ОТВЕТНИК ВСЕ В ОДНОМ. ФОРМАТ А5
.pdf
Задача 13.1 Найти решение задачи Коши:
8
<@u @u @u + u3 = 0 @t @x1 @x2
: ujt=0 = x1 x2
Решение:
( |
|
|
@t1 = 1 |
|
|
|
|
( |
|
@t2 = 1 |
|
|
( |
@U |
|
= U |
3 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@t |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
@X |
|
|
|
|
|
|
|
@X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X1 |
j |
t=0 = |
|
|
|||||||||||||
X1jt=0 = |
|
|
|
|
X2jt=0 = |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
= t + C |
||||||||
X1 |
= |
|
t + |
|
|
|
|
|
|
X2 = |
|
t + |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2U2 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U = |
p |
|
1 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
= X1 + t |
|
|
|
|
|
|
|
= X2 + t |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2t + C |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
Ujt=0 = |
p |
|
|
= ) C = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
( )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
U(x1; x2) = |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2t + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2t + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
2 |
|
|
= x1 + t |
|
|
|
(x1 |
x2) |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= x2 + t |
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
1 |
|
|
|||
|
|
|
||||
U(x1 |
; x2) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
x2)2 |
|||
|
q2t + (x1 |
|||||
|
|
|
|
|
1 |
|
61
Задача 9.2.
Для эрмитовых матриц A и B докажите, что при t ! 0
t2
ei(A+B)t = eiBt 1 2 [A; B] + O(t3) eiAt:
Решение.
Воспользуемся формулой для функции от суммы:
1 2 3 2 4 1 5
f(A + B) = f(A + B)+ [A; B] 2f(A + B; A + B; A + B); (21)
12
ãäå 2f(x1; x2; x3) = R d 2 R d 1 f00( 1x1 + ( 2 1)x2 + (1 2)x3).
00
1 |
|
2 |
|
|
|
ei(A+B)t = eiBteiAt+ [A;3B] Z |
d 2 |
Z |
d 1 (it)2 |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
2 |
|
|
4 |
1 |
5 |
exp [it 1 (A + B) +it( 2 1) (A + B) +it(1 2)(A + B)] =
12
ZZ
= eiBteiAt t2 d 2 d 1 e(1 2)itBe( 2 1)it(A+B)[A; B]e 1it(A+B)e(1 2)itA =
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
= f[A; A] = 0; [B; B] = 0g = eiBteiAt t2 |
Z0 |
d 2 |
Z0 |
d 1 eitBe 2itB |
|
e( 2 1)it(A+B)[A; B]e 1it(A+B)e 2itAeitA =
1 2
ZZ
= eitB 1 t2 d 2 d 1 e 2itBe( 2 1)it(A+B)[A; B]e 1it(A+B)e 2itA eitA
00
(22)
Воспользуемся еще раз формлулой (21).
e( 2 1)it(A+B) = e( 2 1)itBe( 2 1)itA + O t2
62
e 1it(A+B) = e 1itBe 1itA + O t2
Подставим это в интеграл из выражения (22).
12
ZZ
d 2 d 1 e 2itBe( 2 1)it(A+B)[A; B]e 1it(A+B)e 2itA =
00
12
ZZ
= d 2 d 1 e 2itBe( 2 1)itBe( 2 1)itA[A; B]e 1itBe 1itAe 2itA+O t2 =
00
12
ZZ
= |
d 2 d 1 e 1itBe( 2 1)itA[A; B]e 1itBe ( 2 1)itA + O t2 |
(23) |
0 |
0 |
|
Воспользуемся следующей формулой коммутаци:
2 |
1 |
3 |
|
[T; f(A)] =[T; A] f(A; A) |
(24) |
||
Пусть T = [A; B], а f(x) = exp [( 2 1)itx].
e( 2 1)itA[A; B] = [A; B]e( 2 1)itA [[A; B]; e( 2 1)itA] =
= [A; B]e( 2 1)itA + O (t)
Подставим это в (23).
12
ZZ
(23) = d 2 d 1 e 1itB[A; B]e( 2 1)itAe 1itBe ( 2 1)itA+O (t) (25)
00
Применим форумулу (24) еще раз. Пусть T = [A; B], а f(x) = e 1itx. e 1itB[A; B] = [A; B]e 1itB [[A; B]; e 1itB] = [A; B]e 1itB + O (t)
Подставим это в (25).
12
ZZ
(25) = d 2 d 1 [A; B]e 1itBe( 2 1)itAe 1itBe ( 2 1)itA+O (t) (26)
00
63
Применим следующую формулу коммутации:
3 |
2 |
4 |
1 |
5 |
|
[g(B); f(A)] =[B; A] g(B; B) f(A; A) |
(27) |
||||
Пусть g(x) = e( 2 1)itx, à f(y) = e 1ity.
e( 2 1)itAe 1itB = e 1itBe( 2 1)itA + [e( 2 1)itA; e 1itB] =
= e 1itBe( 2 1)itA + O t2
Подставим это в (26):
12
ZZ
(26) = d 2 d 1 [A; B]e 1itBe 1itBe( 2 1)itAe ( 2 1)itA + O (t) =
0 0
1 2
ZZ
= [A; B] d 2 d 1 e 1itBe 1itBe( 2 1)itAe ( 2 1)itA + O (t) =
00
1
Z
1
= [A; B] 2d 2 + O (t) = 2[A; B] + O (t) : (28)
0
Поставим полученное значение интеграла в формулу (22).
(22)= eitB 1 t2 12[A; B] + O t3 eitA
Âрезультате мы получили формулу:
ei(A+B)t = eitB 1 12t2[A; B] + O t3 eitA:
64
Задача 14.1 Решить задачу Коши:
ux + (1 + y2)Uy + 2yu = sin 2y; ujx=0 = y
Решение: Это квазилинейное уравнение.
dy |
= 1 + y2; |
|
du = sin 2y |
|
2yu; |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
yjx=0 = y0 |
ujx=0 = y0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
1) |
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
= dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg y = x + C1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
C1 = arctg y0 ) y = tg (x + arctg y0); x + arctg y0 2 |
( |
|
; |
|
|
) |
|||||
2 |
2 |
||||||||||
2)
du
dx = sin(2tg (x + arctg y0)) 2tg (x + arctg y0)u
Это неоднородное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами.
|
du |
= 2tg (x + arctg y0)u (однородное уравнение) |
||||
|
|
|||||
|
dx |
|||||
|
|
ln u = 2 ln jcos(x + arctg y0)j + ln C2 |
||||
|
|
Z tg (ax)dx = a ln jcos(ax)j + C |
||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
u = C2 cos2(x + arctg y0) |
||||
u = C2(x) cos2(x+arctg y0) |
(используем метод вариации постоянной) |
|||||
|
C2` (x) cos2(x + arctg y0) = sin(2tg (x + arctg y0)) |
|||||
|
|
C2(x) = Z |
cos2(x + arctg y0)0 |
)) |
dx = |
|
|
|
|
sin(2tg (x + arctg y |
|
||
65
Z
1
= sin(2tg (x+arctg y0))dtg (x+arctg y0) = 2 cos(2tg (x+arctg y0))+C3
u = ( 12 cos(2tg (x + arctg y0)) + C3) cos2(x + arctg y0)
ux=0 = |
1 |
cos(2y0) + C3 |
cos2(arctg y0) = y0; ãäå y0 = tg (arctg y x) |
||
2 |
|||||
2 cos(2tg (arctg y x)) + C3 |
cos2(arctg y x) = tg (arctg y x) |
||||
1 |
|
|
|
|
|
def
Пусть = arctg y x.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
cos(2tg ) + C3 cos2 = tg |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C3 = |
|
|
+ |
|
|
|
cos(2tg ) |
|
|
|
|
||||||||||
u = |
|
|
|
|
|
|
cos2 |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg (arctg y x) |
|
|||||||
|
cos(2tg (x + arctg (tg (arctg y x)))) + |
|
+ |
||||||||||||||||||||||||||||
2 |
cos2(arctg y x) |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
+ |
|
|
cos(2tg (arctg y x)) cos2(x + arctg (tg (arctg y x))) = |
|
|||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
tg (arctg y |
x) |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
= |
|
cos 2y + |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
cos(2tg (arctg y x)) cos2(arctg y) |
||||||||||||||||||
2 |
cos2(arctg y x) |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg tg (cos2 + sin2 ) |
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= tg + tg |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
cos2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos 2y = cos2 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos(2tg ) = cos3(tg ) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Ответ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
u(x; y) = cos2(tg (arctg y x)) cos2 y + tg (arctg y x)+ |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ tg 3(arctg y |
|
x) |
cos2(arctg y) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
66
Задача 14.2.
Четыре матрицы A, B, C, D удовлетворяют соотношениям
AB = BA + C; CB = BC + D; DB = BD:
Матрица B эрмитова. Доказать, что
[A; sin B] = C cos B + 12D sin B:
Решение.
Из условия задачи следует, что
[A; B] = C; |
[C; B] = D; |
[D; B] = 0: |
|
|
(29) |
||||
Воспользуемся следующей формулой коммутации: |
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
1 |
3 |
|
|
|
|
[T; f(A)] =[T; A] f(A; A); |
|
|
(30) |
|||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ãäå f(x1; x2) = R0 |
d f0( x1 + (1 )x2). |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
d cos ( B +(1 ) B) = |
|
||||
[A; sin B] =[A; B] sin (B; B) =C Z0 |
|
||||||||
2 |
1 |
3 |
2 |
|
|
3 |
1 |
|
|
|
1 |
d |
ei(1 )BCei B + e i(1 )BCe i B |
|
(31) |
||||
|
= 2 Z |
|
|||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||
Снова применим формулу (30). |
|
|
|
|
|
|
|||
e i(1 )BC = Ce i(1 )B [C; e i(1 )B] = Ce i(1 )B |
|
|
|
||||||
2 |
|
|
3 |
|
|
1 |
|
|
|
[C; B] exp ( i(1 ) B; i(1 ) B) = Ce i(1 )B |
|
|
|||||||
2 |
|
3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
D exp ( i(1 ) B; i(1 ) B) = f[D; B] = 0g =
=Ce i(1 )B Di(1 )e i(1 )B =
=(C Di(1 ))e i(1 )B
67
Подставим это в (31).
(31) = 2 |
1 |
d (C Di(1 ))ei(1 )Bei B+(C+Di(1 ))e i(1 )Be i B = |
||||||||||||||||||
Z |
||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 Z |
d (C Di(1 ))eiB + (C + Di(1 ))e iB = |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= 2 |
1 |
d |
CeiB +Ce iB + 2 |
1 |
d |
( Di(1 ))eiB +(Di(1 ))e iB = |
|
|||||||||||||
Z |
Z |
|
||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
= |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
= C cos (B) iD 2d Z |
d (1 ) eiB e iB |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
d (1 ) sin (B) = C cos (B) + D 2 sin (B) (32) |
|
|||||||||||
= C cos (B) + D Z0 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
В результате получили следующую формулу:
[A; sin B] = C cos B + 12D sin B:
68