных моментов времени являются независимыми. В этом случае все n-мерные плотности вероятности представляются произведением одномерных плотностей

pn (x1,t1;x2,t2;...;xn ,tn )= p1(x1,t1) p1(x2,t2 ) ... p1(xn,tn ).

151

Другой пример – так называемые марковские процессы, для которых все плотности вероятности получаются из двумерной плотности p2 (x1,t1;x2,t2 ). Марковские случайные процессы рассматриваются, как правило, в дискретном времени, и тогда поведение процесса в следующий момент времени зависит только от значения случайной величины в предшествующий момент и не зависит от того, какова была предыстория процесса.

Стохастические процессы можно поделить на стационарные и нестационарные. Стохастический процесс называется стационарным (в узком смысле), если все n-мерные плотности вероятности не зависят от одинакового сдвига τ всех точек t1, t2,…, tn по временно́й оси, то есть выполняется равенство

Статистические характеристики стационарного стохастического процесса не меняются во времени. Стационарный процесс в известном смысле является аналогом установившегося процесса. Любой переходной процесс не является стационарным.

Из равенства (3.1.7) в частности следует, что одномерная плотность вероятности стационарного процесса не зависит от времени

а двумерная плотность вероятности зависит только от разности моментов времени t2 − t1

152

Если есть два случайных процесса x(t) и y(t), то для оценки их статистической взаимосвязи можно применять плотности совместных вероятностей значений процесса x(t) − x1, x2,...xn и процесса y(t) − y1, y2,...,yn в

различные моменты времени t1,t2,...,tn . Если все такие функции не зависят от одинакового сдвига во времени, эти процессы называются стационарно связанными.

Для описания стохастических процессов используют те же средства, что и для случайных величин. Математическое ожидание вычисляется по формуле (3.1.4), но теперь оно в общем случае является функцией времени

Для стационарных процессов математическое ожидание (3.1.10) не зависит от времени и является константой, поскольку плотность вероятности p1 , входящая в подынтегральное выражение правой части (3.1.10) согласно (3.1.8) не зависит от времени t

Связь значений стохастического процесса для двух разных моментов времени может быть охарактеризована корреляционной (или, точнее, автокорреляционной) функцией

153

В выражении (3.1.12) использованы обозначения x(t1)= x1 иx(t2 )= x2 . Если в формуле (3.1.12) положить t1 =t2 =t , получим средний квадрат

−∞

Мерой статистической взаимосвязи двух стохастических процессов x(t) и y(t) является взаимная корреляционная функция

где p2(x,t1; y,t2 ) − двумерная совместная плотность распределения процессов x(t) и y(t) в моменты времени t1 и t2.

Иногда используют нормированные корреляционные функции − нормированную автокорреляционную функцию

154

и нормированную взаимную корреляционную функцию

Смысл введения нормированных функций в том, что, как нетрудно показать, их величина не превышает единицы ρx (t1,t2 )≤ 1, ρxy (t1,t2 )≤ 1 и

является безразмерной величиной.

Для стационарных процессов корреляционная функция зависит не от

двух моментов времени t1 и t2, а от их разности τ = t2 −t1

−∞

Если два процесса x(t)и y(t) являются стационарными и при этом стационарно связанными, их взаимная корреляционная функция зависит только от τ = t2 −t1

−∞ −∞

155

Во многих практических случаях моменты более высокого порядка не нужны, и можно пользоваться только первыми двумя моментами: математическим ожиданием и корреляционной функцией. Теории, ограничивающиеся только этими характеристиками, называются корреляционными теориями. Естественно считать, что в рамках корреляционной теории стационарными процессами будут те, у которых математическое ожидание не зависит от времени, а корреляционная функция зависит только от разности моментов времени. Такие процессы называются стационарными в широком смысле. Разумеется, процессы, стационарные в узком смысле, непременно стационарны в широком смысле, обратное же утверждение не всегда справедливо. Попутно отметим, что два первых момента определяют все последующие моменты для нормального закона распределения. Поэтому можно сказать, что корреляционная теория есть общая теория стохастических процессов с нормальным законом распределения. Дальнейшее изложение будет вестись именно в рамках корреляционной теории.

Вычисление статистических характеристик по формулам (3.1.11), (3.1.16) и (3.1.17) требует тщательной и кропотливой работы, поскольку усреднение ведётся по ансамблю реализаций и необходимы многочисленные эксперименты. Дело облегчается тем, что для многих стационарных стохастических процессов усреднение можно проводить не по множеству реализаций, а по времени. Среднее по времени вычисляется только по одной (но достаточно длинной) реализации стационарного стохастического процесса. На конечном интервале 2T среднее по времени определяется формулой

156

Среднее по времени на бесконечном интервале вычисляется по той же формуле (3.1.18) при T →∞

x = lim 1 T∫ x(t)dt .

T →∞ 2T −T

Стационарный стохастический процесс называется эргодическим, если среднее по ансамблю реализаций от величины, характеризующий процесс, равно среднему по времени.

Таким образом, для эргодических процессов математическое ожидание может быть вычислено по формуле

а корреляционная функция – по формуле

Ограничивая интервал T, получаем некоторые оценки соответствующих величин, которые (оценки) тем точнее, чем больше этот интервал.

При τ = 0 выражение (3.1.20) дает средний квадрат

T →∞ 2T −T

157

Если интерпретировать процесс x(t) как напряжение, приложенное к единичному сопротивлению, то энергия, рассеиваемая этим сопротивлением, численно равна квадрату амплитуды этого напряжения, помноженному на время действия функции x(t). Это дает основание назвать среднюю энергию, рассеиваемую за единицу времени, то есть средний квадрат (3.1.21), мощностью процесса, являющейся мерой интенсивности процесса.

Разумеется, те же формулы (3.1.19), (3.1.20), (3.1.21) могут быть применены и для определения математического ожидания и корреляционной функции детерминированных процессов.

Пример 3.1.1. Математическое ожидание постоянной величины a

равно ma = a , а корреляционная функция − Ka (τ)= a2 .

Пример 3.1.2. Среднее значение синусоиды x(t)= Asinωt равно, очевидно, нулю: mx = 0 . Корреляционную функцию вычислим по формуле (3.1.20):

Мощность такого синусоидального сигнала равна x2 = A22 .

Рассмотрим некоторые свойства корреляционной функции. Вопервых, автокорреляционная функция является четной, что следует из 158

равнозначности моментов времени в формуле (3.1.12) – от перестановки сомножителей произведение не меняется1. В частности, для стационарного процесса Kx (τ)= Kx (− τ).

Далее, автокорреляционная функция K(τ) принимает максимальное значение при τ=0, то есть

K(τ)≤ K(0).

С увеличением разницы между моментами времени t2 − t1 = τ корреляционная функция центрированного процесса убывает и при τ → ∞

уменьшается до нуля.

Взаимная корреляционная функция удовлетворяет так называемому неравенству Буняковского

Kxy (τ)≤ Kx (0) Ky (0).

Из формул (3.1.13), (3.1.14), (3.1.17) и (3.1.21) следует, что из корреляционной функции стационарного стохастического процесса можно получить:

− математическое ожидание

mx = x = Kx (∞) ,

− средний квадрат

1 Отметим, что взаимная корреляционная функция Kxy(τ), вообще говоря, не является четной.

159

x2 = Kx (0),

− дисперсию

Dx = Kx (0)− Kx (∞),

− среднеквадратичное отклонение

σx = Dx = Kx (0)− Kx (∞) .

Эффективной альтернативой исследованию детерминированных процессов во времени является переход в частотную область с применением преобразования Фурье. Непосредственное применение преобразования Фурье к стохастическим процессам не очень оправдано, поскольку в этом случае получается также некоторая случайная функция, но вот применить преобразование Фурье к неслучайной функции времени, характеризующей стохастический процесс, было бы, вероятно, весьма продуктивно. Такой неслучайной функцией является корреляционная функция. А.Я. Хинчин доказал, что для корреляционных функций стационарных эргодических процессов существуют интегралы Фурье.

Преобразование Фурье корреляционной функции называется спектральной плотностью

Поскольку преобразование Фурье взаимно-однозначно, обратное пре-

образование спектральной плотности даст корреляционную функцию 160