Трубопроводный транспорт нефти Вайншток часть 1
.pdf
СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru/i03/contacts
S |
∂c(x, t) |
+ |
∂q(x, t) |
= 0. |
(10.8) |
|
∂t |
∂x |
|||||
|
|
|
|
щЪУ Ы ‡‚МВМЛВ УЪ ‡К‡ВЪ Ф УТЪУИ Щ‡НЪ: ЛБПВМВМЛВ НУОЛ- ˜ВТЪ‚‡ ‚˚ЪВТМfl˛˘ВИ МВЩЪЛ ‚ У·О‡ТЪЛ ПВК‰Ы О˛·˚ПЛ ТВ˜В- МЛflПЛ Ъ Ы·УФ У‚У‰‡ ‡‚МУ ‡БМУТЪЛ НУОЛ˜ВТЪ‚ ˝ЪУИ МВЩЪЛ, ‚ЪВН‡˛˘ВИ ˜В ВБ ФВ ‚УВ ТВ˜ВМЛВ Л ‚˚ЪВН‡˛˘ВИ ˜В ВБ ‚ЪУ УВ.
аМЪВМТЛ‚МУТЪ¸ П‡ТТУУ·ПВМ‡ ‚ У·О‡ТЪЛ ТПВТЛ. СОfl ЪУ„У ˜ЪУ·˚ В¯‡Ъ¸ ‰ЛЩЩВ ВМˆЛ‡О¸МУВ Ы ‡‚МВМЛВ (10.8), МВУ·ıУ- ‰ЛПУ ‚˚fl‚ЛЪ¸ Б‡НУМУПВ МУТЪЛ П‡ТТУУ·ПВМ‡ ‡БОЛ˜М˚ı МВЩЪВИ ‚ У·О‡ТЪЛ Лı ТПВТЛ, Ъ.В. ЫН‡Б‡Ъ¸ Т‚flБ¸ У·˙ВПМУ„У ‡ТıУ‰‡ q(x, t) ‚˚ЪВТМfl˛˘ВИ МВЩЪЛ (У·˙ВПМ˚И ‡ТıУ‰ ‚˚ЪВТМflВПУИ МВЩЪЛ ‡‚ВМ, У˜В‚Л‰МУ, uS – q(x, t) Т Ф‡ ‡ПВЪ ‡ПЛ ‡ТФ В- ‰ВОВМЛfl c(x, t) НУМˆВМЪ ‡ˆЛЛ ‚ ФУЪУНВ.
з‡ ЛТ. 10.7 Ф В‰ТЪ‡‚ОВМ‡ ТıВП‡ П‡ТТУУ·ПВМ‡ ‚ Ф УЛБ‚УО¸- МУП ТВ˜ВМЛЛ У·О‡ТЪЛ ТПВТЛ. лЫПП‡ М˚И ‡ТıУ‰ КЛ‰НУТЪЛ (ТПВТЛ МВЩЪВИ) ˜В ВБ ТВ˜ВМЛВ x ФУ‰‚ЛКМУИ ТЛТЪВП˚ НУУ ‰ЛМ‡Ъ ‡‚ВМ МЫО˛, У‰М‡НУ ВВ ФВ ВЪУНЛ ТОВ‚‡ М‡Ф ‡‚У Л ТФ ‡‚‡ М‡ОВ‚У УЪОЛ˜М˚ УЪ МЫОfl; УМЛ ‡‚М˚ ‰ Ы„ ‰ Ы„Ы ФУ БМ‡˜ВМЛ˛, МУ Ф УЪЛ‚УФУОУКМ˚ ФУ БМ‡НЫ. иВ ВЪВН‡МЛВ ТПВТЛ ˜В ВБ ТВ˜ВМЛВ x Ò΂‡ Ì‡Ô ‡‚Ó Ò ‡ÒıÓ‰ÓÏ W1 Ф УЛТıУ‰ЛЪ, „О‡‚М˚П У· ‡БУП, ‚ ˆВМЪ ‡О¸МУИ ˜‡ТЪЛ Ъ Ы·˚, ‚ ЪУ ‚ ВПfl Н‡Н ФВ ВЪВН‡МЛВ ТПВТЛ ‚ У· ‡ЪМУП М‡Ф ‡‚ОВМЛЛ, ТФ ‡‚‡ М‡ОВ‚У, ЛПВВЪ ‡ТıУ‰ W2 = –W1 Л Ф УЛТıУ‰ЛЪ, „О‡‚М˚П У· ‡БУП, ·ОЛКВ Н ‚МЫЪ ВММВИ ФУ‚В ıМУТЪЛ Ъ Ы·УФ У‚У‰‡.
кЛТ. 10.7. лıВП‡ П‡ТТУУ·ПВМ‡ ‚ У·О‡ТЪЛ ТПВТЛ
282
СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru/i03/contacts
ê‡ÒıÓ‰ W = W1 = –W1 ФВ ВЪВН‡МЛfl УФ В‰ВОflВЪТfl Ф УЩЛОВП uˆ (r) УТ В‰МВММ˚ı ТНУ УТЪВИ ‚ ЛМЪВ ‚‡ОВ 0 ≤ r ≤
≤ R :
R |
|
W = 2π ∫r[uˆ(r)−u]dr . |
(10.9) |
0 |
|
ЦТОЛ Ф ЛМflЪ¸, ˜ЪУ Ф УЩЛО¸ ТНУ УТЪВИ uˆ (r) ЪЫ ·ЫОВМЪМУ„У ЪВ˜ВМЛfl ЛПВВЪ ОУ„‡ ЛЩПЛ˜ВТНЛИ ‚Л‰
uˆ(r)−umax |
|
1 |
|
r |
|
|
|
|
|
= |
|
ln 1 − |
|
|
, |
v |
|
k |
R0 |
||||
|
|
|
|
|
|
||
ЪУ ЛБ (10.9) Л (10.10) ‚˚ЪВН‡˛Ъ ТОВ‰Ы˛˘ЛВ ТУУЪМУ¯ВМЛfl: u = umax –4,08v ; R = 0,805R0; W = 1,26v S.
(10.10)
(10.11)
З МЛı ФУТЪУflММ‡fl k 0,4 ̇Á˚‚‡ÂÚÒfl НУМТЪ‡МЪУИ д‡ П‡М‡, ‡ v – ‰ЛМ‡ПЛ˜ВТНУИ ТНУ УТЪ¸˛. иУТОВ‰Мflfl ‚˚ ‡К‡ВЪТfl ˜В ВБ Н‡Т‡ЪВО¸МУВ М‡Ф flКВМЛВ τÒÚ Ъ ВМЛfl М‡ ТЪВМН‡ı Ъ Ы·˚:
τÒÚ = ρ v 2; v = τÒÚ /ρ.
иУТНУО¸НЫ τcÚ = λ/8ρu2, „‰Â λ – ÍÓ˝ÙÙˈËÂÌÚ „ˉ ‡‚- ΢ÂÒÍÓ„Ó ÒÓÔ ÓÚË‚ÎÂÌËfl, ÚÓ ‰Ë̇Ï˘ÂÒ͇fl ÒÍÓ ÓÒÚ¸ Ò‚flÁ‡Ì‡
Ò˝ЪЛП НУ˝ЩЩЛˆЛВМЪУП:
v= λ8u .
иУ‰ТЪ‡‚Оflfl ‚˚ ‡КВМЛВ ‰Оfl v ‚ (10.11), М‡ıУ‰ЛП Т‚flБ¸ У·ПВММ˚ı ФВ ВЪУНУ‚ W Ò ‡ÒıÓ‰ÓÏ Q = uS Ô Â͇˜ÍË:
W = 1,26 |
λ |
uS = 0,446 λQ . |
(10.12) |
|
8
аБ ФУОЫ˜ВММУИ ЩУ ПЫО˚ ТОВ‰ЫВЪ, ˜ЪУ ‡ТıУ‰˚ У·ПВММ˚ı ФВ ВЪУНУ‚ Т ‡‚МЛЪВО¸МУ МВ‚ВОЛНЛ. н‡Н, М‡Ф ЛПВ , Ф Л λ=
= 0,025 Á̇˜ÂÌË W ÒÓÒÚ‡‚ÎflÂÚ 0,071uS, Ú.Â. ‚ÒÂ„Ó ≈7,1 %‡ÒıÓ‰‡ Ô Â͇˜ÍË.
ЗТЪ В˜М˚В ФВ ВЪУНЛ КЛ‰НУТЪЛ ФВ ВМУТflЪ ˜В ВБ ТВ˜ВМЛВ x ФУ‰‚ЛКМУИ ТЛТЪВП˚ УЪТ˜ВЪ‡ Н‡Н ФВ ‚Ы˛, Ъ‡Н Л ‚ЪУ Ы˛ МВЩЪЛ, У‰М‡НУ Т В‰МЛВ НУМˆВМЪ ‡ˆЛЛ c′ Ë c′′ Н‡К‰УИ ЛБ МВЩЪВИ ‚ ФВ ВЪУН‡ı ‡БМ˚В. иУ˝ЪУПЫ ‡ТıУ‰ q(x, t) ‚˚ЪВТМfl˛˘ВИ МВЩЪЛ ˜В ВБ ТВ˜ВМЛВ x ‰‡ВЪТfl ‚˚ ‡КВМЛВП:
283
СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru/i03/contacts
q(x, t) = Wc′ – Wc′′ = W(c′ – c′′).
З ФВ ‚УП ФВ ВЪУНВ (ТОВ‚‡ М‡Ф ‡‚У) НУМˆВМЪ ‡ˆЛfl c′ ‡‚М‡ Т В‰МВИ ФУ ТВ˜ВМЛ˛ НУМˆВМЪ ‡ˆЛЛ ‚˚ЪВТМfl˛˘ВИ МВЩЪЛ М‡ МВНУЪУ УП ‡ТТЪУflМЛЛ l1 ÔÓÁ‡‰Ë Ò˜ÂÌËfl x. ЗУ ‚ЪУ УП ФВ ВЪУНВ (ТФ ‡‚‡ М‡ОВ‚У) НУМˆВМЪ ‡ˆЛfl c′′ ‡‚М‡ Т В‰МВИ ФУ ТВ˜ВМЛ˛ НУМˆВМЪ ‡ˆЛЛ ‚˚ЪВТМfl˛˘ВИ МВЩЪЛ М‡ МВНУЪУ УП‡ТТЪУflМЛЛ l2 ‚ÔÂ Â‰Ë Ò˜ÂÌËfl x. ÑÎËÌ˚ l1 Ë l2 ПУКМУ ·˚ОУ ·˚ М‡Б‚‡Ъ¸ ‰ОЛМ‡ПЛ ФЫЪВИ Ф У‰УО¸МУ„У ФВ ВПВ¯Л‚‡МЛfl; УМЛ‡‚М˚ ‡ТТЪУflМЛflП, М‡ НУЪУ ˚ı ЪЫ ·ЫОВМЪМ‡fl ‰ЛЩЩЫБЛfl ФВ ВПВ¯Л‚‡ВЪ ‚ЪУ „‡˛˘Ы˛Тfl Ф ЛПВТ¸ ФУ ТВ˜ВМЛ˛ Ъ Ы·УФ У- ‚У‰‡.
л ЪУ˜МУТЪ¸˛ ‰У П‡О˚ı ·УОВВ ‚˚ТУНУ„У ФУ fl‰Н‡ ПУКМУ Б‡ФЛТ‡Ъ¸:
c′ = c(x – l1, t) c(x, t) – l1 ∂c ;
∂x
(10.13)
c′′ = c(x – l2, t) c(x, t) – l2 ∂c
∂x
Ë ‰‡ÎÂÂ
q(x, t) = –W(l1 + l2) |
∂c |
. |
|
|
||||
|
||||||||
|
|
|
|
|
∂x |
|||
иУ‰ТЪ‡‚Оflfl Т˛‰‡ ‚˚ ‡КВМЛВ W ËÁ (10.12), ÔÓÎÛ˜‡ÂÏ: |
||||||||
q(x, t) = –0,446 λ (l1 |
+ l2) |
∂c |
uS |
|||||
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
ËÎË |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
q(x, t) = − K |
∂c |
S, |
|
|
(10.14) |
|||
|
|
|
||||||
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
„‰Â |
|
|
|
|
||||
|
|
|
||||||
K = 0,446 λ(l1 − l2)u. |
|
(10.15) |
||||||
ë‚flÁ¸, ‚˚ ‡Ê‡˛˘Û˛ Ô ÓÔÓ ˆËÓ̇θÌÓÒÚ¸ Ó·˙ÂÏÌÓ„Ó ‡Ò- ıÓ‰‡ q(x, t) ‚˚ЪВТМfl˛˘ВИ МВЩЪЛ „ ‡‰ЛВМЪЫ ∂c/∂x Â„Ó ÍÓ̈ÂÌÚ ‡ˆËË, ̇Á˚‚‡˛Ú Б‡НУМУП Ф У‰УО¸МУ„У ФВ ВПВ¯Л‚‡МЛfl, ‡
‚ıÓ‰fl˘ËÈ ‚ ÌÂ„Ó ÍÓ˝ÙÙˈËÂÌÚ K (Ï2/c) – ˝ЩЩВНЪЛ‚М˚П
НУ˝ЩЩЛˆЛВМЪУП Ф У‰УО¸МУ„У ФВ ВПВ¯Л‚‡МЛfl. èÓ‰ Ó·ÌÂÈ Ó·
˝ЪУП НУ˝ЩЩЛˆЛВМЪВ ·Ы‰ВЪ ТН‡Б‡МУ МЛКВ. бМ‡Н ПЛМЫТ ‚
284
СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru/i03/contacts
ЩУ ПЫОВ (10.14) ФУН‡Б˚‚‡ВЪ, ˜ЪУ ФУЪУН Н‡К‰УИ МВЩЪЛ ‚ ТПВТЛ М‡Ф ‡‚ОВМ УЪ ·УО¸¯ВИ НУМˆВМЪ ‡ˆЛЛ Н ПВМ¸¯ВИ, Ъ.В. ‚ ТЪУ УМЫ, Ф УЪЛ‚УФУОУКМЫ˛ „ ‡‰ЛВМЪЫ ВВ НУМˆВМЪ ‡ˆЛЛ.
СЛЩЩВ ВМˆЛ‡О¸МУВ Ы ‡‚МВМЛВ Ф У‰УО¸МУ„У ФВ ВПВ¯Л- ‚‡МЛfl ‚ У·О‡ТЪЛ НУМЪ‡НЪЛ У‚‡МЛfl МВЩЪВИ. иУ‰ТЪ‡‚Оflfl ‚˚ ‡- КВМЛВ ‰Оfl У·˙ВПМУ„У ‡ТıУ‰‡ q(x, t) ‚˚ЪВТМfl˛˘ВИ МВЩЪЛ ˜В ВБ „ ‡‰ЛВМЪ В„У НУМˆВМЪ ‡ˆЛЛ ТУ„О‡ТМУ Б‡НУМЫ (10.14) ‚ Ы ‡‚МВМЛВ (10.8) У·˙ВПМУ„У ·‡О‡МТ‡ ˝ЪУИ МВЩЪЛ ‚ ТПВТЛ, ФУОЫ˜‡ВП ТОВ‰Ы˛˘ВВ ‰ЛЩЩВ ВМˆЛ‡О¸МУВ Ы ‡‚МВМЛВ:
∂c |
|
∂ |
∂c |
|
||
|
= |
|
K |
|
. |
(10.16) |
∂t |
|
|
||||
|
∂x |
∂x |
|
|||
Ç Ó·˘ÂÏ ÒÎÛ˜‡Â ÍÓ˝ÙÙˈËÂÌÚ K МВ fl‚ОflВЪТfl ФУТЪУflММ˚П. иУТНУО¸НЫ УМ Б‡‚ЛТЛЪ УЪ ТЪ ЫНЪЫ ˚ ЪЫ ·ЫОВМЪМУ„У ЪВ˜ВМЛfl ‚ Ъ Ы·УФ У‚У‰В, ‡ УМ‡ ПУКВЪ ФО‡‚МУ ЛБПВМflЪ¸Тfl ‚ У·О‡ТЪЛ ТПВТЛ (ВТОЛ ФОУЪМУТЪЛ Л ‚flБНУТЪЛ НУМЪ‡НЪЛ Ы˛˘Лı МВЩЪВИ‡БОЛ˜М˚) Ф Л ФВ ВıУ‰В УЪ У‰МУИ МВЩЪЛ Н ‰ Ы„УИ, ЪУ K ПУКВЪ ·˚Ъ¸ ЩЫМНˆЛВИ НУМˆВМЪ ‡ˆЛЛ c Ë Â „ ‡‰ËÂÌÚ‡.
ÖÒÎË Ê ÍÓ˝ÙÙˈËÂÌÚ K Т˜ЛЪ‡Ъ¸ ФУТЪУflММ˚П, ЪУ Ы ‡‚МВМЛВ (10.16) Т‚У‰ЛЪТfl Н ıУ У¯У ЛБ‚ВТЪМУПЫ Ы ‡‚МВМЛ˛ ЪЛФ‡ ЪВФОУФ У‚У‰МУТЪЛ:
|
∂c |
= K |
∂2c |
. |
(10.17) |
|
∂t |
|
|||
|
|
∂x 2 |
|
||
З ‰‡ММУП ТОЫ˜‡В ˝ЪУ Ы ‡‚МВМЛВ, М‡Б˚‚‡ВПУВ Ы ‡‚МВМЛВП Ф У‰УО¸МУИ ‰ЛЩЩЫБЛЛ. йМУ fl‚ОflВЪТfl УТМУ‚М˚П ‰Оfl УФЛТ‡МЛfl‡ТФ В‰ВОВМЛfl НУМˆВМЪ ‡ˆЛЛ c(x, t) ‚˚ЪВТМfl˛˘ВИ МВЩЪЛ ‚ БУМВ НУМЪ‡НЪЛ У‚‡МЛfl, ‡ Ъ‡НКВ ‰Оfl УФ В‰ВОВМЛfl ‰ОЛМ˚ Л У·˙ВП‡ У· ‡БЫ˛˘ВИТfl ТПВТЛ. з‡ФУПМЛП, ˜ЪУ ˝ЪУ Ы ‡‚МВМЛВ ТФ ‡‚В‰ОЛ‚У ‚ ТЛТЪВПВ УЪТ˜ВЪ‡, ‰‚ЛКЫ˘ВИТfl ТУ Т В‰МВИ ТНУ УТЪ¸˛ u Ô Â͇˜ÍË.
щЩЩВНЪЛ‚М˚И НУ˝ЩЩЛˆЛВМЪ Ф У‰УО¸МУ„У ФВ ВПВ¯Л‚‡- МЛfl. дУОЛ˜ВТЪ‚ВММ‡fl ЪВУ Лfl ‰Оfl ‡Т˜ВЪ‡ ˝ЩЩВНЪЛ‚МУ„У НУ˝ЩЩЛˆЛВМЪ‡ Ф У‰УО¸МУ„У ФВ ВПВ¯Л‚‡МЛfl K Т‚У‰ЛЪТfl Н ‚˚flТМВМЛ˛ Б‡‚ЛТЛПУТЪЛ ‰ОЛМ l1 Ë l2 Ô Âϯ˂‡ÌËfl, ‚ıÓ-
‰fl˘Лı ‚ ЩУ ПЫОЫ (10.15), УЪ Ф‡ ‡ПВЪ У‚, ı‡ ‡НЪВ ЛБЫ˛˘Лı ЪЫ ·ЫОВМЪМ˚И ФУЪУН МВЩЪЛ ‚ Ъ Ы·В.
ДМ„ОЛИТНЛИ ПВı‡МЛН СК. нВИОУ , ЛБЫ˜‡‚¯ЛИ ‰ЛТФВ ТЛ˛ Ф ЛПВТЛ ‚ ЪЫ ·ЫОВМЪМУП ФУЪУНВ КЛ‰НУТЪЛ ‚ Ъ Ы·В, ФУОЫ˜ЛО ‰Оfl НУ˝ЩЩЛˆЛВМЪ‡ K ÒÎÂ‰Û˛˘Û˛ ÙÓ ÏÛÎÛ:
K = 1,785 λud, |
(10.18) |
285
СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru/i03/contacts
НУЪУ ‡fl, ВТОЛ Т ‡‚МЛЪ¸ ВВ Т ‚˚ ‡КВМЛВП (10.15), ‰‡ВЪ ‰Оfl ТЫПП˚ (l1 + l2) ‰ÎËÌ Ô Âϯ˂‡ÌËfl Á̇˜ÂÌË 4d. щЪ‡ ЩУ - ПЫО‡ ·˚О‡ ‚˚‚В‰ВМ‡ ЪВУ ВЪЛ˜ВТНЛП ФЫЪВП ‰Оfl ˜ЛТВО кВИМУО¸‰Т‡, ·УО¸¯Лı ˜ВП 3 104.
ЕУО¸¯ЛМТЪ‚У ‰ Ы„Лı ЛТТОВ‰У‚‡ЪВОВИ ФУОЫ˜‡ОЛ ЩУ ПЫО˚ ‰Оfl K ФЫЪВП У· ‡·УЪНЛ ˝НТФВ ЛПВМЪ‡О¸М˚ı ‰‡ММ˚ı. н‡Н, М‡Ф ЛПВ , ЩУ ПЫО‡ З.л. ь·ОУМТНУ„У – Д.т. ДТ‡ЪЫ flМ‡ – а.п. пЛБ„ЛОУ‚‡ ЛПВВЪ ‚Л‰:
|
|
300 |
|
60,7 |
|
|
K = |
|
|
+ |
|
ud, |
(10.19) |
|
Re0,455 |
|||||
|
Re |
|
|
|
||
‡ ·ÓΠÔÓÁ‰Ìflfl ÙÓ ÏÛ· Ä.ò. ÄÒ‡ÚÛ fl̇ – ‚ˉ: |
|
|||||
K = 1,74 Re–0,33ud. |
(10.20) |
|||||
ДПВ ЛН‡МТНЛИ ЛТТОВ‰У‚‡ЪВО¸ о. л˙ВМЛЪˆВ , У· ‡·‡Ъ˚‚‡flВБЫО¸Ъ‡Ъ˚ Ф УП˚¯ОВММ˚ı ЛТФ˚Ъ‡МЛИ М‡ fl‰В Ъ Ы·УФ У- ‚У‰У‚ лтД, Ф В‰ОУКЛО ФУОЫ˝ПФЛ Л˜ВТНЫ˛ ЩУ ПЫОЫ ТОВ‰Ы˛- ˘В„У ‚Л‰‡:
|
|
|
7 |
|
λ |
3,6 |
L |
0,141 |
|
||
K |
= 1,32 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
ud. |
(10.21) |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
4 |
d |
|
|
|||
иУТОВ‰Мflfl ЩУ ПЫО‡ ‚НО˛˜‡ВЪ ˝ПФЛ Л˜ВТНЛИ НУ˝ЩЩЛˆЛВМЪ, Ы˜ЛЪ˚‚‡˛˘ЛИ ФУФ ‡‚НЫ М‡ ‡ТТЪУflМЛВ L ФВ ВН‡˜НЛ, ˜В„У, НУМВ˜МУ, ‚ ЪВУ ЛЛ ·˚Ъ¸ МВ ПУКВЪ, Ъ‡Н Н‡Н ˝ЩЩВНЪЛ‚М˚И НУ˝ЩЩЛˆЛВМЪ Ф У‰УО¸МУ„У ФВ ВПВ¯Л‚‡МЛfl УФ В‰ВОflВЪТfl ЪУО¸НУ Ф‡ ‡ПВЪ ‡ПЛ ЪЫ ·ЫОВМЪМУТЪЛ. й‰М‡НУ ЩУ ПЫО‡ л˙ВМЛЪˆВ ‡ ‰‡ВЪ ВБЫО¸Ъ‡Ъ˚, М‡Л·УОВВ ·ОЛБНЛВ Н М‡·О˛- ‰‡ВП˚П ‚ Ф УП˚¯ОВММ˚ı ЫТОУ‚Лflı.
10.2.4. ЗйбзадзйЗЦзаЦ а кйлн леЦла З бйзЦ дйзнДднД СЗмп зЦонЦв
и Л‚В‰ВП В¯ВМЛВ УТМУ‚МУИ Б‡‰‡˜Л, М‡ НУЪУ УИ ·‡БЛ Ы˛ЪТfl ‡Т˜ВЪ˚ ФУТОВ‰У‚‡ЪВО¸МУИ ФВ ВН‡˜НЛ
МВЩЪВИ (Л МВЩЪВФ У‰ЫНЪУ‚).
ᇉ‡˜‡ ÙÓ ÏÛÎË ÛÂÚÒfl ÒÎÂ‰Û˛˘ËÏ Ó· ‡ÁÓÏ: ‚ МВЩЪВ- Ф У‚У‰В, ЛПВ˛˘ВП ‰ОЛМЫ L Л ‚МЫЪ ВММЛИ ‰Л‡ПВЪ d, ‚В‰ВЪТfl ФУТОВ‰У‚‡ЪВО¸М‡fl ФВ ВН‡˜Н‡ ‰‚Ыı МВЩЪВИ, Ф Л НУЪУ УИ МВЩЪ¸ ‹2 ‚˚ЪВТМflВЪ МВЩЪ¸ ‹1 Т ФУТЪУflММУИ ТНУ УТЪ¸˛ u. З М‡˜‡О¸М˚И ПУПВМЪ ‚ ВПВМЛ (t = 0) МВЩЪЛ‡ТФУО‡„‡ОЛТ¸ Ъ‡Н, ˜ЪУ ТФ ‡‚‡ УЪ М‡˜‡О‡ НУУ ‰ЛМ‡Ъ ‚ Ъ Ы·УФ У‚У‰В М‡ıУ‰ЛО‡Т¸ МВЩЪ¸ ‹1 (c = 0), ‡ Ò΂‡ ÓÚ
286
СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru/i03/contacts
̇˜‡Î‡ ÍÓÓ ‰ËÌ‡Ú – ÌÂÙÚ¸ ‹2 (c = 1), Ф Л ˝ЪУП ТПВТ¸ ПВК‰Ы МЛПЛ УЪТЫЪТЪ‚У‚‡О‡. йФ В‰ВОЛЪ¸, Н‡Н ‚УБМЛН‡ВЪ Л‡Б‚Л‚‡ВЪТfl ТПВТ¸ ‚ БУМВ НУМЪ‡НЪ‡ МВЩЪВИ, Ъ.В. М‡ИЪЛ‡ТФ В‰ВОВМЛВ c(x, t) НУМˆВМЪ ‡ˆЛЛ ‚˚ЪВТМfl˛˘ВИ МВЩЪЛ Л ‚˚˜ЛТОЛЪ¸ У·˙ВП У· ‡БЫ˛˘ВИТfl ТПВТЛ.
ê¯ÂÌËÂ. иУПВТЪЛП М‡˜‡ОУ УЪТ˜ВЪ‡ ФУ‰‚ЛКМУИ ТЛТЪВП˚ НУУ ‰ЛМ‡Ъ М‡ „ ‡МЛˆЫ ФВ ‚УМ‡˜‡О¸МУ„У НУМЪ‡НЪ‡ МВЩЪВИ. нУ„‰‡ ̇˜‡Î¸ÌÓ ÛÒÎÓ‚Ë ‰Îfl ¯ÂÌËfl Û ‡‚ÌÂÌËfl (10.17) ·Û‰ÂÚ ‚˚„Îfl‰ÂÚ¸ Ú‡Í:
Ô Ë t = 0: c(x, 0) = |
1 ÂÒÎË ı ≤ 0; |
(10.22) |
|
||
|
0, ÂÒÎË ı > 0. |
|
ä ÓÏ ÚÓ„Ó, ËϲÚÒfl Í ‡Â‚˚ ÛÒÎÓ‚Ëfl: Ô Ë x → +∞ c = = 0; Ô Ë x → –∞ c = 1. иУТОВ‰МЛВ УБМ‡˜‡˛Ъ, ˜ЪУ ‚‰‡ОЛ УЪ У·О‡ТЪЛ НУМЪ‡НЪ‡ НУМˆВМЪ ‡ˆЛЛ У·ВЛı МВЩЪВИ УТЪ‡˛ЪТfl МВЛБПВММ˚ПЛ.
аБ ТУУ· ‡КВМЛИ ‡БПВ МУТЪЛ В¯ВМЛВ ˝ЪУИ Б‡‰‡˜Л ‰Оfl Ы ‡‚МВМЛfl (10.17) ‰УОКМУ Б‡‚ЛТВЪ¸ МВ УЪ ‰‚Ыı ФВ ВПВММ˚ı x Ë t ÓÚ‰ÂθÌÓ, ‡ ÚÓθÍÓ ÓÚ Ó‰ÌÓÈ Ëı ·ÂÁ ‡ÁÏ ÌÓÈ ÍÓÏ·Ë̇ˆËË
ξ = |
x |
, |
(10.23) |
|
|||
|
Kt |
|
|
Ú.Â. c(x, t) = c(ζ).
зВЪ Ы‰МУ Ф У‚В ЛЪ¸ ТФ ‡‚В‰ОЛ‚УТЪ¸ ТОВ‰Ы˛˘Лı ТУУЪМУ- ¯ВМЛИ:
∂c |
= |
dc ∂ξ |
= |
dc |
− |
x |
|
|
= − |
ξ dc |
; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
∂t |
dξ ∂t |
2t Kt |
2t dξ |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
dξ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
∂c |
|
= |
dc |
1 |
; |
|
∂2c |
|
= |
d2c |
|
1 |
. |
|
|
|
||||
∂x |
|
|
dξ Kt |
|
∂x 2 |
|
dξ2 Kt |
|
|
|
||||||||||
иУ‰ТЪ‡‚Оflfl ˝ЪЛ ТУУЪМУ¯ВМЛfl ‚ Ы ‡‚МВМЛВ (10.17), ФУОЫ˜‡ВП У·˚НМУ‚ВММУВ ‰ЛЩЩВ ВМˆЛ‡О¸МУВ Ы ‡‚МВМЛВ ‰Оfl УФ В‰ВОВМЛfl ЩЫМНˆЛЛ c = c(ζ):
− |
ξ |
dc |
= |
d2c |
. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 dξ |
|
dξ2 |
|
|
||
|
|
鷢 ¯ÂÌË ˝ÚÓ„Ó |
Û ‡‚ÌÂÌËfl ̇ıÓ‰ËÚÒfl |
‰‚ÛÍ ‡ÚÌ˚Ï |
|||
ËÌÚ„ Ë Ó‚‡ÌËÂÏ: |
|
|
|||||
|
|
|
|
ξ |
|
|
|
c(ξ) = A∫e−α2/4dα + B, |
|
(10.24) |
|||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
„‰Â A, B – ФУТЪУflММ˚В ЛМЪВ„ Л У‚‡МЛfl.
287
СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru/i03/contacts
СОfl М‡ıУК‰ВМЛfl ФУТЪУflММ˚ı ЛМЪВ„ Л У‚‡МЛfl ЛТФУО¸БЫВП „ ‡МЛ˜М˚В ЫТОУ‚Лfl Б‡‰‡˜Л. ЗУ-ФВ ‚˚ı, Ф Л x → +∞ ξ → +∞ Ë c → 0; ‚Ó-‚ÚÓ ˚ı, Ô Ë x → –∞ ξ → –∞ Ë c → 1. ëΉӂ‡ÚÂθÌÓ, A Ë B Ы‰У‚ОВЪ‚У fl˛Ъ ТЛТЪВПВ ОЛМВИМ˚ı Ы ‡‚МВМЛИ:
∞
0 = A∫e−α2/4dα + B;
0
− ∞
1 = A ∫ e−α2/4dα + B.
0
аПВ˛Ъ ПВТЪУ ЪУК‰ВТЪ‚‡:
∞∞
∫e |
|
|
dα = 2∫e |
|
dβ = 2 |
2 = π ; |
|
|
−α |
2 |
/4 |
−β |
|
π |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
−∞ |
|
|
−∞ |
|
|
|
|
∫e−α2/4dα = − ∫e−α2/4dα = − π , |
|||||||
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
Û˜ÂÚ ÍÓÚÓ ˚ı ÔÓÁ‚ÓÎflÂÚ Ì‡ÈÚË A Ë B ‚ ÒÎÂ‰Û˛˘ÂÏ ‚ˉÂ:
A = − |
|
1 |
; |
B = |
1 |
. |
|
|
2 |
||||
2 |
π |
|
|
|||
нВФВ ¸ ПУКМУ Б‡ФЛТ‡Ъ¸ В¯ВМЛВ
c(ξ) = 1 1 −
2
ξ
1∫e−α 2
π0
/ 4dα .
л‰ВО‡‚ Б‡ПВМЫ ФВ ВПВММУ„У β = –α/2, ФУОЫ˜ЛП
c(ξ) = 1 1 −
2
2e−β 2 d .
∫β
π0ξ
ç‡ÍÓ̈, Á‡Ô˯ÂÏ Â¯ÂÌË Á‡‰‡˜Ë ‚ ÓÍÓ̘‡ÚÂθÌÓÏ ‚ˉÂ:
|
1 |
|
|
c(x, t) = |
1 − |
||
|
|||
|
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
x / 4Kt
2 |
∫ |
π |
|
|
0 |
e−β2dβ . (10.25)
ÑÎfl ‚ÒÂı x > 0 Ô Ë t → 0 Ô‡ ‡ÏÂÚ x/ 4Kt → ∞, ЛМЪВ„ ‡О ‚ ТНУ·Н‡ı ТЪ ВПЛЪТfl Н π /2, c→ 0. Ä̇Îӄ˘ÌÓ, ‰Îfl ‚ÒÂı x < 0
288
СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru/i03/contacts
êËÒ. 10.8. É ‡ÙËÍ ÙÛÌ͈ËË Ò = 0,5 erfc Z:
Z1 – ÚӘ͇, ‚ ÍÓÚÓ ÓÈ Ò = 0,99; Z2 – ÚӘ͇, ‚ ÍÓÚÓ ÓÈ Ò = 0,01
Ô Ë t → 0 ЛМЪВ„ ‡О ‚ ТНУ·Н‡ı ТЪ ВПЛЪТfl Н − π /2, c → 1. лОВ‰У‚‡ЪВО¸МУ, М‡˜‡О¸М˚В ЫТОУ‚Лfl (10.22) ‚˚ФУОМВМ˚.
лЪУfl˘‡fl ‚ Н Ы„О˚ı ТНУ·Н‡ı ЩЫМНˆЛfl ˜‡ТЪУ ‚ТЪ В˜‡ВЪТfl ‚ Б‡‰‡˜‡ı ТЪ‡ЪЛТЪЛНЛ, М‡Б˚‚‡ВЪТfl “˝ ЩЛНУП” Ë Á‡ÔËÒ˚‚‡ÂÚÒfl Í‡Í erfc Z:
|
2 |
Z |
|
erfc Z = 1 − |
∫e−β2dβ. |
||
π |
|||
|
|
0 |
ЦВ „ ‡ЩЛН Ф В‰ТЪ‡‚ОВМ М‡ ЛТ. 10.8. СОfl ‚˚˜ЛТОВМЛfl БМ‡˜ВМЛИ ЩЫМНˆЛЛ erfc Z ËϲÚÒfl ÔÓ‰ Ó·Ì˚ ڇ·Îˈ˚.
ë ÔÓÏÓ˘¸˛ ˝ÚÓÈ ÙÛÌ͈ËË Â¯ÂÌË Á‡‰‡˜Ë Á‡ÔËÒ˚‚‡ÂÚÒfl ·ÓΠÍÓ ÓÚÍÓ:
кЛТ. 10.9. лıВП‡ ‡ТФ В‰ВОВМЛfl НУМˆВМЪ ‡ˆЛЛ МВЩЪЛ ‚ ТПВТЛ ‰Оfl ‡БОЛ˜М˚ı ПУПВМЪУ‚ ‚ ВПВМЛ
289
СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru/i03/contacts
|
x |
|
|
c(x, t) = 0,5erfc |
|
. |
(10.26) |
|
|||
|
4Kt |
|
|
з‡ ЛТ. 10.9 ФУН‡Б‡МУ, Н‡Н ПВМflВЪТfl НУМˆВМЪ ‡ˆЛfl ‚˚ЪВТМfl˛˘ВИ МВЩЪЛ ‚ Б‡‚ЛТЛПУТЪЛ УЪ НУУ ‰ЛМ‡Ъ˚ x ‚ ФУ‰‚ЛКМУИ ТЛТЪВПВ УЪТ˜ВЪ‡ ‰Оfl ‡БОЛ˜М˚ı ПУПВМЪУ‚ ‚ ВПВМЛ. З М‡˜‡О¸М˚И ПУПВМЪ ‚ ВПВМЛ t = 0 УМ‡ ЛПВВЪ ‚Л‰ “ТЪЫФВМ¸НЛ”: ТОВ‚‡ Ò = 1, ÒÔ ‡‚‡ Ò = 0. á‡ÚÂÏ Ô Ë t > 0 ФУfl‚ОflВЪТfl БУМ‡ ФО‡‚МУ„У ФВ ВıУ‰‡ УЪ НУМˆВМЪ ‡ˆЛЛ 1 Н НУМˆВМЪ ‡ˆЛЛ 0, НУЪУ ‡fl Т УТЪУП ‚ ВПВМЛ t ФУТЪВФВММУ‡Т¯Л flВЪТfl.
10.2.5. СгазД а йЕцЦе йЕгДлна леЦла дйзнДднакмыфап зЦонЦв
й·О‡ТЪ¸ ТПВТЛ МВЩЪВИ УФ В‰ВОfl˛Ъ Н‡Н У·О‡ТЪ¸, ‚ НУЪУ УИ НУМˆВМЪ ‡ˆЛЛ МВЩЪВИ УЪОЛ˜М˚ УЪ 0 Л 1, Ъ.В. 0 < c (x, t) < 1. ä‡Í Ô ‡‚ËÎÓ, ÒÏÂÒ¸ ÓÔ Â‰ÂÎfl˛Ú ‚ ÚÂı ËÎË
ËÌ˚ı Ô Â‰Â·ı ÍÓ̈ÂÌÚ ‡ˆËË, Ì‡Ô ËÏ c ≤ c (x, t) ≤ c , „‰Â c , c ‚В ıМЛИ Л МЛКМЛИ Ф В‰ВО˚ НУМˆВМЪ ‡ˆЛИ ТУУЪ‚ВЪТЪ-
‚ÂÌÌÓ. ÖÒÎË c = 1 – c , ЪУ „У‚У flЪ У ТПВТЛ МВЩЪВФ У- ‰ЫНЪУ‚ ‚ ТЛППВЪ Л˜М˚ı Ф В‰ВО‡ı НУМˆВМЪ ‡ˆЛЛ, Ì‡Ô ËÏ ,
ÓÚ 0,01 ‰Ó 0,99 (ÓÚ 1 ‰Ó 99 %) (ÒÏ. ËÒ. 10.8) ËÎË ÓÚ 0,02 ‰Ó 0,98 (ÓÚ 2 ‰Ó 98 %) Ë Ú.‰.
иЫТЪ¸, ‰Оfl УФ В‰ВОВММУТЪЛ, В˜¸ Л‰ВЪ У ТПВТЛ ‚ ТЛППВЪ Л˜М˚ı Ф В‰ВО‡ı НУМˆВМЪ ‡ˆЛЛ. кВ¯Л‚ Ы ‡‚МВМЛВ
0,5 erfc Z = c |
|
|
|
|
УЪМУТЛЪВО¸МУ Z, ̇ȉÂÏ |
|
|
|
|
Z2 = erfc(–1)(2c ), |
|
|
|
(10.27) |
„‰Â ÒËÏ‚ÓÎ (–1) ÓÁ̇˜‡ÂÚ, ˜ÚÓ ·Â ÂÚÒfl ÙÛÌ͈Ëfl, |
Ó· ‡Ú̇fl |
|||
ÙÛÌ͈ËË erfc Z (cÏ. ËÒ. |
10.8). СОfl МВНУЪУ ˚ı |
Ô Â‰ÂÎÓ‚ |
||
ÍÓ̈ÂÌÚ ‡ˆËË Ò Á̇˜ÂÌËfl Z2 ÒÎÂ‰Û˛˘ËÂ: |
|
|
||
c ................................................... |
0,01 |
0,02 0,04 |
0,05 0,07 |
0,10 |
Z2 .................................................... |
1,645 1,452 1,238 |
1,163 1,044 |
0,906 |
|
ì˜ËÚ˚‚‡fl, ˜ÚÓ Z = x / |
4Kt , |
̇ıÓ‰ËÏ |
ӷ·ÒÚ¸ |
ТПВТЛ ‚ |
ТЛППВЪ Л˜М˚ı Ф В‰ВО‡ı НУМˆВМЪ ‡ˆЛЛ: Z2 = lÒ4Kt/ 2 = erfc(−1)(2c )
290
СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru/i03/contacts
ËÎË |
|
lc = 4 Kterfc(−1)(2c ). |
(10.28) |
аБ ˝ЪУИ ЩУ ПЫО˚ ТОВ‰ЫВЪ, ‚ ˜‡ТЪМУТЪЛ, ˜ЪУ ‰ОЛМ‡ lc ӷ·ÒÚË
ТПВТЛ ‡ТЪВЪ Ф УФУ ˆЛУМ‡О¸МУ t , Ъ.В. НУ М˛ Н‚‡‰ ‡ЪМУПЫ ЛБ Ф У‰УОКЛЪВО¸МУТЪЛ ФВ ВН‡˜НЛ.
ЗУ ПМУ„Лı ТОЫ˜‡flı ‰ОЛМЫ У·О‡ТЪЛ ТПВТЛ УФ В‰ВОfl˛Ъ ‚ ТЛППВЪ Л˜М˚ı Ф В‰ВО‡ı НУМˆВМЪ ‡ˆЛЛ УЪ 0,01 ‰У 0,99, Ъ.В. УЪ 1 ‰У 99 %. З ˝ЪУП ТОЫ˜‡В Z2 = 1,645, Л ЩУ ПЫО‡ ‰Оfl ‰ОЛМ˚ У·О‡ТЪЛ ТПВТЛ ЛПВВЪ ‚Л‰:
lc = 6,58 Kt . |
(10.29) |
ЦТОЛ ЛМЪВ ВТЫ˛ЪТfl ‰ОЛМУИ У·О‡ТЪЛ ТПВТЛ Ф Л ФУ‰ıУ‰В ВВ ТВ В‰ЛМ˚ Н НУМˆЫ Ъ Ы·УФ У‚У‰‡, Ъ.В. Ф Л t = L/u, ÚÓ
l |
|
= 6,58 |
K |
L |
= 6,58Pe−0,5L, |
|
(10.30) |
c |
u |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||
„‰В Pe – Ъ‡Н М‡Б˚‚‡ВПУВ ·ВБ ‡БПВ МУВ ˜ЛТОУ иВНОВ: |
|
||||||
Pe = uL . |
|
|
|
|
(10.31) |
||
|
|
K |
|
|
|
|
|
é·˙ÂÏ Vc У·О‡ТЪЛ ТПВТЛ НУМЪ‡НЪЛ Ы˛˘Лı МВЩЪВИ ‚ ТЛППВЪ Л˜М˚ı Ф В‰ВО‡ı НУМˆВМЪ ‡ˆЛЛ М‡ıУ‰ЛЪТfl ФУ ЩУ ПЫОВ:
Vc = lcS = 4erfc(–1)(2c )Pe–0,5VÚ |
(10.32) |
|
ËÎË ‰Îfl Ò = 0,01 |
|
|
|
|
|
Vc = 6,58Pe–0,5VÚ , |
|
(10.33) |
„‰Â VÚ – Ó·˙ÂÏ Ú Û·ÓÔ Ó‚Ó‰‡.
оУ ПЫО˚ (10.30) Л (10.33) Ф Л ЛБ‚ВТЪМУП БМ‡˜ВМЛЛ K ˝ЩЩВНЪЛ‚МУ„У НУ˝ЩЩЛˆЛВМЪ‡ Ф У‰УО¸МУ„У ФВ ВПВ¯Л‚‡МЛfl ‰‡˛Ъ ‰ОЛМЫ Л У·˙ВП У·О‡ТЪЛ ТПВТЛ, У· ‡БЫ˛˘ВИТfl ‚ НУМЪ‡НЪВ ФВ ВН‡˜Л‚‡ВП˚ı МВЩЪВИ.
àÁ ÙÓ ÏÛÎ˚ (10.33) ÒΉÛÂÚ, ˜ÚÓ Ó·˙ÂÏ Vc У·О‡ТЪЛ ТПВТЛ Ы‚ВОЛ˜Л‚‡ВЪТfl ФУ ПВ В Ы‚ВОЛ˜ВМЛfl ‡ТТЪУflМЛfl L Ô Â͇˜ÍË:
Vc = 6,58S |
K |
L. |
(10.34) |
|
|||
|
u |
|
|
Ç ÚÂÓ ÂÚ˘ÂÒÍËı ÏÓ‰ÂÎflı, ‚ |
ÍÓÚÓ ˚ı ÍÓ˝ÙÙˈËÂÌÚ K Ì |
||
Á‡‚ËÒËÚ ÓÚ |
|
Ф УЪflКВММУТЪЛ |
МВЩЪВФ У‚У‰‡, У·˙ВП ТПВТЛ |
291