Учебники / Stroitelnaya_mekhanika

Основная

система

Рис. 9.14

Построение эпюр изгибающих моментов производится с помощью

данных табл. 9.1. Эпюра M F (грузовая эпюра) и эпюры M 1, M 2

(единичные эпюры) показаны на рис. 9.14,г-е. На рис. 9.14,д,е, кро­ ме того, штриховой линией показаны изогнутые оси балок, что по­ зволяет установить положения растянутых волокон на каждой из них и правильно изобразить эпюру моментов. На этих же рисунках показаны и реакции в связях, их направления приняты положительны­ ми (по направлениям положительных перемещений связей). Напом­

номер связи, в которой возникает реакция, а второй (к) - номер

перемещения, вызвавшего эту реакцию. В обозначении RiF второй

индекс (F ) означает, что причиной реакции является нагрузка F .

Для определения реакций статическим способом используются уравнения равновесия. В частности, поскольку в “плавающей” за­ делке может возникнуть только момент, то для определения его следу­ ет использовать уравнение равновесия вида ^ M = 0. Так, для опре­

деления R1F покажем усилия, действующие на узел в вырезанном

состоянии (рис. 9.15,а), и составим уравнение:

291

шется так:

Для определения Г12 (рис. 9.15,в) запишем уравнение:

292

Реакции в связях, препятствующих поступательным перемеще­ ниям узлов, определяются из условий равновесия фрагмента рамы. Все внешние и внутренние силы, действующие на фрагмент, кроме вычисляемой реакции, должны быть известны.

Для рассматриваемого примера при определении реакций R2F ,

r21, r22 такими фрагментами могут быть схемы, показанные на

рис. 9.15,г-е.

Записывая условия равновесия сил, показанных на каждом из этих рисунков, получим уравнения для определения неизвестных. В частности:

- из уравнения ^ X = 0 (рис. 9.15,г) получим:

- из уравнения ^ X = 0 (рис. 9.15,д) получим:

hh

-из уравнения ^ X = 0 (рис. 9.15,е) получим:

9.5.Кинематический способ определения коэффициентов

исвободных членов канонических уравнений

Рассмотрим какую-либо основную систему метода перемещений в единичных состояниях “к ” и “m ” (рис. 9.16,а,б). Возможная работа внешних сил состояния “к ” на перемещениях состояния “m ” равна:

Wkm = rmk ' 1.

293

б)

в)

ком «минус») возможной работе внутренних сил. Поэтому, выражая работу внутренних сил через изгибающие моменты M k в состоя­

нии « к » на соответствующих деформациях — m---- рамы в со-

E J

стоянии « m », получим:

294

Вычисление интегралов вида J M kM m dx сводится к численно-

му интегрированию (см. раздел 7.7), в простейших случаях - к “пе­ ремножению” эпюр изгибающих моментов. Следовательно, коэффи­ циенты канонических уравнений метода перемещений можно вычис­ лять так же, как и коэффициенты уравнений метода сил, посредством “перемножения” соответствующих эпюр изгибающих моментов.

Определив возможную работу внешних сил состояния “ m ” на перемещениях состояния “ к ” получим:

Wmk rkm ' 1 -

На основании теоремы о взаимности работ (7.4) запишем, что:

Wkm = Wmk ,

или

Получена формальная запись теоремы о взаимности реакций (пер­ вая теорема Дж. Рэлея (1842-1919)): реакция в связи “ m ” от еди­ ничного смещения связи “ к ” по своему направлению равна ре­ акции в связи “ к ” от единичного смещения связи “ m ” по сво­ ему направлению.

Рассмотрим далее состояние рамы “ к ” и состояние “i ”. В пер­ вом из них задано перемещение Zk = 1, а во втором - Ft = 1.

Возможная работа внешних сил состояния “ к ” на перемещениях состояния “ i ” (нет перемещений узлов):

295

Следовательно, равна нулю и работа внутренних сил:

M kM ,■dx

J — k— l------- = 0

E J

Однако, возможная работа внешних сил состояния “i ” на пере­ мещениях состояния “ k ” равна:

По теореме о взаимности работ (7.4) получим:

1 • S'ik + rki •1 = °.

Следовательно,

(9.8)

Выражение (9.8) представляет собой формальную запись теоре­ мы о взаимности реакций и перемещений (вторая теорема Дж. Рэлея): перемещение точки приложения силы F' = 1 по ее направлению, вызванное единичным перемещением “ к ”-й свя­ зи, равно (с обратным знаком) реакции в связи “ к ''” от Fi = 1.

Размерности реакций и перемещений в этом выражении совпадают. Они устанавливаются так:

размерность реакции в связи “ к ”

размерность r^

размерность силы F

размерность перемещения,

размерность 5\к =

соответствующего силе F размерность перемещения, соот­ ветствующего реакции в связи “ к ”

296

Для определения свободных членов RkF рассмотрим основную

систему метода перемещений в состояниях “ к ” и “F ”(грузовое состояние, рис. 9.16,г).

На основании теоремы о взаимности работ WkF = WFk . Раскры­ вая это равенство, получим RkF -1+ F • 5'гк = 0 . Отсюда следует, что:

Для определения перемещения(рис. 9.16,а) в статически не­

определимой системе по формуле Мора, как известно, одна из двух “перемножаемых” эпюр изгибающих моментов может быть построе­ на в статически определимой системе, полученной из заданной (в данном случае заданной является основная система метода переме­ щений). Тогда, обозначив эпюру изгибающих моментов в статически

определимой системе от F = 1 через MMF (рис. 9.16,д), получим:

Если внешней нагрузкой является группа сил, то под MMF необходимо понимать эпюру изгибающих моментов, построенную в ос­ новной системе метода сил от обобщенной единичной силы, соот­ ветствующей характеру заданного воздействия.

Подставив значение в выражение для RkF, получим:

Внося F под знак интеграла и вводя обозначение M F = F M F0, найдем:

297

Итак, вычисление грузовой реакции Rкр сводится к вычисле­

нию выражения (9.10), в котором: M к - единичная эпюра изги­

бающих моментов, построенная в основной системе метода пере­ мещений; M F0 - эпюра изгибающих моментов от заданной нагруз­ ки, построенная в статически определимой системе, полученной из основной системы метода перемещений с обязательным отбрасыва­ нием “ к ”-й связи или полученная из заданной статически неопре­ делимой системы.

Для определения R if построим в статически определимой системе, полученной из основной системы метода перемещений (рис. 9.14,в), эпюру изгибающих моментов М р а) (рис. 9.17,а). Индекс (а ) в обо­

значении M p a) соответствует варианту основной системы а ):

му, полученную из заданной системы (рис. 9.14,а), и построим эпю­ ру M F( ) (рис. 9.17,б):

298

Рис. 9.17

9.6. Построение и проверки эпюр M , Q, N

в заданной системе от внешней нагрузки

Решив систему канонических уравнений (9.4), найдем значения ос­ новных неизвестных метода перемещений. Для построения оконча­ тельной эпюры изгибающих моментов необходимо предварительно построить скорректированные единичные эпюры М (их называют “исправленными единичными эпюрами” моментов). Эпюра изгибаю­ щих моментов от внешней нагрузки в заданной статически неопреде­ лимой системе строится суммированием грузовой эпюры М р с “ис­

правленными единичными”, то есть ордината эпюры М в каждом сечении стержня вычисляется по формуле:

M k = M kF + M k1 Z 1+ M k2 Z 2 + ••• + M kn Z n .

Основной проверкой правильности окончательной эпюры изги­ бающих моментов M в методе перемещений является статическая проверка, сводящаяся, как известно, к проверке равновесия момен­ тов в узлах рамы.

Кроме того, как и в методе сил, для проверки правильности эпю­ ры M может быть применена кинематическая проверка: результат “перемножения” каждой единичной (или суммарной) эпюры момен­ тов метода сил на окончательную эпюру моментов должен быть ра­ вен нулю.

299

Эпюра поперечных сил Q строится, как и в методе сил, по эпюре M , а эпюра продольных сил N - по эпюре Q . Статиче­ ская проверка эпюр Q и N производится так же, как и в методе сил (в методе перемещений относится к основной).

П р и м е р 1. Построить эпюру изгибающих моментов в раме, изображенной на рис. 9.18,а.

Чтобы уменьшить число неизвестных, при подсчете степени ли­ нейной подвижности узлов рамы консоль, как статически определи­ мый фрагмент, отбрасываем. Тогда степень свободы W шарнирно­ стержневой системы (рис. 9.18,б) будет равна единице, то есть nл = 1.

Общее число неизвестных метода перемещений равно n = nу + nл =

= 2 +1 = 3 . На рис. 9.18,в показаны основная система и положи­ тельные направления основных неизвестных, а на рис. 9.18,г-ж - грузовая и единичные эпюры моментов.

Система канонических уравнений имеет вид:

Отметим некоторые особенности вычисления коэффициентов при неизвестных и свободных членов уравнений. Для определения коэф­ фициента Г32 запишем условие равновесия фрагмента (рис. 9.18,з) расчетной схемы, взятого из рис. 9.18,е:

X X = 0; r32 - 0,24EJ + 0,375EJ = 0, r32 = -0,135E J.

Пользуясь данными рис. 9.18,ж, можно убедиться в том, что со­ блюдается взаимность реакций: Г23 = Г32. Действительно, из усло­ вия равновесия моментов в узле (рис. 9.18,и) следует, что:

r23 - 0,24EJ + 0,375EJ = 0, r23 = -0 ,1 3 5 E J .

300