Трубопроводный транспорт нефти Вайншток часть 1

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru/i03/contacts

н‡НЛП У· ‡БУП, ВНЫ ВМЪМ˚В ЩУ ПЫО˚ (12.15) ‚ Ф ЛМˆЛФВ В¯‡˛Ъ ФУТЪ‡‚ОВММЫ˛ Б‡‰‡˜Ы У ‡Т˜ВЪВ МВТЪ‡ˆЛУМ‡ М˚ı Ф УˆВТТУ‚ ‚ МВЩЪВФ У‚У‰В, ФУТНУО¸НЫ ФУБ‚УОfl˛Ъ ‡ТТ˜ЛЪ‡Ъ¸ БМ‡˜ВМЛfl ‰‡‚ОВМЛИ Л ТНУ УТЪВИ ЪВ˜ВМЛfl ‚ ФУТОВ‰Ы˛˘ЛИ ПУПВМЪ ‚ ВПВМЛ ФУ ЛБ‚ВТЪМ˚П БМ‡˜ВМЛflП ˝ЪЛı Ф‡ ‡ПВЪ У‚ ‚

Ô Â‰˚‰Û˘ËÈ ПУПВМЪ ‚ ВПВМЛ. н‡Н Н‡Н Б‡ ФВ ‚˚И Ф В‰˚‰Ы- ˘ЛИ ПУПВМЪ ‚ ВПВМЛ ПУКМУ ‚БflЪ¸ М‡˜‡О¸МУВ ТУТЪУflМЛВ ФУЪУН‡ (Ъ.В. БМ‡˜ВМЛfl ‰‡‚ОВМЛИ Л ТНУ УТЪВИ ЪВ˜ВМЛfl ‚ ПУПВМЪ ‚ ВПВМЛ, Ф ЛМЛП‡ВП˚И Б‡ М‡˜‡О¸М˚И t = 0), ЪУ ‚˚˜ЛТОflfl ФУ ЩУ ПЫО‡П (12.15) ¯‡„ Б‡ ¯‡„УП БМ‡˜ВМЛfl ˝ЪЛı ‚ВОЛ˜ЛМ ‚ ФУТОВ‰Ы˛˘ЛВ ПУПВМЪ˚ ‚ ВПВМЛ, ПУКМУ ‡ТТ˜ЛЪ‡Ъ¸ Ф‡ ‡ПВЪ ˚ ФУЪУН‡ ‚ Ф УЛБ‚УО¸М˚И ПУПВМЪ ‚ ВПВМЛ Л Б‡ЪВП М‡ИЪЛ ‚ТВ ЛМЪВ ВТЫ˛˘ЛВ М‡Т ЪВıМУОУ„Л˜ВТНЛВ Ф‡ ‡ПВЪ ˚ МВТЪ‡ˆЛУМ‡ - МУ„У ВКЛП‡.

12.3.3. зДуДгъзхЦ а дкДЦЗхЦ млгйЗаь; млгйЗаь лйикьЬЦзаь

иЫТЪ¸ ЛТТОВ‰ЫВЪТfl МВТЪ‡ˆЛУМ‡ М˚И ВКЛП‡·УЪ˚ Ы˜‡ТЪН‡ МВЩЪВФ У‚У‰‡ Ф УЪflКВММУТЪ¸˛ L(0 ≤ x ≤ L) М‡˜ЛМ‡fl Т МВНУЪУ У„У ПУПВМЪ‡ t = 0, Ф ЛМЛП‡ВПУ„У Б‡ М‡- ˜‡О¸М˚И. нУ„‰‡ ‰Оfl ЪУ„У ˜ЪУ·˚ ЫБМ‡Ъ¸, Н‡Н ·Ы‰ВЪ ‡Б‚Л‚‡Ъ¸Тfl МВТЪ‡ˆЛУМ‡ М˚И Ф УˆВТТ ‚ Ъ Ы·УФ У‚У‰В, МВУ·ıУ‰ЛПУ ЛПВЪ¸ ЛМЩУ П‡ˆЛ˛ У ‰‚Ыı Ф ЛМˆЛФЛ‡О¸МУ ‚‡КМ˚ı ПУПВМЪ‡ı:

Н‡НУ‚У ·˚ОУ ЛТıУ‰МУВ ТУТЪУflМЛВ Ы˜‡ТЪН‡ МВЩЪВФ У‚У‰‡; ˜ЪУ Ф УЛТıУ‰ЛЪ М‡ Н ‡flı Ы˜‡ТЪН‡ (Ъ.В. ‚ ТВ˜ВМЛflı x = 0 Ë

x = L).

è ‚‡fl ËÌÙÓ Ï‡ˆËfl ÓÔ Â‰ÂÎflÂÚÒfl Ú‡Í Ì‡Á˚‚‡ÂÏ˚Ï Ì‡-

˜‡Î¸Ì˚Ï ÛÒÎÓ‚ËÂÏ, ‡ ‚ÚÓ ‡fl – Í ‡Â‚˚ÏË.

б‡ПВЪЛП, ˜ЪУ ЩУ ПЫО˚ (12.15) ФУБ‚УОfl˛Ъ УФ В‰ВОЛЪ¸ БМ‡- ˜ВМЛfl pM Ë uM ‚ Ф УЛБ‚УО¸МУИ ЪУ˜НВ ФУОУТ˚ 0 < x < L, t > 0, УФ В‰ВОfl˛˘ВИ Ы˜‡ТЪУН Ъ Ы·УФ У‚У‰‡ Б‡ ЛТНО˛˜ВМЛВП В„У М‡˜‡О¸МУ„У (x = 0) Ë ÍÓ̘ÌÓ„Ó (x = L) ТВ˜ВМЛИ. д УПВ ЪУ„У, ‰Оfl ‡Т˜ВЪ‡ МВУ·ıУ‰ЛП˚ БМ‡˜ВМЛfl ‰‡‚ОВМЛfl Л ТНУ УТЪЛ ‚ М‡˜‡О¸М˚И ПУПВМЪ ‚ ВПВМЛ tm=1 = 0.

342

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru/i03/contacts

燘‡Î¸Ì˚ ÛÒÎÓ‚Ëfl. лУТЪУflМЛВ Ы˜‡ТЪН‡ МВЩЪВФ У‚У‰‡ ‚ М‡˜‡О¸М˚И ПУПВМЪ ‚ ВПВМЛ ПУКВЪ ·˚Ъ¸ ‰УТЪ‡ЪУ˜МУ Ф УЛБ- ‚УО¸М˚П, МУ У˜ВМ¸ ˜‡ТЪУ ‚ Н‡˜ВТЪ‚В М‡˜‡О¸МУ„У ТУТЪУflМЛfl ·В ВЪТfl ТЪ‡ˆЛУМ‡ М˚И ВКЛП ФВ ВН‡˜НЛ, ‚ НУЪУ УП ЛБ‚ВТЪ- М˚ ‡ТФ В‰ВОВМЛfl М‡ФУ ‡ Л ‡ТıУ‰‡.

иЫТЪ¸, М‡Ф ЛПВ , ‚ ТЪ‡ˆЛУМ‡ МУП ВКЛПВ ФВ ВН‡˜НЛ ЛБ‚В- ТЪМ˚ ‡ТıУ‰ МВЩЪЛ Q = Q(x, 0) = Q0 Л ‡ТФ В‰ВОВМЛВ М‡ФУ-

‡ H(x, 0) = H0 – ix, „‰Â H0 = H(0, 0) – ̇ÔÓ ‚ ̇˜‡Î‡ÒÒÏ‡Ú Ë‚‡ÂÏÓ„Ó Û˜‡ÒÚ͇, ‡ i – „Л‰ ‡‚ОЛ˜ВТНЛИ ЫНОУМ, i =

= (H0 – HÍ)/L (Á‰ÂÒ¸ HÍ – М‡ФУ ‚ НУМˆВ Ы˜‡ТЪН‡). нУ„‰‡ М‡˜‡О¸М˚В ЫТОУ‚Лfl ‰Оfl ‡Т˜ВЪ‡ МВТЪ‡ˆЛУМ‡ МУ„У ВКЛП‡ ПУКМУ ‚БflЪ¸ ТОВ‰Ы˛˘ЛПЛ:

„‰Â k = 1, 2, …, N+1; xk = (k – 1)∆x; x1 = 0; ∆x = L/N, „‰Â N – ˜ЛТОУ ˜‡ТЪВИ, М‡ НУЪУ УВ ‡Б·Л‚‡˛Ъ Ы˜‡ТЪУН МВЩЪВФ У-

‚Ó‰‡ (xN+1 = L); zk = z(xk).

ä ‡Â‚˚ („ ‡Ì˘Ì˚Â) ÛÒÎÓ‚Ëfl. ÑÎfl ̇ıÓʉÂÌËfl Á̇˜ÂÌËÈ pM Ë uM ‚ НУМˆВ‚˚ı ТВ˜ВМЛflı МВУ·ıУ‰ЛПУ ЛТФУО¸БУ‚‡Ъ¸ Н ‡- В‚˚В ЛОЛ, Н‡Н Лı В˘В М‡Б˚‚‡˛Ъ, „ ‡Ì˘Ì˚ ÛÒÎÓ‚Ëfl. é· ‡- ÚËÏÒfl Í ËÒ. 12.4, 12.5 Ë 12.6.

Ç Î‚Ó Ò˜ÂÌË (x1 = 0) Ф ЛıУ‰ЛЪ ЪУО¸НУ У‰М‡ ı‡ ‡НЪВ Л- ТЪЛН‡ УЪ Лˆ‡ЪВО¸МУ„У М‡НОУМ‡, ФУ˝ЪУПЫ ‰Оfl У‰МУБМ‡˜МУ„У УФ В‰ВОВМЛfl Ф‡ ‡ПВЪ У‚ pm+1,1 Ë um+1,1 ‚ ÚӘ͇ı M(0, t) ОВ‚УИ „ ‡МЛˆ˚ МВУ·ıУ‰ЛПУ ЛПВЪ¸ В˘В У‰МЫ Т‚flБ¸ (‡О„В· ‡Л˜ВТНЫ˛ ЛОЛ ‰ЛЩЩВ ВМˆЛ‡О¸МЫ˛) ПВК‰Ы ˝ЪЛПЛ Ф‡ ‡ПВЪ ‡ПЛ. З Ф У- ТЪВИ¯ВП, МУ Ф ‡НЪЛ˜ВТНЛ ‚‡КМУП ТОЫ˜‡В, Ъ‡НУИ Т‚flБ¸˛ ПУКВЪ ·˚Ъ¸ (Q–H)-ı‡ ‡НЪВ ЛТЪЛН‡ ФВ ВН‡˜Л‚‡˛˘ВИ ТЪ‡МˆЛЛ,

343

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru/i03/contacts

НУЪУ ‡fl ПУКВЪ ·˚Ъ¸ Ф В‰ТЪ‡‚ОВМ‡ Т‚flБ¸˛ ‰‡‚ОВМЛfl pÌ = (0, t) ‚ ОЛМЛЛ М‡„МВЪ‡МЛfl Л ТНУ УТЪЛ u = u(0, t) Ô Â͇˜ÍË: pÌ = = p‚ + F(u) ФВ ВН‡˜Л‚‡˛˘ВИ ТЪ‡МˆЛЛ, ФУТОВ ЪУ„У Н‡Н М‡ МВИ Ф УЛБУ¯ОУ ЪУ ЛОЛ ЛМУВ ЛБПВМВМЛВ. з‡Ф ЛПВ , ФВ ‚УМ‡˜‡О¸- МУ ТЪ‡МˆЛfl ‡·УЪ‡О‡ Т У‰МЛП М‡·У УП ФВ ВН‡˜Л‚‡˛˘Лı ‡„ В- „‡ЪУ‚ – ˝ЪУПЫ ВКЛПЫ ТУУЪ‚ВЪТЪ‚У‚‡ОУ М‡˜‡О¸МУВ ТУТЪУflМЛВ (12.16), ‡ М‡˜ЛМ‡fl Т ПУПВМЪ‡ ‚ ВПВМЛ t = 0, ТЪ‡МˆЛfl ФВ В¯О‡ Н ‡·УЪВ ‚ ‰ Ы„УП ВКЛПВ, Т ЛМ˚П М‡·У УП ФВ ВН‡˜Л‚‡˛˘Лı ‡„ В„‡ЪУ‚ – ВПЫ ТЪ‡О‡ ТУУЪ‚ВЪТЪ‚У‚‡Ъ¸ ‰ Ы„‡fl ı‡ ‡НЪВ ЛТЪЛ- Н‡, ‡ ЛПВММУ pÌ = p‚ + F(u). àÎË Òڇ̈Ëfl ÓÒÚ‡ÌÓ‚Ë·Ҹ ‚Ó- ‚Ò – ÚÓ„‰‡ ‰Îfl ‚ÒÂı t > 0 ПУКМУ ФУОУКЛЪ¸ ЫТОУ‚ЛВ u = 0 , Л Ъ.‰. кЛТ. 12.5 ФУflТМflВЪ ТЛТЪВПЫ ‡О„В· ‡Л˜ВТНЛı Ы ‡‚МВМЛИ, НУЪУ ‡fl ТОЫКЛЪ ‰Оfl ПУ‰ВОЛ У‚‡МЛfl ОВ‚У„У Н ‡В‚У„У ЫТОУ‚Лfl:

лЛТЪВП‡ Ы ‡‚МВМЛИ (12.17) ТОЫКЛЪ ‰Оfl ‡Т˜ВЪ‡ БМ‡˜ВМЛИ pm+1,1 ‰‡‚ÎÂÌËfl Ë um+1,1 ТНУ УТЪЛ МВЩЪЛ ‚ М‡˜‡О¸МУП ТВ˜ВМЛЛ Ы˜‡ТЪН‡ Ъ Ы·УФ У‚У‰‡; Б‰ВТ¸ ‰‡‚ОВМЛВ ‚ ОЛМЛЛ ‚Т‡Т˚‚‡МЛfl.

Ç Ô ‡‚Ó Ò˜ÂÌË (xN+1 = L) Ы˜‡ТЪН‡ МВЩЪВФ У‚У‰‡ Ф ЛıУ- ‰ЛЪ Ъ‡НКВ ЪУО¸НУ У‰М‡ ı‡ ‡НЪВ ЛТЪЛН‡, МУ ЫКВ ФУОУКЛЪВО¸- МУ„У М‡НОУМ‡, ФУ˝ЪУПЫ ‰Оfl У‰МУБМ‡˜МУ„У УФ В‰ВОВМЛfl Ф‡ ‡-

ÏÂÚ Ó‚ pm+1,N+1, Ë um+1,N+1 ‚ ÚӘ͇ı Ô ‡‚ÓÈ „ ‡Ìˈ˚ Û˜‡ÒÚ͇ ÌÂÓ·ıÓ‰ËÏÓ ËÏÂÚ¸ ¢ ӉÌÛ Ò‚flÁ¸ (‡Î„· ‡Ë˜ÂÒÍÛ˛ ËÎË ‰ËÙ-

ЩВ ВМˆЛ‡О¸МЫ˛) ПВК‰Ы ˝ЪЛПЛ Ф‡ ‡ПВЪ ‡ПЛ. З ˜‡ТЪМУТЪЛ, Ъ‡Н‡fl Т‚flБ¸ ПУКВЪ ·˚Ъ¸ Ф В‰ТЪ‡‚ОВМ‡ Б‡‚ЛТЛПУТЪ¸˛ p(L, t) = = Φ[u(L, t)] ‰‡‚ОВМЛfl УЪ ТНУ УТЪЛ ( ‡ТıУ‰‡) ‚ НУМˆВ Ы˜‡ТЪН‡. З ·УОВВ Ф УТЪУП ТОЫ˜‡В ‚ НУМˆВ Ы˜‡ТЪН‡ ПУКМУ Б‡‰‡Ъ¸ ‰‡‚ОВ-

ÌË pm+1,N+1 = pÍ ËÎË ÒÍÓ ÓÒÚ¸ ( ‡ÒıÓ‰) um+1,N+1 = QÍ/S0 ЪВ- ˜ВМЛfl. кЛТ. 12.6 ФУflТМflВЪ ТЛТЪВПЫ ‡О„В· ‡Л˜ВТНЛı Ы ‡‚МВМЛИ,

НУЪУ ‡fl ТОЫКЛЪ ‰Оfl ПУ‰ВОЛ У‚‡МЛfl Ф ‡‚У„У Н ‡В‚У„У ЫТОУ‚Лfl:

лЛТЪВП‡ Ы ‡‚МВМЛИ (12.18) ТОЫКЛЪ ‰Оfl ‡Т˜ВЪ‡ БМ‡˜ВМЛИ pm+1,N+1 ‰‡‚ÎÂÌËfl Ë um+1,N+1 ТНУ УТЪЛ МВЩЪЛ ‚ НУМВ˜МУП ТВ˜В- МЛЛ Ы˜‡ТЪН‡ Ъ Ы·УФ У‚У‰‡.

ìÒÎÓ‚Ëfl ÒÓÔ flÊÂÌËfl. ÖÒÎË ÛÒÚ ÓÈÒÚ‚‡, fl‚Îfl˛˘ËÂÒfl Ô Ë-

щЪУ ЫТОУ‚ЛВ ‚ВТ¸П‡ Ф Л·ОЛКВММУ УФЛТ˚‚‡ВЪ Ф УˆВТТ УТЪ‡МУ‚НЛ ТЪ‡М- ˆЛЛ; М‡ Т‡ПУП ‰ВОВ МВУ·ıУ‰ЛПУ Ы˜ЛЪ˚‚‡Ъ¸ ЛМВ ˆЛУММ˚И ‚˚·В„ М‡ТУТУ‚ (ТП. ‰‡ОВВ).

344

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru/i03/contacts

˜ЛМУИ МВТЪ‡ˆЛУМ‡ МУ„У Ф УˆВТТ‡, М‡ıУ‰flЪТfl ‚МЫЪ Л Ы˜‡ТЪН‡ МВЩЪВФ У‚У‰‡, М‡Ф ЛПВ , ‚ ТВ˜ВМЛЛ x , 0 < x < L, ЪУ ‚ ˝ЪУИ ЪУ˜НВ ПУКВЪ ТЫ˘ВТЪ‚У‚‡Ъ¸ ‡Б ˚‚ МВФ В ˚‚МУТЪЛ „Л‰ ‡‚ОЛ- ˜ВТНЛı Ф‡ ‡ПВЪ У‚. щЪУЪ ‡Б ˚‚ УФ В‰ВОflВЪ ‰УФУОМЛЪВО¸М˚В ЫТОУ‚Лfl, М‡Б˚‚‡ВП˚В ÛÒÎÓ‚ËflÏË ÒÓÔ flÊÂÌËfl.

èÛÒÚ¸, Ì‡Ô ËÏ , ‚ Ò˜ÂÌËË x МВЩЪВФ У‚У‰‡ Ф УЛТıУ‰ЛЪ Т· УТ ЛОЛ ФУ‰Н‡˜Н‡ МВЩЪЛ Т ‡ТıУ‰УП q(q < 0 – Ò· ÓÒ, q > > 0 – ФУ‰Н‡˜Н‡). нУ„‰‡ Ъ‡НУВ ТВ˜ВМЛВ ı‡ ‡НЪВ ЛБЫВЪТfl МВФ В-˚‚МУТЪ¸˛ ‰‡‚ОВМЛfl Л ‡Б ˚‚УП ‡ТıУ‰‡. ЦТОЛ У·УБМ‡˜‡Ъ¸ Ф‡ ‡ПВЪ ˚ ЪВ˜ВМЛfl ФВ В‰ Т· УТУП ЛОЛ ФУ‰Н‡˜НУИ ·ЫН‚‡ПЛ Т ЛМ‰ВНТУП “–”, ‡ Б‡ МЛП – ·ЫН‚‡ПЛ Т ЛМ‰ВНТУП “+”, ЪУ ‚ ТВ˜ВМЛЛ x ‰ÓÎÊÌ˚ ‚˚ÔÓÎÌflÚ¸Òfl ÛÒÎÓ‚Ëfl

„‰Â ς(t) – ЛБПВМfl˛˘ЛИТfl ‚ Ф УˆВТТВ Б‡Н ˚ЪЛfl ЛОЛ УЪН ˚ЪЛfl НУ˝ЩЩЛˆЛВМЪ ПВТЪМУ„У ТУФ УЪЛ‚ОВМЛfl Б‡‰‚ЛКНЛ. иВ ‚УВ ЛБ ЫТОУ‚ЛИ (12.20) УБМ‡˜‡ВЪ МВФ В ˚‚МУТЪ¸ ‡ТıУ‰‡, ‚ЪУ УВ –‡Б ˚‚ ‰‡‚ОВМЛfl ФУ ‡БМ˚В ТЪУ УМ˚ Б‡‰‚ЛКНЛ. З НУМВ˜МУ-

‡БМУТЪМУП ‚Л‰В Б‡‰‚ЛКН‡ ПУ‰ВОЛ ЫВЪТfl ТЛТЪВПУИ Ъ Вı Ы ‡‚- МВМЛИ

345

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru/i03/contacts

12.3.4. кДлуЦн зЦлнДсайзДкзхп икйсЦллйЗ л муЦнйе азЦксайззхп лЗйвлнЗ кйнйкД зДлйлзйЙй ДЙкЦЙДнД

ЕУОВВ ТОУКМ˚П ‚Л‰УП Н ‡В‚У„У ЫТОУ‚Лfl ‚ М‡- ˜‡О¸МУП ТВ˜ВМЛЛ Ы˜‡ТЪН‡ МВЩЪВФ У‚У‰‡ fl‚ОflВЪТfl ТЛТЪВП‡ Ы ‡‚МВМЛИ, ПУ‰ВОЛ Ы˛˘‡fl ‡·УЪЫ ˆВМЪ У·ВКМУ„У ‡„ В„‡Ъ‡ Т Ы˜ВЪУП ЛМВ ˆЛУММ˚ı Т‚УИТЪ‚ В„У УЪУ ‡. З ˝ЪЛı Ф УˆВТТ‡ı ЛБПВМfl˛ЪТfl М‡ФУ МУ- ‡ТıУ‰М˚В ı‡ ‡НЪВ ЛТЪЛНЛ ˆВМЪ У·ВКМУ„У М‡„МВЪ‡ЪВОfl. иЫТЪ¸ J – ПУПВМЪ ЛМВ ˆЛЛ УЪУ ‡ М‡ТУТМУ„У ‡„ В„‡Ъ‡, ‡ ω – В„У Ы„ОУ‚‡fl ТНУ УТЪ¸. З ‡˘ВМЛВ УЪУ ‡ УФЛТ˚‚‡ВЪТfl У·˚НМУ‚ВММ˚П ‰ЛЩЩВ ВМˆЛ‡О¸М˚П Ы ‡‚МВМЛВП

‚ ÍÓÚÓ ÓÏ M‚ – ПУПВМЪ ТЛО М‡ ‚‡ОЫ УЪУ ‡ (‚ ‡˘‡ЪВО¸М˚И ПУПВМЪ, ‡Б‚Л‚‡ВП˚И Ф Л‚У‰УП); åÌ – ПУПВМЪ М‡„ ЫБНЛ, Ъ.В. ПУПВМЪ ТЛО ТУФ УЪЛ‚ОВМЛfl ‚ ‡˘ВМЛ˛ ‚‡О‡ УЪУ ‡.

ЦТОЛ М‡ТУТ ‡·УЪ‡ВЪ ‚ ТЪ‡ˆЛУМ‡ МУП ВКЛПВ Т ФУТЪУflММУИ ˜‡ТЪУЪУИ ω0 ‚ ‡˘ÂÌËfl ‚‡Î‡ ÓÚÓ ‡, ÚÓ ‚˚ÔÓÎÌflÂÚÒfl ‡- ‚ÂÌÒÚ‚Ó M‚ = åÌ. иУТНУО¸НЫ ПУ˘УТЪ¸ N ̇ÒÓÒ‡, Ò Ó‰ÌÓÈ ÒÚÓ ÓÌ˚, Ô Â‰ÒÚ‡‚ÎflÂÚÒfl Í‡Í M‚ ω0, ‡ Ò ‰ Û„ÓÈ – Òӄ·ÒÌÓ (8.25) Ó̇ ‡‚̇ ρ0g∆HQ/η, ЪУ ЛПВ˛Ъ ПВТЪУ ‡‚ВМТЪ‚‡

MÌ = M‚ = S0∆pω 0 u 1 ,

η ω 0

„‰Â ∆pω0 – ‰ЛЩЩВ ВМˆЛ‡О¸МУВ ‰‡‚ОВМЛВ, ‡Б‚Л‚‡ВПУВ М‡ТУ-

ТУП Ф Л ˜‡ТЪУЪВ ‚ ‡˘ВМЛfl В„У УЪУ ‡, ‡‚МУИ ω0; u = = Q/S0 – ТНУ УТЪ¸ Ъ ‡МТФУ ЪЛ У‚НЛ МВЩЪЛ.

ЦТОЛ Ф В‰ФУОУКЛЪ¸ ‰‡ОВВ, ˜ЪУ ‚ МВТЪ‡ˆЛУМ‡ МУП ВКЛПВ‡·УЪ˚ ˜‡ТЪУЪ‡ ω ‚ ‡˘ВМЛfl УЪУ ‡ М‡ТУТ‡ ЛБПВМflВЪТfl, МУ ФУОЫ˜ВММ‡fl ‰Оfl ПУПВМЪ‡ åÌ ÒËΠ̇„ ÛÁÍË ÙÓ ÏÛ· ÒÓı ‡Ìfl-

346

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru/i03/contacts

ВЪТfl ‚ У·˘ВП ТОЫ˜‡В, ЪУ ‰ЛЩЩВ ВМˆЛ‡О¸МУВ Ы ‡‚МВМЛВ (12.21) ‚ ‡˘ВМЛfl УЪУ ‡ ПУКМУ Ф В‰ТЪ‡‚ЛЪ¸ ‚ ‚Л‰В:

„‰Â ∆ ω – ‰ЛЩЩВ ВМˆЛ‡О¸МУВ ‰‡‚ОВМЛВ, ‡Б‚Л‚‡ВПУВ М‡ТУТУП Ф Л ˜‡ТЪУЪВ ‚ ‡˘ВМЛfl В„У УЪУ ‡, ‡‚МУИ ω. ЦТОЛ å‚ = = const, ЪУ Н ‡В‚УВ ЫТОУ‚ЛВ ‚ М‡˜‡О¸МУП ТВ˜ВМЛЛ МВЩЪВФ У- ‚У‰‡ ПУКМУ Ф В‰ТЪ‡‚ЛЪ¸ ТЛТЪВПУИ Ы ‡‚МВМЛИ:

„‰Â ∆ ω = (0, t)–p‚ – ‰ЛЩЩВ ВМˆЛ‡О¸МУВ ‰‡‚ОВМЛВ, ‡Б‚Л- ‚‡ВПУВ М‡ТУТУП; ∆pω0 = F(u) – Â„Ó „ˉ ‡‚΢ÂÒ͇fl ı‡ ‡ÍÚÂ-

ЛТЪЛН‡; u = u(0, t).

мТОУ‚Лfl (12.23) Ф В‰ТЪ‡‚Оfl˛Ъ ТУ·УИ ТЛТЪВПЫ ‰‚Ыı Ы ‡‚МВМЛИ, Т‚flБ˚‚‡˛˘Ы˛ Ъ Л МВЛБ‚ВТЪМ˚В ‚ М‡˜‡О¸МУП ТВ˜ВМЛЛ ЩЫМНˆЛЛ: ω(0, t), (0, t), u(0, t). ЦТОЛ Н ˝ЪЛП Ы ‡‚МВМЛflП ‰У·‡- ‚ЛЪ¸ ЫТОУ‚ЛВ М‡ ı‡ ‡НЪВ ЛТЪЛНВ (12.17) УЪ Лˆ‡ЪВО¸МУ„У М‡- НОУМ‡, Ф ЛıУ‰fl˘ВИ ‚ М‡˜‡О¸МУВ ТВ˜ВМЛВ МВЩЪВФ У‚У‰‡

(0, t) – ρ0cu(0, t) = p(∆x, t – ∆t) – ρ0cu(∆x, t – ∆t) +

+ ∆xϕ(∆x, t – ∆t),

ЪУ ФУОЫ˜ЛП ТЛТЪВПЫ Ы ‡‚МВМЛИ, ‰УТЪ‡ЪУ˜МЫ˛ ‰Оfl УФ В‰ВОВМЛfl ‚ТВ Ъ Вı МВЛБ‚ВТЪМ˚ı ЩЫМНˆЛИ.

ÄÎ„Ó ËÚÏ ‡Ò˜ÂÚÓ‚. иЫТЪ¸, М‡Ф ЛПВ , Ъ В·ЫВЪТfl ‡ТТ˜Л- Ъ‡Ъ¸ ВКЛП ‡·УЪ˚ МВЩЪВФ У‚У‰‡, ТУТЪУfl˘В„У ЛБ ‰‚Ыı ФУТОВ‰У‚‡ЪВО¸М˚ı Ы˜‡ТЪНУ‚, ‚УБМЛН‡˛˘ЛИ Ф Л УЪНО˛˜ВМЛЛ Ф УПВКЫЪУ˜МУИ ФВ ВН‡˜Л‚‡˛˘ВИ ТЪ‡МˆЛЛ (x = L1) ( ЛТ. 12.7). а ФЫТЪ¸ М‡˜‡О¸МУВ ТУТЪУflМЛВ У·УЛı Ы˜‡ТЪНУ‚ МВЩЪВФ У‚У‰‡ ЛБ‚ВТЪМУ, Ъ.В. ЛБ‚ВТЪМ˚ ‰‡‚ОВМЛfl p1,k Ë ÒÍÓ ÓÒÚË u1,k ‚Ó ‚ÒÂı

ТВ˜ВМЛflı МВЩЪВФ У‚У‰‡ Ф Л t = 0 (ТП. ЩУ ПЫОЫ (12.16)). к‡ТТПУЪ ЛП МВТЪ‡ˆЛУМ‡ М˚И Ф УˆВТТ, ‚УБМЛН‡˛˘ЛИ ‚

МВЩЪВФ У‚У‰В ФУТОВ УЪНО˛˜ВМЛfl (Ф Л t = 0) Ф УПВКЫЪУ˜МУИ ФВ ВН‡˜Л‚‡˛˘ВИ ТЪ‡МˆЛЛ, ‡·УЪ‡‚¯ВИ ‰У ˝ЪУ„У Т ФУТЪУflММУИ ˜‡ТЪУЪУИ ω0. йЪНО˛˜ВМЛВ ТЪ‡МˆЛЛ ПУ‰ВОЛ ЫВЪТfl ЪВП, ˜ЪУ ‚ ‡- ˘‡ЪВО¸М˚И ПУПВМЪ å‚ Ô Ë‚Ó‰‡ ̇ÒÓÒ‡ ‚ Û ‡‚ÌÂÌËflı (12.21)– (12.23) ÔÓ·„‡ÂÚÒfl ‡‚Ì˚Ï ÌÛβ: å‚ = 0 Ô Ë t > 0.

и В‰ФУОУКЛП ‰‡ОВВ, ˜ЪУ ЛБ‚ВТЪМ˚ ‰‡‚ОВМЛfl pm,k Ë ÒÍÓ Ó-

347

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru/i03/contacts

êËÒ. 12.7. ä ‡Î„Ó ËÚÏÛ ‡Ò˜ÂÚ‡

ÒÚË um,k ‚Ó ‚ÒÂı ÛÁ·ı (xk, tm) m-„У ‚ ВПВММУ„У ТОУfl, ФУН‡КВП, Н‡Н УФ В‰ВОfl˛ЪТfl БМ‡˜ВМЛfl pm+1,k, um+1,k ÒÎÂ‰Û˛˘Â„Ó, (m+1)-

‚ ВПВММУ„У ТОУfl (tm+1 = tm + ∆t).

Ç Ì‡˜‡Î¸ÌÓÏ Ò˜ÂÌËË x = 0 (ÚӘ͇ M0) Á̇˜ÂÌËfl pm+1,1, Ë um+1,1 ÌÂËÁ‚ÂÒÚÌ˚ı ÙÛÌ͈ËÈ Ì‡ıÓ‰flÚÒfl Ò ÔÓÏÓ˘¸˛ ÙÓ ÏÛÎ (12.17), Û˜ËÚ˚‚‡˛˘Ëı ΂ÓÂ Í ‡Â‚Ó ÛÒÎÓ‚ËÂ, ÍÓÌÍ ÂÚÌÓ, ‡- ·ÓÚÛ Ô ‚ÓÈ Ô Â͇˜Ë‚‡˛˘ÂÈ Òڇ̈ËË.

ÇÓ ‚ÒÂı „ÛÎfl Ì˚ı ÛÁ·ı M1 ФВ ‚У„У Ы˜‡ТЪН‡ МВЩЪВФ У‚У- ‰‡ БМ‡˜ВМЛfl pm+1,k, um+1,k ‡ÒÒ˜ËÚ˚‚‡˛ÚÒfl ÔÓ ÙÓ ÏÛÎ‡Ï (12.15).

йТУ·˚П ТФУТУ·УП ‡ТТ˜ЛЪ˚‚‡˛ЪТfl БМ‡˜ВМЛfl Ф‡ ‡ПВЪ У‚ ‚ ТВ˜ВМЛЛ x = L1, ÚӘ͇ M2(xs = L1, t), ‚ НУЪУ УП ЫТЪ‡МУ‚ОВМ‡ Ф УПВКЫЪУ˜М‡fl ФВ ВН‡˜Л‚‡˛˘‡fl ТЪ‡МˆЛfl. СОfl ‡Т˜ВЪ‡ ЛТФУО¸БЫВЪТfl ТЛТЪВП‡ ˜ВЪ˚ Вı ‡О„В· ‡Л˜ВТНЛı Ы ‡‚МВМЛИ:

Ô Â͇˜Ë‚‡˛˘ÂÈ Òڇ̈ËË Ô Ë ÛÏÂ̸¯‡˛˘ÂÏÒfl ˜ËÒÎÂ Ó·Ó Ó- ÚÓ‚ ̇ÒÓÒ‡ (ÓÚ ω0 Ô Ë t = 0); ˜ВЪ‚В ЪУВ – ‰ЛЩЩВ ВМˆЛ‡О¸- МУВ Ы ‡‚МВМЛВ ‚ ‡˘ВМЛfl УЪУ ‡ М‡ТУТ‡, ФУТЪВФВММУ ЫПВМ¸-

¯‡˛˘Â„Ó Ò‚Ó˛ ˝Ì „˲ (ÓÚ Á̇˜ÂÌËfl J ω20 /2) ‚ Ô ÓˆÂÒÒ ‚˚·Â„‡. й·˚˜МУ ТМ‡˜‡О‡ ‡Б В¯‡ВЪТfl ФУТОВ‰МВВ Ы ‡‚МВМЛВ ТЛТЪВП˚, ‡ Б‡ЪВП ТУ‚ПВТЪМУ В¯‡˛ЪТfl Ъ Л ФВ ‚˚В Ы ‡‚МВМЛfl.

348

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru/i03/contacts

ÇÓ ‚ÒÂı „ÛÎfl Ì˚ı ÛÁ·ı M3 ‚ЪУ У„У Ы˜‡ТЪН‡ МВЩЪВФ У‚У- ‰‡ БМ‡˜ВМЛfl ‡ТТ˜ЛЪ˚‚‡˛ЪТfl ФУ ЩУ ПЫО‡П (12.15).

Ç ÍÓ̘ÌÓÏ Ò˜ÂÌËË x = L (ÚӘ͇ M4) Á̇˜ÂÌËfl pm+1,N+1 Ë um+1,N+1 ÌÂËÁ‚ÂÒÚÌ˚ı ÙÛÌ͈ËÈ Ì‡ıÓ‰flÚÒfl Ò ÔÓÏÓ˘¸˛ ÙÓ ÏÛÎ

(12.18), Ы˜ЛЪ˚‚‡˛˘Лı Ф ‡‚УВ Н ‡В‚УВ ЫТОУ‚ЛВ, М‡Ф ЛПВ , ФУТЪУflММУВ ‰‡‚ОВМЛВ ‚ НУМˆВ МВЩЪВФ У‚У‰‡.

иУТОВ ЪУ„У, Н‡Н БМ‡˜ВМЛfl ‚ТВı Ф‡ ‡ПВЪ У‚ ФУЪУН‡ ‚ ПУПВМЪ ‚ ВПВМЛ tm+1 М‡И‰ВМ˚, Ф УˆВТТ ‡Т˜ВЪ‡ ФУ‚ЪУ flВЪТfl ТМУ‚‡ ‰Оfl ПУПВМЪ‡ ‚ ВПВМЛ tm+2 = tm+1 + ∆t Л Ъ.‰. к‡БЫПВВЪТfl, ФУ‰У·М˚В ‡Т˜ВЪ˚ ‚˚ФУОМfl˛ЪТfl Т ФУПУ˘¸˛ НУПФ¸˛- ЪВ У‚.

349