6251

Представление спектральной плотности в виде такого произведения называется факторизацией.

Тогда, в соответствии с формулой (3.2.6) можно считать, что воздействие на входе системы является результатом прохождения белого шума

сединичной интенсивностью через некоторое фиктивное линейное звено

счастотной передаточной функцией ψ(jω).

Доказано, что физически реализуемо лишь то звено, у которого полюсы частотной передаточной функции ψ(jω) расположены в верхней части комплексной плоскости. В дальнейшем считаем, что для функции

ψ(jω) это условие выполняется. Тогда у сопряженной функции ψ(− jω) полюсы расположены в нижней части комплексной плоскости.

Частотная передаточная функция оптимальной системы, полученная в виде (3.2.18) или (3.2.19), физически нереализуема, поэтому обозначим её Wопт.н (jω) («н» − нереализуемая).

С учетом вышеизложенного структурная схема системы, учитывающая передаточную функцию ψ(jω), приведена на рис. 3.5.

Рис. 3.5. Оптимальная нереализуемая система

Общая передаточная функция Wн(jω) также, очевидно, нереализуема и имеет вид с учетом (3.2.18), (3.2.19) и (3.2.21)

182

Функция веса, соответствующая этой передаточной функции, тоже, конечно, нереализуема и равна

Реализуемая весовая функция wр (t) совпадает с нереализуемой функцией (3.2.22) при t>0 и тождественно равна нулю при t<0

Фурье-изображение весовой функции wр (t)есть частотная передаточная функция реализуемой системы, и выражается формулой

Найденная передаточная функция состоит из последовательно соединённых звена с передаточной функцией ψ(jω) и оптимальной реализуемой системы, передаточная функция которой равна

Применение обратного преобразования Фурье к последнему выражению дает функцию веса физически реализуемой системы

Полученная весовая функция (3.2.24) является решением уравнения Винера−Хопфа (3.2.17) и удовлетворяет условиям физической реализуемости.

Вычисления по формуле (3.2.23) не настолько сложные, как это может показаться на первый взгляд. Рассуждаем следующим образом. Если бы

функции w′(t), то операция в квадратной скобке получает оригинал w′(t) из изображения, а в следующей операции − интегрирования от 0 до ∞ нижний предел можно поменять на −∞, поскольку w′(t)=0 при t<0, и мы опять получаем изображение из оригинала. Таким образом, обе операции компенсировали бы друг друга, и оптимальная передаточная функция

Фурье-изображение физически реализуемой весовой функции. Но оказывается, что для широкого круга задач можно разложить это выражение на простые дроби

184

где первое слагаемое в правой части представляет собой функцию с полюсами в верхней комплексной полуплоскости, а второе – с полюсами в нижней полуплоскости1.

Первое слагаемое с полюсами в верхней полуплоскости является Фурье-изображением физически реализуемой функции w′(t), равной нулю при t<0. Можно показать, что второе слагаемое, имеющее полюсы только в нижней полуплоскости, является Фурье-изображением такой весовой функции w′′(t), которая равна нулю при t>0. Но тогда операция в квадратной скобке переводит второе слагаемое в w′′(t), а следующая операция – интегрирование от 0 до ∞ − в нуль, так как w′′(t)=0 при t>0. Поэтому после подстановки суммы (3.2.25) в формулу (3.2.23) первое слага-

второе слагаемое даст нуль.

Окончательно выражение (3.2.23) для передаточной функции оптимальной реализуемой системы будет иметь вид

Сравнив полученное выражение с формулой (3.2.18) с учетом выражения (3.2.21)

1 Такая операция называется расщеплением.

185

3.3. Стохастические процессы в нелинейных САУ

3 . 3 . 1 . Про хо ждение случайно го сигнала чер ез нелинейные звенья

Выше при рассмотрении прохождения случайного сигнала через линейные звенья использовалось усреднение по времени. Для нелинейных же звеньев основой является усреднение по ансамблю.

Как и в случае детерминированных воздействий методы исследования прохождения случайного сигнала через нелинейные звенья и системы существенно отличаются от подобных методов для линейных систем: они значительно сложнее и разнообразнее. Эти методы существенно различаются в зависимости от одноили многозначности нелинейной характеристики, её динамических свойств, наличия или отсутствии в системе обратных связей и т.д. Из-за сложности или невозможности получения точных решений широкое распространение получили приближенные методы. Наиболее разработаны, конечно, самые простые случаи − именно, прохождение случайного сигнала через нелинейное звено с однозначной безынерционной характеристикой.

Рассмотрим как раз такой случай. На вход звена поступает стохастический процесс x(t) с плотностью вероятности px(t). Процесс на выходе обозначим через y(t) с плотностью вероятности py(t). Пусть нелинейное звено имеет однозначную монотонную возрастающую статическую характеристику y = ϕ(x). Обратную функцию обозначим x = ϕ−1(y), так,

что x = ϕ−1(ϕ(x)). Поскольку характеристика безынерционна, то плот187

Найдем распределение вероятности на выходе этого звена. Обратная функция равна x = ln y при y>0. По формуле (3.3.2) получаем

Поскольку выходная величина не может принимать отрицательные значения, вероятность их появления равна нулю. Окончательно получаем

Не столь просто обстоит дело, если обратная функция ϕ−1 является неоднозначной. Такие нелинейности рассматривать не будем.

Математическое ожидание выходного процесса можно подсчитать по формуле (3.1.4)

Учитывая, что y = ϕ(x) выражение (3.3.3) можно представить и в другой форме

189

Практически пользоваться можно либо выражением (3.3.3) либо формулой (3.3.4) в зависимости от удобства вычислений в том или другом случае.

Из формул (3.3.3), (3.3.4) следует, что связь математических ожиданий на входе и на выходе неоднозначная и зависит как от нелинейной характеристики, так и от плотности распределения сигнала на входе.

Довольно часто решается задача преобразования сигнала с нормальным законом распределения, который определяется только математическим ожиданием mx и дисперсией (или среднеквадратичным отклонением

σx ). В таком случае среднее значение на выходе зависит от нелинейной зависимости ϕ(x), и от mx и σx как параметров

Дисперсия может быть посчитана по формуле

Dy = M ((y − my )2 )= M (y2 − 2y my + m2y )= M (y2 )− m2y = y2 − m2y . (3.3.7)

190