ОТВЕТНИК ВСЕ В ОДНОМ. ФОРМАТ А5

w1(x) = 0

Теперь найдем V (y).

V

åãî íà ":

v000(y)+"v100(y)+(1+"y)v00 (y)+"(1+"y)v10 (y) "v0(y) "2v1(y)+: : : = 0

Выпишем коэффициенты при степенях ":

"0 : v000 + v00 = 0

"1 : v100 + yv00 + v10 v0 = 0

Решим сначала первое уравнение: v000 + v00 = 0

v0(y) = C2e y

Учтем, что v0(y) ! 0; v1(y) ! 0; y ! 1.

Из граничного условия U(0) = 0 следует, что v0(0) = w0(0) = 12 = C2, v1(0) = 0.

v0(y) = 12e y

Теперь решим второе уравнение. v00 (y) = 12 e y. v100 + v10 = 12e y(1 + y)

Ищем частное решение в виде v1p = (Ay2 + By)e y.

v10 p = (2Ay + B)e y e y(Ay2 + By) = e y(2Ay + B Ay2 By)

v100p = e y(2Ay + B Ay2 By) + e y(2A 2Ay B) =

= e y(2A 4Ay 2B + Ay2 + By)

41

42

Задача 7.2.

Известно, что гамильтонова система

(

p0 = Hx; p; x 2 R3;

x0 = Hp; H(x; p) 2 C1(R6);

имеет два первых интеграла: f1 = p3x2, f2 = p22 + x3. Следует ли отсюда, что функция f3 = 2p2p3 + x2 также является первым интегралом для этой системы?

Решение.

Функция f является первым интегралом системы, если fH; fg =

0.

Вычислим ff1; f2g:

Получили, что ff1; f2g = f3.

fH; f3g = fH; ff1; f2gg

Воспользуемся тождеством Якоби:

fH; ff1; f2gg + ff1; ff2; Hgg + ff2; fH; f1gg = 0

Из условия задачи следует, что fH; f1g = fH; f2g = 0. Получаем fH; f3g = 0.

43

8.2 Решить начально-краевую задачу

8@2u = @2u

<

> @t2 @x2

ujt=0 = 2 cos 52x ; @u@t jt=0 = 0

>

:@u@x jx=0 = 0; ujt= = 0

Решение:

Решение уравнения будем искать в виде u = T (t)X(x).

T 00X = T X00

TT00 = XX00 =

X00 + X = 0

T 00 + T = 0

Ищем нетривиальное решение задачи. 1) < 0

Xxjx=0 = C1 C2 = 0 ) C1 = C2

p p p p

Xj =0 = C1e + C1e = C1e (e2 + C1) = 0 )

C1 = 0

X = 0 получили тривиальное решение 2) = 0

X00 = 0

X= C1x + C2

Xxjx=0 = C1 = 0

X= C2; Xjx= = C2 = 0

X= 0 получили тривиальное решение

3) > 0

X00 + X = 0 p

k2 = ; kp= i p

X = C cos x + C sin x

1 p p 2 p p

X = C1 p sin x + C2 cos x

Xxjx=0 = C2p= 0 ) C2 = 0

Xjxp= = C1 cos = 0

cos = 0 p

= 2 + n; n = 0; 1; 2; :::

44

n=0

n

Коэффициенты при остальных n равны нулю.

T2(0) = 2

T2 = C3 cos 52 t

45

Задача 8.2 Закодировать следующую последовательность сообщений алго-

ритмом Шеннона-Фено

Построить кодовое дерево и вычислить эффективность данного кода.

Решение:

Метод Шеннона-Фено:

1.Составить список элементарных сообщений в порядке убывания вероятностей их появления

2.Множество символов сообщений разбивается на две группы, суммарная вероятность которых приблизительно равна. Если символ относится к первой группе, то ему присваивается A, если ко второй - то B

3.Каждая группа разбивается на 2 подгруппы и применяется тот же принцип и т.д.

V ( ) - набор элементов кодовой последовательности. Построим кодовое дерево:

46

TEK - эффективность текущего кодирования

0 < TEK 6 1; åñëè TEK = 1, то текущее кодирование является оптимальным.

l - средняя длина кодового слова

P

l = P ( )l( )

l( ) - длина кодового слова

l min = H log D

D - основание кода

D = 2; log D = 1

H - средняя энтропия Больцмана-Шеннона (входного сообщения)

47

Определение. Текущее кодирование - поэлементное кодирование, т.е. каждому элементу ставится во взаимно однозначное соответствие кодовое слово.

Определение. Текущий код l = lmin называется оптимальным текущим кодом.

48

Задача 9.1.

Пусть A и B эрмитовы n n матрицы. Для A известны ее

собственные значения 1; : : : ; n и собственные векторы Y1; : : : ; Yn. Вычислить главный член асимптотики при " ! 0 величины

(et(A+"B)Yj; Yk)

при условии, что j 6= k.

Решение.

Воспользуемся рядом Ньютона:

Сначала вычислим (etAYj; Yk). Воспользуемся следующей форму-

49

Применим эту формулу.

(etAYj; Yk) = (et j Yj; Yk) = et j (Yj; Yk) = et j ij

Учитывая условие задачи j 6= k получаем, что (etAYj; Yk) = 0.

Ответ.

Получили формулу:

(et(A+"B)Yj; Yk) = "et j et k (BYj; Yk) + O "2 :j k

50