6251
.pdf
|
|
1 ∞ |
|
K2 N |
|
|
K2N |
||
y2 = |
|
|
|||||||
|
−∞∫ |
|
|
|
dω = |
|
. |
||
2π |
|
1+ jωT |
|
2T |
|||||
|
|
Учитывая выражение (3.2.8), можно ввести понятие эквивалентной полосы пропускания для белого шума, имея в виду под последней полосу пропускания идеального фильтра низких частот Wэкв с единичным коэффициентом передачи (рис. 3.3), дающим на выходе такую же мощность сигнала, что и реальное звено с частотной передаточной функцией
W(jω).
|Wэкв| |
|W(jω)| |
|
|
|
1 |
−ωп |
ωп ω |
|
ω |
Рис. 3.3. Эквивалентная полоса пропускания
Если на вход идеального фильтра поступит белый шум интенсивностью N ( Sx (ω)= N ), то мощность выходного сигнала будет, очевидно
|
|
ωп |
N = N |
ω |
|
|
|
y2 = |
= N f ,(Гц) . |
(3.2.9) |
|||||
|
2π |
||||||
|
|
π |
|
|
Мощность сигнала на выходе реального звена в соответствии с формулой (3.2.8) равна
|
|
1 |
∞∫ |
|
W (jω) |
|
2 Sx (ω)dω = |
N |
∞∫ |
|
W(jω) |
|
2 dω . |
|
y2 = |
||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
2π −∞ |
|
|
|
|
π 0 |
|
|
|
|
171
Сравнивая последнее соотношение с формулой (3.2.9), получаем выражение для эквивалентной полосы пропускания
|
ω |
|
ω |
1 |
∞ |
|
W(jω) |
2 |
|
|
f ,(Гц) = |
|
= |
п = |
|
∫ |
|
|
dω . |
(3.2.10) |
|
2π |
|
|
||||||||
|
|
π |
π 0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
3 . 2 . 2 . Определение статистически о птим альных парам етро в
Переходим к задаче синтеза. По сути, любая задача синтеза – это задача поиска оптимальной в определённом смысле системы. Поскольку в данном разделе речь идет о статистической динамике систем, критерии оптимальности также рассматриваются статистические. Наиболее распространенный критерий – это средний квадрат ошибки. Распространенность этого критерия связана, во-первых, с простотой соответствующих вычислений, а, во-вторых, с очевидным требованием повышения точности САУ. Вообще, кроме этого критерия в различных системах могут быть использованы и другие статистические критерии: отношение сигнал/шум, вероятность обнаружения цели, если речь идет об обнаружении сигнала цели, например, в радиолокационных системах ПВО, вероятность ложной тревоги в вышеупомянутых радиолокационных системах и др.
Начнем с простейшего случая параметрического синтеза, когда известна передаточная функция САУ, но не заданы или могут меняться параметры этой передаточной функции.
Пусть на входе простейшей одноконтурной системы с единичной обратной связью имеется задающее воздействие g(t) и аддитивная приведённая к входу помеха n(t) (верхняя ветвь схемы на рис. 3.4, а). Считаем
полезный сигнал и помеху случайными стационарными эргодическими 172
независимыми процессами с заданными спектральными плотностями. Идеальный сигнал yэт(t) получается после преобразования задающего полезного сигнала воображаемой идеальной системой с передаточной функцией Wэт (нижняя ветвь схемы на рис. 3.4, а). Разница между идеальной (требуемой) выходной величиной и реально получаемой величиной представляет собой ошибку.
|
n(t) |
|
|
|
Φ |
|
|
g(t) |
|
W |
y(t) |
|
|
− |
|
|
− |
|
|
|
|
ε(t) |
|
|
|
|
|
|
|
Wэт |
yэт(t) |
|
|
|
|
|
|
а |
|
n(t) |
Φ |
εn (t) |
− |
|||
Sn(ω) |
Sε |
|
(ω) |
|||
|
|
|||||
|
|
|
|
n |
|
ε(t) |
|
|
|
|
|
|
|
g(t) |
|
εg (t) |
|
|||
Wэт−Φ |
|
|||||
Sg(ω) |
Sε |
g |
(ω) |
|
||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
Рис. 3.4. Формирование сигнала ошибки
Запишем выражение для ошибки в операторной форме
173
Ε(s)= Y |
(s)− Y(s)= G(s)W |
(s)− (G(s)+ N(s)) |
W(s) |
|
= |
|
|||||
эт |
эт |
1+W(s) |
(3.2.11) |
||
|
|
= G(s)(Wэт (s)− Φ(s))− N(s)Φ(s)= Εg (s)− Εn (s).
Структурная схема, построенная по выражению (3.2.11), приведена на рис. 3.4, б. Первое слагаемое в правой части формулы (3.2.11) это ошибка, обусловленная задающим воздействием, а второе – ошибка, связанная с помехой.
Вид эталонной передаточной функции зависит от решаемой задачи:
−для системы автоматического регулирования важна точная отработка задающего воздействия, поэтому Wэт (s)= 1 ,
−для системы связи допустима некоторая временная задержка и
Wэт (s)= Ke−τs ,
−для вычислительного устройства идеальная передаточная функция имеет вид в соответствии с выполняемой математической операцией,
например, для интегратора Wэт (s)= Kи s , для дифференциатора |
|
Wэт (s)= Kдs и т.п., |
|
− для экстраполятора W |
(s)= eτs , и т.д. |
эт |
|
В дальнейшем будем полагать, что рассматривается система автоматического регулирования, то есть Wэт (s)= 1 .
Ввиду независимости процессов g(t) и n(t) корреляционная функция ошибки Kε (τ) равна сумме корреляционных функций процессов
εg (t) и εn (t)
Kε (τ)= Kε g (τ)+ Kεn (τ),
174
и, следовательно, спектральная плотность Sε (ω) равна сумме соответствующих спектральных плотностей
Sε (ω)= Sε |
|
(ω)+ Sε |
(ω)= |
|
1− Φ(jω) |
|
2 Sg (ω)+ |
|
Φ(jω) |
|
2 Sn (ω). (3.2.12) |
|
|
|
|
|
|||||||
|
g |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
В выражении |
(3.2.12) применена формула (3.2.6) и учтено, что |
Wэт (s)= 1 .
Средний квадрат ошибки найдём из формулы (3.2.12) по выражению (3.2.8)
|
|
1 |
∞ |
|
1 |
∞ |
|
|||||||||
ε2 (t)= |
∫ |
|
1− Φ(jω) |
|
2 Sg |
(ω)dω + |
∫ |
|
Φ(jω) |
|
2 Sn |
(ω)dω . (3.2.13) |
||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
π 0 |
|
|
|
|
|
π 0 |
|
|
|
|
|
Минимизируя средний квадрат ошибки по изменяемому параметру ak, например, используя необходимое условие минимума
∂ε2 (t) = 0 , ∂ak
можно определить оптимальные значения варьируемых параметров системы.
|
|
Пример 3.2.3. Замкнутая система представляет собой апериодическое |
|||
звено первого |
порядка, то |
есть |
её передаточная функция равна |
||
Φ(s)= K 1+Ts . |
Полезный |
сигнал |
задан спектральной плотностью |
||
S |
g |
(ω)= 1 1+ ω2 , а помеха представляет собой белый шум интенсивностью |
|||
|
|
|
|
|
|
N. Требуется найти оптимальное значение коэффициента передачи K. |
|||||
|
|
Частотная передаточная функция замкнутой системы по ошибке равна |
|||
|
|
|
|
|
175 |
1− Φ(jω)= 1− K +Tjω .
1+Tjω
Подставляя соответствующие выражения в формулу (3.2.13), получим
|
|
∞ |
|
1− K + Tjω |
2 |
|
|
|
|
∞ |
|
2 |
|
|
|
||
Sε (ω)= |
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
K |
N |
|
|
||||||
∫ |
|
|
dω+ |
∫ |
|
|
|
|
dω . (3.2.14) |
||||||||
|
|
1+ Tjω |
1+ ω |
2 |
|
|
1 |
+ Tjω |
2 |
||||||||
|
2π −∞ |
|
|
|
2π −∞ |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Второе слагаемое полученной формулы уже было найдено (см. при-
мер 3.2.2) – оно равно K2N2T .
Подынтегральное выражение первого слагаемого приведем к таблич-
ному виду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1− K +Tjω |
|
2 1 |
|
|
|
(Tjω +1− K)(−Tjω+1− K) |
||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
1+Tjω |
|
1+ ω2 |
(1+Tjω)(1−Tjω)(1+ jω)(1− jω) |
|||||||||||||||
|
= |
−T2 (jω)2 + (1− K)2 |
|
−T2 (jω)2 + (1− K)2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
. |
|||||||
|
|
|
(1+Tjω) (1+ jω) |
|
2 |
|
|
T(jω)2 + (T +1)jω+1 |
|
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Далее по приложению 17 [8] для n=2 находим значение первого слагаемого формулы (3.2.14) и окончательно получаем выражение для среднего квадрата ошибки в виде
|
|
T − (1− K)2 |
K2 N |
|||
ε2 = |
||||||
|
+ |
|
. |
|||
2(T +1) |
2T |
Оптимальное значение Kопт определим из выражения
176
∂ε2 = K −1 + NK = 0 ,
∂K T +1 T
откуда
T
Kопт = + ( +1) .
T N T
3 . 2 . 3 . Синтез статистически о птимально й систем ы
Перейдем теперь к более сложному случаю, когда не задан даже сам вид передаточной функции системы. Требуется по известным статистическим характеристикам полезного сигнала и помехи определить передаточную (или весовую) функцию оптимальной в смысле минимума среднего квадрата ошибки системы.
Эта задача впервые была поставлена и решена акад. А.Н. Колмогоровым для дискретной случайной последовательности. Для непрерывного случая эта задача была решена несколько другим путем американским ученым Н. Винером.
Пусть на вход системы с передаточной функцией W(jω) и соответствующей ей весовой функцией w(t) поступает задающее воздействие (полезный сигнал) g(t) и аддитивная помеха (шум) n(t). Сигнал и шум являются взаимно независимыми стационарными эргодическими стохастическими процессами с известными корреляционными функциями
Kg(τ) и Kn(τ) соответственно. Необходимо найти передаточную функцию оптимальной системы, обеспечивающей минимум среднего квадрата ошибки.
177
Будем вести речь о системе автоматического регулирования, то есть идеальная передаточная функция для задающего воздействия Wэт (jω)= 1.
Величина ошибки, следовательно, равна (с учетом формулы (3.2.1))
ε(t)= g(t)− ∞∫w(τ)(g(t − τ)+ n(t − τ))dτ .
0
Предполагая физическую реализуемость системы (тождественное равенство нулю весовой функции при отрицательном аргументе), нижний предел в последнем интеграле можно изменить на −∞.
Квадрат ошибки равен
ε2 (t)= g2 (t)− 2g(t)∞∫w(τ)(g(t − τ)+ n(t − τ))dτ +
−∞
∞ ∞
+∫ ∫w(τ)w(ν)(g(t − τ)+ n(t − τ))(g(t − ν)+ n(t − ν))dτdν.
−∞ −∞
Здесь произведение двух независимых интегралов представлено в виде двойного интеграла.
Проводя усреднение последнего выражения с учетом независимости g(t) и n(t), получим
|
∞ |
∞ |
∞ |
|
ε2 (t)= Kg (0)− 2 ∫w(τ)Kg |
(τ)dτ + ∫ |
∫w(τ)w(ν)Kg+n |
(τ − ν)dτdν, (3.2.15) |
|
|
−∞ |
−∞ −∞ |
|
где Kg+n (τ) − корреляционная функция суммы сигнала g(t) и помехи n(t)1
1 В случае независимости сигнала и помехи Kg+n(τ)=Kg(τ)+Kn(τ).
178
Минимизировать полученное выражение можно методами вариационного исчисления. Положим wопт (t) − весовая функция, минимизирующая выражение (3.2.15). Заменим в выражении (3.2.15) функцию w(t) функ-
цией wопт (t)+ λf (t), где λ − некоторое число, а f(t) − любая функция из того же класса функций, что и wопт (t)
ε2 (t)= A+ 2Bλ + Cλ2 , |
(3.2.16) |
где
∞ |
|
∞ |
∞ |
|
A = Kg (0)− 2 ∫wопт (τ)Kg (τ)dτ + ∫ |
∫wопт (τ)wопт (ν)Kg+n |
(τ − ν)dτdν, |
||
−∞ |
|
−∞ −∞ |
|
|
∞ |
∞ |
∞ |
|
|
B = − ∫ f |
(τ)Kg (τ)dτ + ∫ |
∫ f (τ)wопт (ν)Kg+n (τ − ν)dτdν, |
||
−∞ |
−∞ −∞ |
|
|
∞∞
C = ∫ ∫ f (τ) f (ν)Kg+n (τ − ν)dτdν.
−∞ −∞
Величина ε2 будет минимальной при λ = 0 . Единственное значение
λ, отвечающие минимуму выражения (3.2.16), определяется из уравнения
∂ε2 = 0 = 2B + 2Cλ , ∂λ
откуда
λ = − B .
C
179
Из последнего выражения следует, что необходимым условием мини-
мума ε2 является B=0 или
∞ ∞ ∞
−∫ f (τ)Kg (τ)dτ + ∫ ∫ f (τ)wопт (ν)Kg+n (τ − ν)dτdν = 0 .
−∞ |
−∞ −∞ |
Полученное уравнение можно представить в виде
∞∫ |
f (τ) |
∞∫ |
wопт (ν)Kg+n (τ − ν)dν − Kg |
(τ) dτ= 0 . |
−∞ |
|
−∞ |
|
|
Поскольку последнее уравнение должно выполняться для произвольной функции f(t), нулю будет равно выражение в квадратной скобке
Kg (τ)= ∞∫ wопт (ν)Kg+n (τ − ν)dν . |
(3.2.17) |
−∞ |
|
Уравнение (3.2.17) относится к классу интегральных уравнений Винера−Хопфа. Можно показать, что уравнение (3.2.17) является не
только необходимым, но и достаточным условием минимума ε2 . Решение этого уравнения дает оптимальную весовую функцию системы. Нелишне напомнить, что в уравнении (3.2.17) предполагается равенство нулю весовой функции при отрицательном аргументе.
Решить уравнение Винера−Хопфа (3.2.17) несложно, если отвлечься от условия физической реализуемости системы. Действительно, применив к уравнению (3.2.17) теорему о свертке во временной области1, получим
1 Изображение свёртки оригиналов равно произведению изображений.
180