Трубопроводный транспорт нефти Вайншток часть 1

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru/i03/contacts

12.2. ЙаСкДЗгауЦлдав мСДк З зЦонЦикйЗйСДп

‚НО˛˜ВМЛfl (ЛОЛ УЪНО˛˜ВМЛfl) М‡ТУТ‡ Л Ъ.‰., ‚ ВБЫО¸Ъ‡ЪВ ˜В„У Ф УЛТıУ‰ЛЪ ВБНУВ ЪУ ПУКВМЛВ (ЛОЛ ЫТНУ ВМЛВ) ФУЪУН‡ Л Ы‰‡ МУВ ТК‡ЪЛВ ВВ ˜‡ТЪЛˆ.

о УМЪ, М‡ НУЪУ УП Ф УЛТıУ‰ЛЪ ЛБПВМВМЛВ „Л‰ У‰ЛМ‡ПЛ- ˜ВТНЛı Ф‡ ‡ПВЪ У‚ КЛ‰НУТЪЛ ЛПВВЪ УЪМУТЛЪВО¸МУ П‡ОЫ˛ Ф УЪflКВММУТЪ¸ Л ‚ ‚Л‰В ‚УОМ˚ ‰‡‚ОВМЛfl ‡ТФ УТЪ ‡МflВЪТfl ФУ ФУЪУНЫ. ДМ‡ОУ„Л˜МУВ fl‚ОВМЛВ ‚УБМЛН‡ВЪ ‚ МВЩЪВФ У‚У‰В Л ‚ ‰ Ы„Лı ТОЫ˜‡flı, НУ„‰‡ Ф УЛТıУ‰ЛЪ ТН‡˜НУУ· ‡БМУВ ЛБПВМВМЛВ ТНУ УТЪЛ ( ‡ТıУ‰‡) КЛ‰НУТЪЛ. ЗУБПУКМУТЪ¸ „Л‰ ‡‚ОЛ˜ВТНУ„У Ы‰‡ ‡ ТОВ‰ЫВЪ Ы˜ЛЪ˚‚‡Ъ¸ Ф Л Ф УВНЪЛ У‚‡МЛЛ Л ˝НТФОЫ‡Ъ‡ˆЛЛ МВЩЪВФ У‚У‰У‚, ФУТНУО¸НЫ Ы‰‡ МУВ ‰‡‚ОВМЛВ ПУКВЪ М‡ПМУ„У Ф В‚˚ТЛЪ¸ ‰УФЫТЪЛП˚В МУ П˚, Ф Л‚ВТЪЛ Н ‡Б ˚‚Ы Ъ Ы·˚ Л ‚УБМЛНМУ‚ВМЛ˛ ‡‚‡ ЛИМУИ ТЛЪЫ‡ˆЛЛ.

лНУ УТЪ¸ ‡ТФ УТЪ ‡МВМЛfl ‚УОМ „Л‰ ‡‚ОЛ˜ВТНУ„У Ы‰‡ ‡ ‚ ТЪ‡О¸М˚ı МВЩЪВФ У‚У‰‡ı ·ОЛБН‡ Н БМ‡˜ВМЛ˛ 1000 П/Т, ‡ ЛБПВМВМЛВ ТНУ УТЪЛ ЪВ˜ВМЛfl М‡ 1 П/Т ‚˚Б˚‚‡ВЪ ЛБПВМВМЛВ ‰‡‚- ОВМЛfl Ф ЛПВ МУ М‡ 9,0 ‡ЪП.

зВУ·ıУ‰ЛПУТЪ¸ Т˜ЛЪ‡Ъ¸Тfl Т ‡Б Ы¯ЛЪВО¸МУИ ТЛОУИ „Л‰-‡‚ОЛ˜ВТНУ„У Ы‰‡ ‡ ‚ Ъ Ы·УФ У‚У‰‡ı, Ъ ‡МТФУ ЪЛ Ы˛˘Лı Н‡ФВО¸М˚В КЛ‰НУТЪЛ (МВЩЪ¸, МВЩЪВФ У‰ЫНЪ˚, ‚У‰Ы Л Ъ.Ф.), ‚˚ ‡К‡ВЪТfl ‚ ЪУП, ˜ЪУ М‡ ФУ‰У·М˚ı Ъ Ы·УФ У‚У‰‡ı (‚ УЪОЛ- ˜ЛВ УЪ „‡БУФ У‚У‰У‚) ÌËÍÓ„‰‡ Ì ÛÒڇ̇‚ÎË‚‡˛Ú Í ‡Ì˚, ·˚ТЪ У ФВ ВН ˚‚‡˛˘ЛВ ТВ˜ВМЛВ Ъ Ы·УФ У‚У‰‡, ‡ М‡У·У-УЪ, Ф ЛПВМfl˛Ъ ‚ВМЪЛО¸М˚В Б‡‰‚ЛКНЛ, ‰‡˛˘ЛВ ПВ‰ОВММУВ ФВ ВН ˚ЪЛВ ТВ˜ВМЛfl Л У·ВТФВ˜Л‚‡˛˘ЛВ ·ВБУФ‡ТМЫ˛

΢ÂÒÍÓ„Ó Û‰‡ ‡ М‡ ТОЫ˜‡И, ВТОЛ ТЪ‡МˆЛfl ‚МВБ‡ФМУ УЪНО˛˜ЛЪТfl Л ‰‡‚ОВМЛВ ФВ В‰ МВИ М‡˜МВЪ ФУ‚˚¯‡Ъ¸Тfl. и ЛМˆЛФ ‰ВИТЪ- ‚Лfl „‡ТЛЪВОВИ „Л‰ ‡‚ОЛ˜ВТНУ„У Ы‰‡ ‡ ТУТЪУЛЪ ‚ УЪ‚У‰В ˜‡ТЪЛ КЛ‰НУТЪЛ ЛБ Ъ Ы·УФ У‚У‰‡ ‚ ТФВˆЛ‡О¸М˚И ВБВ ‚Ы‡ ‰Оfl ТМЛКВМЛfl ЪВПФ‡ М‡ ‡ТЪ‡МЛfl ‰‡‚ОВМЛfl. з‡ ОЛМЛflı М‡„МВЪ‡- МЛfl ФВ ВН‡˜Л‚‡˛˘Лı ТЪ‡МˆЛИ ЫТЪ‡М‡‚ОЛ‚‡˛Ъ ТЛТЪВП˚ ‡‚ЪУ- П‡ЪЛ˜ВТНУ„У В„ЫОЛ У‚‡МЛfl, У‰М‡ ЛБ Б‡‰‡˜ НУЪУ ˚ı ТУТЪУЛЪ

332

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru/i03/contacts

‚ Б‡˘ЛЪВ ТЪ‡МˆЛИ УЪ Ы‰‡ М˚ı ‚УОМ ‰‡‚ОВМЛfl, ‡ТФ УТЪ ‡Мfl- ˛˘ЛıТfl ‚‚В ı ФУ ФУЪУНЫ Л Ф ЛıУ‰fl˘Лı Т Ф В‰˚‰Ы˘В„У Ы˜‡- ТЪН‡.

ЗФВ ‚˚В Ф ‡‚ЛО¸МУВ У·˙flТМВМЛВ „Л‰ ‡‚ОЛ˜ВТНУ„У Ы‰‡ ‡ ‰‡О М‡¯ ‚ВОЛНЛИ ТУУЪВ˜ВТЪ‚ВММЛН з.Ц. ЬЫНУ‚ТНЛИ ‚ НУМˆВ Ф У- ¯ОУ„У ‚ВН‡. Ц„У ЛТТОВ‰У‚‡МЛfl ·˚ОЛ ‚˚ФУОМВМ˚ М‡ еУТНУ‚- ТНУИ ‚У‰УФ У‚У‰МУИ ТЪ‡МˆЛЛ, ‡ Т‡П‡ ‡·УЪ‡ “й „Л‰ ‡‚ОЛ˜ВТНУП Ы‰‡ В ‚ ‚У‰УФ У‚У‰М˚ı Ъ Ы·‡ı” (1899) ТЪ‡О‡ НО‡ТТЛ˜ВТНУИ ‡·УЪУИ ЛБ‚ВТЪМУИ ‚У ‚ТВП ПЛ В. з.Ц. ЬЫНУ‚ТНЛИ ‚ФВ - ‚˚В Т‚flБ‡О БМ‡˜ВМЛВ Ы‰‡ МУ„У ‰‡‚ОВМЛfl ∆ ТУ Т‚УИТЪ‚‡ПЛ ТКЛП‡ВПУТЪЛ КЛ‰НУТЪЛ Л ЫФ Ы„УТЪЛ ТЪВМУН Ъ Ы·УФ У‚У‰‡ Л ФУОЫ˜ЛО БМ‡ПВМЛЪ˚В ЩУ ПЫО˚ (12.6) Л (12.7).

ЗУОМ˚ „Л‰ ‡‚ОЛ˜ВТНУ„У Ы‰‡ ‡, „ВМВ Л ЫВП˚В ‚ МВЩЪВФ У- ‚У‰‡ı ВБНЛПЛ ЛБПВМВМЛflПЛ ТНУ УТЪЛ ФУЪУН‡, ПУ„ЫЪ ‡ТФ У- ТЪ ‡МflЪ¸Тfl М‡ БМ‡˜ЛЪВО¸М˚В ‡ТТЪУflМЛfl, ФУТЪВФВММУ Б‡ЪЫı‡fl ‚ТОВ‰ТЪ‚ЛВ ‰ЛТТЛФ‡ˆЛЛ ПВı‡МЛ˜ВТНУИ ˝МВ „ЛЛ Б‡ Т˜ВЪ ТЛО ‚flБНУ„У Ъ ВМЛfl. з‡Л·УО¸¯Ы˛ УФ‡ТМУТЪ¸ ‚УОМ˚ ФУ‚˚¯ВММУ„У ‰‡‚ОВМЛfl Ф В‰ТЪ‡‚Оfl˛Ъ ‰Оfl ЪВı Ы˜‡ТЪНУ‚ Ъ Ы·УФ У‚У‰‡, „‰В Л ·ВБ ЪУ„У ТЫ˘ВТЪ‚У‚‡ОУ ‰УТЪ‡ЪУ˜МУ ‚˚ТУНУВ ТЪ‡ЪЛ˜ВТНУВ ‰‡‚- ОВМЛВ. н‡НЛВ Ы˜‡ТЪНЛ М‡ıУ‰flЪТfl ‚·ОЛБЛ ФВ ВН‡˜Л‚‡˛˘Лı ТЪ‡МˆЛИ, ‡ Ъ‡НКВ ‚ М‡Л·УОВВ МЛБНЛı ТВ˜ВМЛflı Ъ Ы·УФ У‚У‰‡. З ФУТОВ‰МЛı ПУКВЪ ·˚Ъ¸ ‚˚ТУНЛП Ф¸ВБУПВЪ Л˜ВТНЛИ М‡ФУ(ı)/ρg (ТП. „О. 8), ˜ЪУ ‡‚МУТЛО¸МУ ‚˚ТУНУПЫ ‰‡‚ОВМЛ˛ (ı). и Л УЪ ‡КВМЛЛ ‚УОМ˚ „Л‰ ‡‚ОЛ˜ВТНУ„У Ы‰‡ ‡ УЪ Б‡Н ˚ЪУ„У ТВ˜ВМЛfl Ъ Ы·УФ У‚У‰‡ ЛОЛ ЪЫФЛНУ‚У„У УЪ‚У‰‡ ‡ПФОЛЪЫ‰‡ ∆ ‚УОМ˚ Ы‰‚‡Л‚‡ВЪТfl, ˜ЪУ В˘В ·УО¸¯В ТФУТУ·ТЪ‚ЫВЪ ‚УБМЛНМУ- ‚ВМЛ˛ ‡‚‡ ЛИМУИ ТЛЪЫ‡ˆЛЛ.

зУ Л ‚УОМ˚ ТМЛКВМЛfl ‰‡‚ОВМЛfl ПУ„ЫЪ ‚˚Б˚‚‡Ъ¸ УФ‡ТМ˚В fl‚ОВМЛfl. З М‡Л·УОВВ ‚˚ТУНЛı ТВ˜ВМЛflı МВЩЪВФ У‚У‰‡ ПУ„ЫЪ ‚УБМЛН‡Ъ¸ Ф‡ У„‡БУ‚˚В ТНУФОВМЛfl, НУЪУ ˚В Ф Л ‚УБ‚ ‡ЪВ Н ТЪ‡ˆЛУМ‡ МУПЫ ВКЛПЫ ЛТ˜ВБ‡˛Ъ ‰‡ОВНУ МВ Т ‡БЫ. и Л ˝ЪУП УМЛ БМ‡˜ЛЪВО¸МУ ЫПВМ¸¯‡˛Ъ ‡ТıУ‰ ФВ ВН‡˜НЛ Л ‚˚Б˚‚‡˛Ъ ФУ‚˚¯ВММЫ˛ ‚Л· ‡ˆЛ˛ Ъ Ы·УФ У‚У‰‡. з‡ Ы˜‡ТЪН‡ı Ъ Ы·У- Ф У‚У‰‡ Т ·УО¸¯ЛП ФВ ВФ‡‰УП ‚˚ТУЪ ПУ„ЫЪ ‚УБМЛН‡Ъ¸ ‚УБ- ‚ ‡ЪМ˚В ЪВ˜ВМЛfl КЛ‰НУТЪЛ, Ф Л‚У‰fl˘ЛВ Н Ъ‡Н М‡Б˚‚‡ВП˚П

Ф УЩЛО¸М˚П „Л‰ ‡‚ОЛ˜ВТНЛП Ы‰‡ ‡П.

è ËÏ 1. к‡ТТ˜ЛЪ‡Ъ¸ Ы‰‡ МУВ ЛБПВМВМЛВ ∆p ‰‡‚ОВМЛfl Ф Л ‚МВБ‡ФМУП Б‡Н ˚ЪЛЛ Б‡‰‚ЛКНЛ ‚ ФУЪУНВ МВЩЪЛ (ρ0 = 840 Í„/Ï3; ä = 1,2 109 è‡) Ú ‡ÌÒ-

ФУ ЪЛ ЫВПУИ Т ‡ТıУ‰УП 4200 П3/˜ ‚ Ú Û·ÓÔ Ó‚Ó‰Â (D = 1020 ÏÏ; δ = 10 ÏÏ; E = 2 1011 è‡).

ê¯ÂÌËÂ. лМ‡˜‡О‡ М‡ıУ‰ЛП ТНУ УТЪ¸ ЪВ˜ВМЛfl МВЩЪЛ

u0 = 4Q/ πd02 = 4 4200/(3,14 12 3600) 1,49 Ï/Ò.

á‡ÚÂÏ ÔÓ ÙÓ ÏÛΠ(12.7) ̇ıÓ‰ËÏ ÒÍÓ ÓÒÚ¸ ‚ÓÎÌ ‰‡‚ÎÂÌËfl

333

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru/i03/contacts

ç‡ÍÓ̈ ÔÓ ÙÓ ÏÛΠ(12.7) ‡ÒÒ˜ËÚ˚‚‡ÂÏ ∆p: ∆p = 870 1,49 945 1,183 106 è‡ ËÎË ≈12,1 ‡ÚÏ.

è ËÏ 2. éÔ ‡ÚÓ Ô Â͇˜Ë‚‡˛˘ÂÈ Òڇ̈ËË ÒÓ‚Â ¯ËΠӯ˷ÍÛ, ‚Íβ- ˜Ë‚ ÒÚ‡ÌˆË˛ ̇ Á‡Í ˚ÚÛ˛ Á‡‰‚ËÊÍÛ. Ç ÂÁÛθڇÚ ÌÂÙÚ¸ (ρ0 = 870 Í„/Ï3; K = 1,2 109 è‡) Òڇ· ÔÓ‰‡‚‡Ú¸Òfl ‚ Ú Û·ÓÔ Ó‚Ó‰ (D = 530 ÏÏ; δ = 7 ÏÏ; E = = 2 1011 è‡) Ò ‡ÒıÓ‰ÓÏ 1300 Ï3/˜. ê‡ÒÒ˜ËÚ‡Ú¸ Û‰‡ ÌÓ ÔÓ‚˚¯ÂÌË ∆p ‰‡‚ÎÂÌËfl.

ê¯ÂÌËÂ. лМ‡˜‡О‡ М‡ıУ‰ЛП ТНУ УТЪ¸ Б‡Н‡˜НЛ МВЩЪЛ ‚ Ъ Ы·УФ У‚У‰

èÓ ÙÓ ÏÛΠ(12.6) ‡ÒÒ˜ËÚ˚‚‡ÂÏ ∆p:

∆p = –840 1,74 1045 –1,53 106 è‡ ËÎË ≈–15,6 ‡ÚÏ.

ЦТОЛ ‰‡‚ОВМЛВ ‚ ПВТЪВ ЫТЪ‡МУ‚НЛ Б‡‰‚ЛКНЛ ·˚ОУ МЛКВ ≈15 ‡ЪП, ЪУ МВЩЪ¸ Б‡ Б‡‰‚ЛКНУИ ПУКВЪ ‚ТНЛФВЪ¸, ФУТНУО¸НЫ ‰‡‚ОВМЛВ ‚ МВИ ТМЛБЛЪТfl ‰У ЫФ Ы- „УТЪЛ М‡Т˚˘ВММ˚ı Ф‡ У‚. З ˝ЪУП ТОЫ˜‡В Б‡ Б‡‰‚ЛКНУИ У· ‡БЫВЪТfl Ф‡ У„‡БУ- ‚‡fl ФУОУТЪ¸.

12.3. кДлуЦн зЦлнДсайзДкзхп кЦЬаейЗ кДЕйнх зЦонЦикйЗйСД

д М‡Л·УОВВ ‡ТФ УТЪ ‡МВММ˚П ВКЛП‡П МВТЪ‡ˆЛУМ‡ МУИ ‡·УЪ˚ МВЩЪВФ У‚У‰‡ УЪМУТflЪТfl:

334

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru/i03/contacts

ВКЛП, ‚УБМЛН‡˛˘ЛИ ‚ Ъ Ы·УФ У‚У‰В Ф Л ФЫТНВ ЛОЛ УТЪ‡- МУ‚НВ ФВ ВН‡˜Л‚‡˛˘ВИ ТЪ‡МˆЛЛ;

ВКЛП, ‚УБМЛН‡˛˘ЛИ ‚ Ъ Ы·УФ У‚У‰В Ф Л ‚НО˛˜ВМЛЛ ЛОЛ УЪНО˛˜ВМЛЛ У‰МУ„У ЛБ М‡ТУТМ˚ı ‡„ В„‡ЪУ‚;

ВКЛП ˜‡ТЪЛ˜МУ„У ЛОЛ ФУОМУ„У ФВ ВН ˚ЪЛfl Ъ Ы·УФ У‚У‰‡ Б‡‰‚ЛКНУИ;

ВКЛП М‡˜‡О‡ ФЫЪВ‚˚ı Т· УТУ‚ ЛОЛ ФУ‰Н‡˜ВН МВЩЪЛ, ‚НО˛˜ВМЛfl ОЫФЛМ„У‚, УЪ‚У‰У‚ Л ФВ ВП˚˜ВН Л Ъ.Ф.;

‡БОЛ˜М˚В ‡‚‡ ЛИМ˚В ТЛЪЫ‡ˆЛЛ, Т‚flБ‡ММ˚В, ‚ ˜‡ТЪМУТЪЛ, Т‡Б ˚‚УП Ъ Ы·УФ У‚У‰‡.

к‡Т˜ВЪ МВТЪ‡ˆЛУМ‡ М˚ı ВКЛПУ‚ ‡·УЪ˚ МВЩЪВФ У‚У‰‡ УТЫ˘ВТЪ‚ОflВЪТfl М‡ ·‡БВ ‰ЛЩЩВ ВМˆЛ‡О¸М˚ı Ы ‡‚МВМЛИ, ‚˚-‡К‡˛˘Лı Б‡НУМ˚ ТУı ‡МВМЛfl П‡ТТ˚ Л НУОЛ˜ВТЪ‚‡ ‰‚ЛКВМЛfl Ъ ‡МТФУ ЪЛ ЫВПУИ МВЩЪЛ, ‡ Ъ‡НКВ М‡˜‡О¸М˚ı Л Н ‡В‚˚ı ЫТОУ‚ЛИ, ПУ‰ВОЛ Ы˛˘Лı ‚Б‡ЛПУ‰ВИТЪ‚ЛВ Ъ Ы·УФ У‚У‰‡ Т ЫТЪ‡- МУ‚ОВММ˚П М‡ МВП У·У Ы‰У‚‡МЛВП Л УЪ ‡К‡˛˘Лı Ф Л˜ЛМЫ ‚УБМЛНМУ‚ВМЛfl МВТЪ‡ˆЛУМ‡ МУ„У Ф УˆВТТ‡.

12.3.1. СаооЦкЦзсаДгъзхЦ мкДЗзЦзаь зЦлнДсайзДкзйЙй СЗаЬЦзаь зЦона

н‡НЛı Ы ‡‚МВМЛИ ‰‚‡. иВ ‚УВ ЛБ МЛı – Ы ‡‚- МВМЛВ МВ ‡Б ˚‚МУТЪЛ ФУЪУН‡, ‚˚ ‡К‡˛˘ВВ Á‡ÍÓÌ ÒÓı ‡- ÌÂÌËfl χÒÒ˚ Ъ ‡МТФУ ЪЛ ЫВПУИ МВЩЪЛ ( ЛТ. 12.3).

б‡ФЛ¯ВП Б‡НУМ ТУı ‡МВМЛfl П‡ТТ˚ Ъ ‡МТФУ ЪЛ ЫВПУИ МВЩЪЛ, ˜ЛЪ‡˛˘ЛИТfl Ъ‡Н: ЛБПВМВМЛВ П‡ТТ˚ МВЩЪЛ ПВК‰Ы Ф УЛБ‚УО¸М˚ПЛ ТВ˜ВМЛflПЛ ı Л ı + ∆ı МВЩЪВФ У‚У‰‡ ‡‚МУ‡БМУТЪЛ П‡ТТ МВЩЪЛ, ‚ЪВН‡˛˘ВИ Л ‚˚ЪВН‡˛˘ВИ ЛБ ТВ„- ПВМЪ‡ Ъ Ы·УФ У‚У‰‡ ПВК‰Ы ˝ЪЛПЛ ТВ˜ВМЛflПЛ. з‡ П‡ЪВП‡ЪЛ- ˜ВТНУП flБ˚НВ ˝ЪУ Б‡ФЛТ˚‚‡ВЪТfl ‚ ‚Л‰В Ы ‡‚МВМЛfl:

∂ (ρSdx)dt = (ρuS |x – ρuS |x+∆x)dt,

∂t

‚ НУЪУ УП МЛКМЛИ ЛМ‰ВНТ ФУН‡Б˚‚‡ВЪ, ‚ Н‡НУП ТВ˜ВМЛЛ ·В-ЫЪТfl ТУУЪ‚ВЪТЪ‚Ы˛˘ЛВ Ф‡ ‡ПВЪ ˚ ЪВ˜ВМЛfl.

иУТНУО¸НЫ Т ЪУ˜МУТЪ¸˛ ‰У П‡О˚ı ‚˚Т¯В„У ФУ fl‰Н‡

ρuS |x – ρuS |x+∆x – ∂(ρuS) dx,

∂x

ЪУ ФУОЫ˜‡ВП ФВ ‚УВ ‰ЛЩЩВ ВМˆЛ‡О¸МУВ Ы ‡‚МВМЛВ:

335

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru/i03/contacts

кЛТ. 12.3. д ‚˚‚У‰Ы Ы ‡‚МВМЛИ МВТЪ‡ˆЛУ- М‡ МУ„У ‰‚ЛКВМЛfl

‚ ÍÓÚÓ ÓÏ ρ(x, t); u(x, t); S(x, t) – ÌÂËÁ‚ÂÒÚÌ˚ ÙÛÌ͈ËË ÓÚ x Ë t. äÓ̘ÌÓ, ‚Â΢ËÌ˚ ρ(x, t) Ë S(x, t) ·ОЛБНЛ Н Т‚УЛП МВ‚УБПЫ˘ВММ˚П БМ‡˜ВМЛflП ρ0 Ë S0, МУ Ы˜ВЪ ‚УБМЛН‡˛˘Лı УЪНОУМВМЛИ ‡·ТУО˛ЪМУ МВУ·ıУ‰ЛП ‰Оfl ‡Т˜ВЪУ‚. д УПВ ЪУ„У, ВТОЛ Ф УˆВТТ ЪВ˜ВМЛfl – ТЪ‡ˆЛУМ‡ М˚И, ЪУ Ф УЛБ‚У‰М‡fl ФУ ‚ ВПВМЛ ‚ (12.8) ‡‚М‡ МЫО˛, Л ЛБ Ы ‡‚МВМЛfl ТОВ‰ЫВЪ, ˜ЪУ ρuS = = const, Ъ.В. П‡ТТУ‚˚И ‡ТıУ‰ МВЩЪЛ ФУТЪУflМВМ ФУ ‰ОЛМВ Ъ Ы·УФ У‚У‰‡.

ЗЪУ УВ Ы ‡‚МВМЛВ – ˝ЪУ Ы ‡‚МВМЛВ ‰‚ЛКВМЛfl МВЩЪЛ, ‚˚ ‡К‡˛˘ВВТfl ‚ЪУ ˚П Б‡НУМУП з¸˛ЪУМ‡. СОfl Ы‰У·ТЪ‚‡ В„У ПУКМУ ТЩУ ПЫОЛ У‚‡Ъ¸ Ъ‡Н: ЛБПВМВМЛВ НУОЛ˜ВТЪ‚‡ ‰‚ЛКВМЛfl МВЩЪЛ ПВК‰Ы Ф УЛБ‚УО¸М˚ПЛ ТВ˜ВМЛflПЛ ı Л ı + ∆ı МВЩЪВ- Ф У‚У‰‡ ‡‚МУ ‡БМУТЪЛ НУОЛ˜ВТЪ‚ ‰‚ЛКВМЛfl МВЩЪЛ, Ф ЛМУТЛП˚ı ‚ ˝ЪУЪ У·˙ВП Л ЫМУТЛП˚ı ЛБ МВ„У ‚ПВТЪВ Т ЪВ˜ВМЛВП, ФО˛Т ЛПФЫО¸Т ‚ТВı ‚МВ¯МЛı ТЛО, ‰ВИТЪ‚Ы˛˘Лı М‡ ‚˚‰ВОВМ- М˚И У·˙ВП МВЩЪЛ. з‡ П‡ЪВП‡ЪЛ˜ВТНУП flБ˚НВ ˝ЪУ Б‡ФЛТ˚‚‡- ВЪТfl ‚ ‚Л‰В Ы ‡‚МВМЛfl:

∂ (uρSdx)dt = [(uρuS)|x – (uρuS)|x+∆x]dt +

∂t

+ [(pS|x – pS|x+∆x) + pdS – ρg sin α(x)Sdx – πdτwdx]dt.

З Ф ‡‚УИ ˜‡ТЪЛ ˝ЪУ„У Ы ‡‚МВМЛfl ТЪУflЪ: ‡БМУТЪ¸ НУОЛ˜ВТЪ‚ ‰‚ЛКВМЛfl МВЩЪЛ, Ф ЛМУТЛП˚ı ‚ ‡ТТП‡Ъ Л‚‡ВП˚И У·˙ВП Л ЫМУТЛП˚ı ЛБ МВ„У ‚ПВТЪВ Т ФУЪУНУП МВЩЪЛ Б‡ ‚ ВПfl dt; ЛПФЫО¸Т ТЛО ‰‡‚ОВМЛfl, ‰ВИТЪ‚Ы˛˘Лı ‚ ЪУ ˆВ‚˚ı ТВ˜ВМЛflı ‡Т- ТП‡Ъ Л‚‡ВПУ„У У·˙ВП‡; УТВ‚‡fl ТУТЪ‡‚Оfl˛˘‡fl (pdS) ТЛО В‡Н- ˆЛЛ ·УНУ‚УИ ТЪВМНЛ; УТВ‚‡fl ТУТЪ‡‚Оfl˛˘‡fl ρg sin α ТЛО ЪflКВТЪЛ; α(x) – Ы„УО М‡НОУМ‡ УТЛ МВЩЪВФ У‚У‰‡ Н „У ЛБУМЪЫ; sin α = dz/dx; ÓÒ‚‡fl ÒÓÒÚ‡‚Îfl˛˘‡fl πdτwdx ͇҇ÚÂθÌ˚ı ÒËÎ

Ъ ВМЛfl М‡ ‚МЫЪ ВММВИ ФУ‚В ıМУТЪЛ Ъ Ы·УФ У‚У‰‡; τw – М‡- Ф flКВМЛВ ТЛО Ъ ВМЛfl.

З˚ФУОМЛ‚ П‡ЪВП‡ЪЛ˜ВТНЛВ Ф ВУ· ‡БУ‚‡МЛfl, ФУОЫ˜ЛП ‰ЛЩЩВ ВМˆЛ‡О¸МУВ Ы ‡‚МВМЛВ ‰‚ЛКВМЛfl МВЩЪЛ:

336

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru/i03/contacts

ÑÓÔÛ˘ÂÌËfl Ë ÛÔ Ó˘ÂÌËfl. и Л ‡ТТПУЪ ВМЛЛ МВТЪ‡ˆЛУ- М‡ М˚ı ЪВ˜ВМЛИ МВЩЪЛ Ф ЛМЛП‡˛ЪТfl ТОВ‰Ы˛˘ЛВ ‰УФЫ˘ВМЛfl Л ‰ВО‡˛ЪТfl ТОВ‰Ы˛˘ЛВ ЫФ У˘ВМЛfl:

ÌÂÙÚ¸ Ò˜ËÚ‡ÂÚÒfl Ò··Ó ÒÊËχÂÏÓÈ ÊˉÍÓÒÚ¸˛. éÚÒ˛‰‡ Ô ËÌËχÂÚÒfl, ˜ÚÓ ρ = ρ0 + ∆ρ, „‰Â ∆ρ << ρ0 Л ‚У ‚ТВı НУ˝Щ- ЩЛˆЛВМЪ‡ı ФОУЪМУТЪ¸ МВЩЪЛ Б‡ПВМflВЪТfl ВВ МВ‚УБПЫ˘ВММ˚П БМ‡˜ВМЛВП;

ФОУ˘‡‰¸ ТВ˜ВМЛfl ТЪ‡О¸МУ„У МВЩЪВФ У‚У‰‡ ЛБПВМflВЪТfl Н ‡ИМВ МВБМ‡˜ЛЪВО¸МУ S = S0 + ∆S, „‰Â ∆S << S0 Л ‚У ‚ТВı НУ˝ЩЩЛˆЛВМЪ‡ı ФОУ˘‡‰¸ ТВ˜ВМЛfl Ъ Ы·УФ У‚У‰‡ Б‡ПВМflВЪТfl ВВ МВ‚УБПЫ˘ВММ˚П БМ‡˜ВМЛВП;

БМ‡˜ВМЛВП ТНУ УТЪМУ„У М‡ФУ ‡ Ф ВМВ· В„‡˛Ъ ФУ Т ‡‚МВМЛ˛ Т Ф¸ВБУПВЪ Л˜ВТНЛП М‡ФУ УП: u2 << p/ρ;

Ô ËÌËχÂÚÒfl Ú‡Í Ì‡Á˚‚‡Âχfl „ЛФУЪВБ‡ Н‚‡БЛТЪ‡ˆЛУМ‡ МУТЪЛ Ú ÂÌËfl, Òӄ·ÒÌÓ ÍÓÚÓ ÓÈ τw, Ф В‰ТЪ‡‚ОВММУВ ЩУ ПЫОУИ Cwρu2/2 („‰Â Cw – НУ˝ЩЩЛˆЛВМЪ Ъ ВМЛfl ЛОЛ ПМУКЛЪВО¸ о‡- МЛМ„‡), ‚˚ ‡К‡ВЪТfl ˜В ВБ НУ˝ЩЩЛˆЛВМЪ λ „Л‰ ‡‚ОЛ˜ВТНУ„У ТУФ УЪЛ‚ОВМЛfl:

Ф Л˜ВП ‰Оfl Б‡‚ЛТЛПУТЪЛ λ УЪ Т‚УЛı Ф‡ ‡ПВЪ У‚ ЛТФУО¸БЫ˛ЪТfl ЩУ ПЫО˚ (8.7)–(8.11), ТФ ‡‚В‰ОЛ‚˚В, ТЪ У„У „У‚У fl, ЪУО¸НУ ‰Оfl ТЪ‡ˆЛУМ‡ МУ„У ЪВ˜ВМЛfl.

л Ы˜ВЪУП М‡Б‚‡ММ˚ı ‰УФЫ˘ВМЛИ Ы ‡‚МВМЛВ (12.8) Ф ВУ· ‡- БЫВЪТfl ТМ‡˜‡О‡ Н ‚Л‰Ы:

н‡НЛП У· ‡БУП, Ф ЛıУ‰ЛП Н УТМУ‚МУИ ТЛТЪВПВ ‰‚Ыı ‰ЛЩЩВ ВМˆЛ‡О¸М˚ı Ы ‡‚МВМЛИ (12.10) Л (12.11) Т ˜‡ТЪМ˚ПЛ Ф УЛБ- ‚У‰М˚ПЛ, ЛТФУО¸БЫВП˚ı ‰Оfl ‡Т˜ВЪ‡ ‰‚Ыı МВЛБ‚ВТЪМ˚ı ЩЫМНˆЛИ p(x, t) Ë u(x, t):

337

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru/i03/contacts

УФ В‰ВОfl˛˘Лı МВТЪ‡ˆЛУМ‡ МУВ ЪВ˜ВМЛВ МВЩЪЛ ‚ Ъ Ы·УФ У‚У- ‰В, ПУКМУ Б‡ФЛТ‡Ъ¸ ‚ ЪВ ПЛМ‡ı У·˙ВПМУ„У ‡ТıУ‰‡ Q(x, t) Ë Ì‡ÔÓ ‡ H(x, t):

12.3.2. кДлуЦн зЦлнДсайзДкзхп икйсЦллйЗ З зЦонЦикйЗйСДп еЦнйСйе пДкДднЦкалнад

к‡Т˜ВЪ МВТЪ‡ˆЛУМ‡ М˚ı ВКЛПУ‚ ‡·УЪ˚ МВЩЪВФ У‚У‰‡ ·УОВВ ТОУКВМ, ˜ВП ‡Т˜ВЪ ТЪ‡ˆЛУМ‡ М˚ı В- КЛПУ‚. зВ ТЫ˘ВТЪ‚ЫВЪ Ф УТЪ˚ı ‡О„В· ‡Л˜ВТНЛı ЩУ ПЫО ‰Оfl ‚˚˜ЛТОВМЛfl Ф‡ ‡ПВЪ У‚ ФУЪУН‡ ‚ МВТЪ‡ˆЛУМ‡ М˚ı ВКЛП‡ı ıУЪfl ·˚ ФУЪУПЫ, ˜ЪУ Ъ‡НЛı ВКЛПУ‚ ТЫ˘ВТЪ‚ЫВЪ ·ВТ˜ЛТОВММУВ ПМУКВТЪ‚У. иУ˝ЪУПЫ ‡Т˜ВЪ˚ МВТЪ‡ˆЛУМ‡ М˚ı ВКЛПУ‚‡·УЪ˚ МВЩЪВФ У‚У‰‡, М‡Ф ЛПВ , ФУЛПВМУ‚‡ММ˚ı ‚ М‡˜‡ОВ ˝ЪУ„У Ф‡ ‡„ ‡Щ‡, УТЫ˘ВТЪ‚Оfl˛Ъ ˜ЛТОВММУ Т ЛТФУО¸БУ‚‡МЛВП НУПФ¸˛ЪВ У‚. и Л‚В‰ВП У‰ЛМ ЛБ ˝ЩЩВНЪЛ‚М˚ı ‡О„У ЛЪПУ‚‡Т˜ВЪ‡, УТМУ‚‡ММ˚И М‡ ПВЪУ‰В ı‡ ‡НЪВ ЛТЪЛН.

мПМУКЛП ‚ЪУ УВ Ы ‡‚МВМЛВ ТЛТЪВП˚ Ы ‡‚МВМЛИ (12.12) М‡

Ò Л ТОУКЛП ВБЫО¸Ъ‡Ъ Т ФВ ‚˚П Ы ‡‚МВМЛВП. иУОЫ˜ЛП

ДМ‡ОУ„Л˜М˚П У· ‡БУП ФУТОВ ‚˚˜ЛЪ‡МЛfl ‚ЪУ У„У Ы ‡‚МВМЛfl ТЛТЪВП˚ (12.12), ЫПМУКВММУ„У М‡ Ò, ËÁ Ô ‚Ó„Ó ÔÓÎÛ˜ËÏ

338

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru/i03/contacts

ЦТОЛ М‡ ФОУТНУТЪЛ ФВ ВПВММ˚ı (x, t) ‡ТТПУЪ ВЪ¸ Ф flП˚В ОЛМЛЛ, НУЪУ ˚В УФ В‰ВОfl˛ЪТfl Ы ‡‚МВМЛflПЛ

∂x = c, x – ct = ξ = const;

∂t

∂x = c, x + ct = η = const

∂t

Ë ÍÓÚÓ ˚ ̇Á˚‚‡˛ÚÒfl ı‡ ‡НЪВ ЛТЪЛН‡ПЛ ТЛТЪВП˚ ‰ЛЩЩВ-

ВМˆЛ‡О¸М˚ı Ы ‡‚МВМЛИ (12.12), ПУКМУ Б‡ПВЪЛЪ¸, ˜ЪУ ‰Оfl О˛- ·У„У Ф‡ ‡ПВЪ ‡ A(x, t):

щЪУ УБМ‡˜‡ВЪ, ˜ЪУ ‚˚ ‡КВМЛВ, ТЪУfl˘ВВ ТОВ‚‡, ВТЪ¸ Ô ÓËÁ‚Ó‰- ̇fl ÓÚ ÙÛÌ͈ËË A(x, t) ÔÓ Ì‡Ô ‡‚ÎÂÌ˲ ФВ ‚УИ ı‡ ‡НЪВ ЛТЪЛНЛ (ЛОЛ, Н‡Н „У‚У flЪ, Ф УЛБ‚У‰М‡fl ‚‰Óθ ı‡ ‡НЪВ ЛТЪЛНЛ ξ = const). Ä̇Îӄ˘ÌÓ

Ъ.В. ‚˚ ‡КВМЛВ, ТЪУfl˘ВВ ТОВ‚‡, ВТЪ¸ Ф УЛБ‚У‰М‡fl УЪ ЩЫМНˆЛЛ A(x, t) ФУ М‡Ф ‡‚ОВМЛ˛ ‚ЪУ УИ ı‡ ‡НЪВ ЛТЪЛНЛ (ЛОЛ ‚‰Óθ Ì‡Ô ‡‚ÎÂÌËfl η = const).

аТФУО¸БЫfl ФУМflЪЛВ Ф УЛБ‚У‰МУИ ФУ М‡Ф ‡‚ОВМЛ˛, ФУОЫ- ˜ВММ˚В Ы ‡‚МВМЛfl ПУКМУ Б‡ФЛТ‡Ъ¸ ‚ ТОВ‰Ы˛˘ВП ‚Л‰В:

339

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru/i03/contacts

лЛТЪВП‡ (12.14) М‡Б˚‚‡ВЪТfl ı‡ ‡НЪВ ЛТЪЛ˜ВТНУИ ЩУ ПУИ ТЛТЪВП˚ Ы ‡‚МВМЛИ (12.12).

ЦТОЛ ϕ = 0, ЪУ Ф ‡‚˚В ˜‡ТЪЛ Ы ‡‚МВМЛИ ‚ (12.14) ‡‚М˚ МЫО˛. щЪУ УБМ‡˜‡ВЪ, ˜ЪУ ‚‰УО¸ ı‡ ‡НЪВ ЛТЪЛНЛ ФУОУКЛЪВО¸- МУ„У М‡НОУМ‡ (dx/dt = c) ÒÓı ‡ÌflÂÚÒfl ‚Â΢Ë̇ l1 = 0 + + ρ0Òv, ‡ ‚‰УО¸ ı‡ ‡НЪВ ЛТЪЛНЛ УЪ Лˆ‡ЪВО¸МУ„У М‡НОУМ‡ (dx/dt = –c) ÒÓı ‡ÌflÂÚÒfl ‚Â΢Ë̇ l2 = 0 + ρ0Òv. ÇÂ΢ËÌ˚ l1 Ë l2 М‡Б˚‚‡˛ЪТfl ЛМ‚‡ Л‡МЪ‡ПЛ кЛП‡М‡. аЪ‡Н, Ф Л ϕ = 0, Ъ.В. Ф Л УЪТЫЪТЪ‚ЛЛ ТЛО˚ Ъ ВМЛfl Л ТН‡Ъ˚‚‡˛˘ВИ ТУТЪ‡‚Оfl˛- ˘ВИ ТЛО˚ ЪflКВТЪЛ, ‚‰УО¸ ı‡ ‡НЪВ ЛТЪЛН ФУОУКЛЪВО¸МУ„У М‡НОУМ‡ ТУı ‡МflВЪТfl ФВ ‚˚И ЛМ‚‡ Л‡МЪ кЛП‡М‡, ‡ ‚‰УО¸ ı‡-‡НЪВ ЛТЪЛНЛ УЪ Лˆ‡ЪВО¸МУ„У М‡НОУМ‡ – ‚ЪУ УИ ЛМ‚‡ Л‡МЪ кЛП‡М‡.

è Ë λ ≠ 0 ‚Â΢ËÌ˚ l1 Ë l2 МВ ТУı ‡Мfl˛ЪТfl М‡ ТУУЪ‚ВЪТЪ- ‚Ы˛˘Лı ı‡ ‡НЪВ ЛТЪЛН‡ı. й‰М‡НУ ЩУ ПЫО˚ (12.14) ПУ„ЫЪ ТОЫКЛЪ¸ ‰Оfl ‡Т˜ВЪ‡ ‡БОЛ˜М˚ı МВТЪ‡ˆЛУМ‡ М˚ı ВКЛПУ‚‡·УЪ˚ МВЩЪВФ У‚У‰‡, УТУ·ВММУ ВТОЛ ЛТФУО¸БУ‚‡Ъ¸ ˜ЛТОВМ- М˚В ПВЪУ‰˚.

иЫТЪ¸, М‡Ф ЛПВ , ‚ Н‡НУИ-ОЛ·У ПУПВМЪ ‚ ВПВМЛ tm (‚ ˜‡ТЪМУТЪЛ t = 0) ‚ МВЩЪВФ У‚У‰В ЛБ‚ВТЪМУ ‡ТФ В‰ВОВМЛВ ‰‡‚ОВМЛИ Л ТНУ УТЪВИ ЪВ˜ВМЛfl, Ъ.В. ЩЫМНˆЛЛ p = p(x, tm) Ë u = = u(x, tm). С‡‰ЛП ПВЪУ‰ ‰Оfl ‡Т˜ВЪ‡ БМ‡˜ВМЛИ ˝ЪЛı ЩЫМНˆЛИ ‚ ТОВ‰Ы˛˘ЛИ ПУПВМЪ ‚ ВПВМЛ tm+1 = tm + ∆t, УЪТЪУfl˘ЛИ УЪ ‰‡ММУ„У М‡ ‚ВОЛ˜ЛМЫ ∆t. к‡ТТПУЪ ЛП М‡ ФОУТНУТЪЛ ФВ ВПВМ- М˚ı (x, t) Ф flПУЫ„УО¸МЫ˛ ТВЪНЫ Т ¯‡„УП ∆x ÔÓ ÍÓÓ ‰Ë̇ÚÂ Ë ∆t = ∆x/c ФУ ‚ ВПВМЛ ( ЛТ. 12.4).

кЛТ. 12.4. к‡Т˜ВЪМ‡fl ТıВП‡ ПВЪУ‰‡ ı‡ ‡НЪВ ЛТЪЛН

340

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru/i03/contacts

уВ ВБ ЫБО˚ ФУОЫ˜Л‚¯ВИТfl ТВЪНЛ Ф У‚В‰ВП ı‡ ‡НЪВ ЛТЪЛНЛ x = ct + const Ë x = –ct + const ФУОУКЛЪВО¸МУ„У Л УЪ Лˆ‡- ЪВО¸МУ„У М‡НОУМУ‚ ТУУЪ‚ВЪТЪ‚ВММУ. зВФ В ˚‚МУВ ‡ТФ В‰ВОВМЛВ ЛТНУП˚ı ЩЫМНˆЛИ p(x, t) Ë u(x, t) Б‡ПВМЛП ‰ЛТН ВЪМ˚ПЛ

Á̇˜ÂÌËflÏË pm,k = p(xk, tm) Ë um,k = u(xk, tm) ТВЪУ˜М˚ı ЩЫМНˆЛИ ‚ ЫБО‡ı ФУТЪ УВММУИ ТВЪНЛ. и В‰ФУОУКЛП, ˜ЪУ ‚ТВ БМ‡-

˜ÂÌËfl pm,k Ë um,k ËÁ‚ÂÒÚÌ˚ ‚ ͇ÍÓÏ-ÌË·Û‰¸ ÒÎÓ t = tm Ë Ú Â- ·ÛÂÚÒfl ̇ÈÚË Á̇˜ÂÌËfl ÒÂÚÓ˜ÌÓÈ ÙÛÌ͈ËË Ô Ë t = tm+1, Ú.Â.

pm+1,k Ë um+1,k. èÓ͇ÊÂÏ Í‡Í ˝ÚÓ Ò‰Â·ڸ ̇ Ô ËÏÂ Â Ô ÓËÁ- ‚ÓθÌÓÈ ÚÓ˜ÍË M(xk, tm+1).

б‡ПВМЛП Ф УЛБ‚У‰М˚В ФУ М‡Ф ‡‚ОВМЛ˛ ‚ Ы ‡‚МВМЛflı (12.14) НУМВ˜М˚ПЛ ‡БМУТЪflПЛ ‚‰УО¸ ı‡ ‡НЪВ ЛТЪЛН AM Ë BM. èÓÎÛ˜ËÏ

„‰Â

∆(p + ρ0cu)|ξ=const = (pM + ρ0cuM) – (pA + ρ0cuA);

∆(p – ρ0cu)|η=const = (pM – ρ0cuM) – (pB – ρ0cuB).

йЪТ˛‰‡ ФУОЫ˜‡ВП ТЛТЪВПЫ Ы ‡‚МВМЛИ ‰Оfl УФ В‰ВОВМЛfl ‰‡‚- ОВМЛfl pM Л ТНУ УТЪЛ КЛ‰НУТЪЛ uM ‚ ÚӘ͠M ˜Â ÂÁ ËÁ‚ÂÒÚ- Ì˚ ‚Â΢ËÌ˚ ˝ÚËı Ô‡ ‡ÏÂÚ Ó‚ ‚ ÚӘ͇ı A Ë B:

„‰Â ϕA, ϕB – БМ‡˜ВМЛfl ЩЫМНˆЛЛ ϕ, ‚˚˜ЛТОВММ˚В ФУ Ф‡ ‡ПВЪ-‡П ЪУ˜ВН A Ë B ТУУЪ‚ВЪТЪ‚ВММУ. аБ ФУТОВ‰МВИ ТЛТЪВП˚ ‚˚- ˜ЛТОflВП БМ‡˜ВМЛfl pm+1,k ‰‡‚ОВМЛИ Л um+1,k ТНУ УТЪВИ ФУЪУН‡ МВЩЪЛ ‚ Ъ Ы·УФ У‚У‰В ‚ ПУПВМЪ ‚ ВПВМЛ ˜В ВБ БМ‡˜ВМЛfl ˝ЪЛı КВ Ф‡ ‡ПВЪ У‚ ‚ ПУПВМЪ ‚ ВПВМЛ tm:

341