ОТВЕТНИК ВСЕ В ОДНОМ. ФОРМАТ А5

Задача 9.2 С помощью "Математики"найти численную длину отрезка кривой 4y2 = (x 1)5, заключенного внутри параболы y2 = x.

Использовать функцию ImplicitPlot директории Graphics и встроенную функцию NIntegrate.

Решение:

<< GraphicsImplicitPlot`

ImplicitPlot[f4y^2 == (x 1)^5; y^2 == xg; fx; 0; 3g] FindRoot [(x 1)5 == 4x; fx; 2:5g]

h h i i

l = Sqrt 1 + D 0:5(x 1)5 ; x ^2

2

2NIntegrate[l; fx; 1; 2:597013g]

51

Задача 10.2 Написать функцию chords[func; x; a; b; "], которая реализует метод хорд вычисления корней уравнения. Ее аргументы:

func исследуемая функция

x; a; b имя аргумента функции и интервал, на котором находится корень уравнения

" точность вычисления корня

Решение: Итерационая формула для метода хорд:

В качестве начального приближения берем границы отрезка.

chords[f_, {x_, a_, b_}, eps_] := ({z1, z2} = {N[a], N[b]};

Пример использования:

In: g[x_] := Sin[x] - 0.1 x h = Sin[x] - 0.1 x

Out: -0.1 x + Sin[x]

chords[h, {x, 8, 9}, 0.0001] {8.4232, 8.42321}

chords[g[x], {x, 8, 9}, 0.0001] {8.4232, 8.42321}

FindRoot[g[x], {x, 8}] {x -> 8.4232}

FindRoot[h, {x, 8}] {x -> 8.4232}

53

=(A1 1 + A2 2 + A3 3)(B1 1 + B2 2 + B3 3)

(A1 1 + A2 2 + A3 3)(B1 1 + B2 2 + B3 3) =

=(A1B1 A1B1) 1 1 + (A2B2 A2B2) 2 2 + (A3B3 A3B3) 3; 3+

+(A1B2 B1A2) 1 2 + (A1B3 B1A3) 1 3+

(A2B1 B2A1) 2 1 + (A2B3 B2A3) 2 3+ (A3B1 B3A3) 3 1 + (A3B2 B3A2) 3 2 =

= (A2B3 B2A3)( 2 3 3 2) + (A3B1 B3A1)( 3 1 1 3)+

+ (A1B2 B1A2)( 1 2 2 1) =

Вычислим [A; B].

54

55

Задача 11.2 Построить базу ориентированного графа с матрицей

Решение: AG матрица смежности ориентированного графа G:

Построим граф достижимости G для графа G. Так как у графа

G имеется 5 вершин, то нужно построить матрицу достижимости с длиной пути 4, и матрица графа достижимости AG = Ae4.

B0 1 0 1 0C

BC

Ae4 = B1 1 1 1 0C = AG

BC

@0 0 0 1 0A 0 1 0 1 1

Тогда матрица AG графа сильной достижимости имеет вид:

56

B0 1 0 0 0C

BC

AG = B1 0 1 0 0C

BC

@0 0 0 1 0A 0 0 0 0 1

Компоненты сильной связности графа G: K1 = f 1; 3g, K2 = f 2g, K3 = f 4g, K4 = f 5g.

Построим граф отношения достижимости на компоненты графа G (рис. 2)

K1 />K2

!

K4 /K3

Рис. 2: Граф отношения достижимости

Минимальные компоненты: K1 = f 1; 3g è K4 = f 5g ) существует две базы графа G: B1 = f 1; 5g è B2 = f 3; 5g (т.к. содержат по одной вершине из каждой минимальной компоненты).

Ответ: Базы графа G: B1 = f 1; 5g è B2 = f 3; 5g.

57

Задача 12.1.

Зная компоненты векторного поля A, найти разложение !A1 .

Решение.

Определение

Формой степени 1 (иди, короче, 1-формой) называется линейная функция от веткора, ! : Rn ! R,

!( 1 1 + 2 2) = 1!( 1) + 2!( 2); 8 1; 2 2 R; 1; 2 2 Rn

Пусть A 2 Rn : A = (A1; A2; : : : ; An), 2 Rn.

Тогда !A1 ( ) = (A; ). (Скалярное произведение). В самом деле, пусть 1; 2 2 R; 1; 2 2 Rn:

!A1 ( 1 1 + 2 2) = (A; 1 1 + 2 2) = 1(A; 1) + 2(A; 2);

òàê êàê (A; i i) = i(A; i) = i(A; i); i = 1; 2 (в силу вещественности i).

58

12.2 Решить задачу Коши для уравнения Гамильтона-Якоби

(

@u@t + (1 + x2)@u@x = 0 ujt=0 = x

Решение:

jx =x (t;x)

59

60