ОТВЕТНИК ВСЕ В ОДНОМ. ФОРМАТ А5

FindRoot[0.1 x == Sin[x], {x, 8.44}] {x -> 8.4232}

Найдем точное значение наибольшего корня уравнения численно, используя метод касательных:

1

FindRoot[0.1 x == Sin[x], {x, 8.4, 8.5}] {x -> 8.4232}

Видим, что результаты, посчитанные разными методами совпадают, следовательно они верные.

Ответ:

x = 8:4232

2

Задача 1.2.

Найти температуру в центре шара радиуса 1, если на его поверхности температура равна нулю. В момент времени t = 0 темпера-

тура спадает к границе шара от значения u0 к нулю по линейному закону.

Решение.

:

Сделаем замену u(r; t) = v(r;r t).

Получим новую задачу:

8

>vt = a2vrr;

>

>

<v(r; 0) = u0r(1 r);

>v(1; t) = 0;

>

>

:v(0; t) = 0:

Решим ее методом разделения переменных. Пусть v(r; t) = R(r)T (t).

Тогда

RT 0 = a2R00T

3

Рассмотрим следующую задачу Штурма-Лиувилля:

pp

Так как e + e 6= 0 ( < 0), то получаем C2 = 0 и R(r) = 0, что нас неустраивает.

2. = 0 Характеристическое уравнение: 2 = 0. Тогда R(r) = C1 + C2r.

R(0) = C1 = 0:

R(1) = C2 = 0.

Получили, что R(r) = 0, что нас неустраивает.

Так как мы ищем нетривиальные рещения, то C 6= 0. Тогда p 2

sin ( ) = 0

= ( n)2 Получили следующий набор собственных функций и собственных значений:

(

Rn(r) = sin nr;n = ( n)2:

4

Получили следующее представление функции v(r; t):

Получаем следуюущее уравнение на Tn(t):

Tn0 (t) = a2 2n2Tn(t)

Разложим начальное условие в ряд:

5

u0r u0r2 = X 43un03 (( 1)n 1) sin ( nr)

n>0

Получили следующую задачу на Tn(t):

(

Tn0 (t) = a2 2n2Tn(t);

Tn(0) = 43un03 (( 1)n 1)

T (t) = Ce a2 2n2t

C = 43un03 (( 1)n 1)

sin nr ! 1; r ! 0 r

6

Ответ.

Температура в центре шара:

u(0; t) = X 4u0 (( 1)n+1 + 1)e a2 2n2t

3n3

n>0

7

Задача 2.1.

Пусть A = diag( 1; : : : ; n) диагональная n n матрица, у которой 1; : : : ; n 2 R, è 1 6= j, j > 1. Пусть B некоторая другая эрмитова матрица n n. Требуется вычислить первые

три члена разложения по степеням " того собственного значения матрицы A + "B, которое при " ! 0 сходится к 1.

Решение.

Будем искать решение следующей задачи

Рассмотрим (4). Пусть x0 = (x10; x20; : : : ; xn0 ). Получим следующую

систему уравнений:

8

1x1 = 1x1; > 0 0

>

>

>< 2x20 = 1x20;

>.

>

>

>

: nxn0 = 1xn0 :

8

Из условия 1 6= j, j > 1 следует, что x0 = (x10; 0; : : : ; 0). Пусть x10 = 1. На текущем этапе получили:

Рассмотрим (5).

(A 1I)x1 = ( 1I B)x0

Из Альтернативы Фредгольма следует, что решение этого уравне- íèÿ x1 существует тогда и только тогда, когда

( 1I B)x0? Ker(A 1I) :

Из условия задачи 1; : : : ; n 2 R следует, что

(A 1I) = (A 1I):

Пусть v 2 Ker(A 1I) ) (A 1I)v = 0. Отсюда следует, что

( 1I B)x0?x0 ) (( 1I B)x0; x0) = 0

1(x0; x0) = (Bx0; x0)

1 = ((b11; b21; : : : ; bn1); (1; 0; 0; : : : ; 0)) = b11

(A 1I)x1 = (b11I B)x0 = (0; b21; b31; : : : ; bn1)

9

Рассмотрим (6).

(A 1I)x2 = ( 1I B)x1 + 2x0

Аналогично, из Альтернативы Фредгольма следует, что решение этого уравнения x2 существует тогда и только тогда, когда

( 1I B)x1 + 2x0? Ker(A 1I):

(( 1I B)x1 + 2x0; x0) = 0

2(x0; x0) = (( 1I B)x1; x0)

2 = ((b11I B)x1; x0) = (x1; (b11I B) x0)

10