Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный институт электроники и математики (технический университет)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ОТВЕТНИК ВСЕ В ОДНОМ. ФОРМАТ А5

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.02.2015

Размер:

981.9 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 74 5 6 7 > Следующая >>>

таким образом

!2 = P x2 ^ x3 + Qx3 ^ x1 + Rx1 ^ x2, ãäå

P = !2(e2; e3); Q = !2(e3; e1); R = !2(e1; e2)

Задача 5.1.

Найти асимптотику по малому параметру ~ ! 0 решения урав-

нения ~2 00 + x = 0 2

в областях

1)x < 0; 2)x > 0; 3)x = 0:

Решение: a(x) = x

a(x) = 0 ) x = 0

a0(x) = 1; a0(0) = 1, следовательно x = 0 - точка поворота. Сделаем замену:

L =

dL dx

C2 d2

dL2e2

dx2

~34

4 d2

3 L

dLe2

= 0

C2 d2

dLe2

= 0

C3 d2

dLe2

L = 0

Положим

= 1

C = p2,

L =

)

таким образом

p2x

L = 0 - уравнение Эйри

Решением уравнения Эйри является функция Эйри:

(L) = Ai(L) = 2

Z 1 ei(

+LS)dS

Выпишем асимптотику функции Эйри:

		p ( L)4						3																				4														! 1
					1									2										3													3
Ai(L) =							1			cos						(						L)2										+ O((L 2						))		;	L
										1												3
	Ai(L) =									1			1 e 32 L 2 (1 + O(L) 23 ); L																											+
							p (L)						4																										! 1
																						1			+1							S3
										Ai(0) =														Z1						ei				dS
																																	3
																				2													3
сделаем обратную замену
			p3
(x) = Ai(			p3		2x	) =								1
					3									3
					3									3
			~2						p (						p2x						)41
			~2						p (						2						)41
													~3
								"3						p3									3	4				#							p3				3	!		! 1
														p3									3												p3		3		3
														~3																				~			3
								2									2x						2													2x			2
						cos					(						2					)	2							+ O((							2	)	2	)	;
						cos					(						2					)								+ O((							2	)		)	;
		p3		x																						p3			x		23								p3
			2								1												32				2														23		!		1
			2								1																2

(x) = Ai(			3		) =			p						2x				4			e				(			3		)				)(1+O((						2x) h));				+
			2									p						1										2
		~					2				(						)								~
		~					2				(			2			)								~
													~3
																						1			+1							S3
											(0) =													Z1						ei				dS
																																3
																			2													3

ò.ê. L = 0, ïðè x = 0

Задача 5.2.

Две матрицы A и B удовлетворяют соотношению [A; B] = 4 B. Матрица A эрмитова. Доказать, что

(sin A)B = p B(sin A + cos A): 2

Решение.

[A; B] = AB BA = 4 B ) AB = B A + 4

Воспользуемся формулой квазикоммутации:

eñëè AT = T A1, òî f(A)T = T f(A1).

Пусть f(x) = sin (x); A1 = A +

sin (A)B = B sin A +

Пусть собственные значение матрицы A, а E собственные

Воспользуемся этим:

проекторы. Тогда f(A) =

f( )E .

Sp A

= 2Sp A sin

sin A + 4

+ 4 E =

(sin A + cos A):

= 2Sp A sin cos 4 + cos sin

4 E = p2

В итоге получаем следующую формулу:

(sin A)B = p B(sin A + cos A): 2

Задача 6.1.

	exp(B +2"A)			exp B è exp("A) è				A è B
Пусть для эрмитовых матриц A, B известно, что								[A; B]; B ; B = 0.
Вычислить			через			коммутаторы
с точностью до O(" ).
Решение.
Воспользуемся формулой для функции от суммы:
	1	2		3	2	4	1	5

f(A + B) = f(A + B)+ [A; B] 2f(A + B; A + B; A + B); (12)

ãäå 2f(x1; x2; x3) = R d 2 R d 1 f00( 1x1 + ( 2 1)x2 + (1 2)x3).

			1		2
exp (B + "A) = exp ("A) exp (B) + " [B;3A] Z0				d 2	Z0	d 1		=
exp	1	(B + "A) + ( 2	1)(B + "A) + (1 2)(B + "A)					=
		2	4			1	5

= exp ("A) exp (B) " d 2 d 1 exp [(1 2)"A]

exp [( 2 1)(B + "A)][A; B] exp [ 1(B + "A)] exp [(1 2)B] (13)

Воспользуемся еще раз формлулой (12), с учетом того, что [B; "A] = O (").

exp [( 2 1)(B + "A)] = exp [( 2 1)"A] exp [( 2 1)B] + O (")

exp [ 1(B + "A)] = exp [ 1"A] exp [ 1B] + O (")

(13) = exp ("A) exp (B) " d 2 d 1 exp [(1 2)"A] exp [( 2 1)"A]

exp [( 2 1)B][A; B] exp [ 1"A] exp [ 1B] exp [(1 2)B] + O "2

(14)

Воспользуемся следующей формулой коммутаци:

2	1	3
[T; f(A)] =[T; A] f(A; A)			(15)
Пусть T = [A; B], а f(x) =	exp [ 1x]. С учетом		òîãî, ÷òî

[[A; B]; "A] = O ("), получим:

[A; B] exp [ 1"A] = exp [ 1"A][A; B] + O (")

Подставим это в (14).

(14) = exp ("A) exp (B) " d 2 d 1 exp ["A] exp [ 1"A]

exp [( 2 1)B] exp [ 1"A][A; B] exp [ 1B] exp [(1 2)B] + O "2

(16)

Применим следующую формулу коммутации:

3	2	4	1	5
[g(B); f(A)] =[B; A] g(B; B) f(A; A)					(17)

Пусть g(x) = exp [( 2 1)x], à f(y) = exp [ 1y]. Учитывая, что [B; "A] = O ("), получим:

exp [( 2 1)B] exp [ 1"A] = exp [ 1"A] exp [( 2 1)B] + O (")

Подставим это в (16):

(16) = exp ("A) exp (B) " d 2 d 1 exp ["A] exp [ 1"A] exp [ 1"A]

exp [( 2 1)B][A; B] exp [ 1B] exp [(1 2)B] + O "2 =

= exp ("A) exp (B) " d 2 d 1 exp ["A] exp [( 2 1)B]

0	0
[A; B] exp [(1 2 + 1)B] + O "2		(18)

Применим формулу (15). Пусть T = [A; B], а f(x) = exp [(1 + 1 2)x]

Учитывая условие задачи

[A; B]; B ; B

= 0, получаем:

[A; B] exp [(1 2 + 1)B] = exp [(1 2 + 1)B][A; B]+

+ [

]

A; B

; exp [(1

)B]

= exp [(1

)B][A; B]+

+[[A; B]; B] exp ((1 2 + 1) B; (1 2 + 1) B) =

=exp [(1 2 + 1)B][A; B]+[[A; B]; B](1 2+ 1) exp [(1 2 + 1)B] =

=exp [(1 2 + 1)B]([A; B] + [[A; B]; B](1 2 + 1))

подставим это в формулу (18):

(18) = exp ("A) exp (B) " d 2 d 1 exp ["A] exp [( 2 1)B]

0 0

exp [(1 2 + 1)B] [A; B] + [[A; B]; B](1 2 + 1) + O "2 = = exp ("A) exp (B) " exp ["A] exp [B]

1 2

d 2 d 1 ([A; B] + [[A; B]; B](1 2 + 1)) + O "2 =

= exp ("A) exp (B) " exp ["A] exp [B]

1
Z d 2 [A; B] 2	+ [[A; B]; B]( 2	2 +	2	+ O "		=
			2 )		2
		2	2
0

=exp ("A) exp (B) " exp ["A] exp [B] [A; B]12+

+[[A; B]; B] 12 13 + 16 + O "2

Ответ.

exp (B + "A) = exp ("A) exp (B) 1 "12[A; B] "13[[A; B]; B] + O "2

Задача 6.2 Найти решение задачи Коши:

ut + 12 u2x + uux = 0; ujt=0 = x

Решение:

def

p = ux

H = 12p2 + up

Решим обобщенное уравнение Гамильтона-Якоби:

8 p = @x

p @u = p2;

pjt=0 = 1

> x =

= p

x t=0 = x0

H = p(p + u) 21 p2 up = 21 p2 ujt=0 = x0

> u = p @p

p = p2

p 1 = t + C ) p =

) C = 1

t + C

p =

t 1

u =

p2 ) u =

(t 1)2

u =

+ C ) C +

= x0 ) C = x0

t 1

u =

2 t 1

x = p + u =

t 1

ln jt

1j (x0 +

x =

)t + C

C = x0 ) x =

ln jt

(x0 +

)t + x0

ln t

1 + 1 t

J =

@x(x0; t)

t 6= 0 ïðè t < 1

x0 =

= 1

@x0

Ответ:

x 21 ln jt 1j + 21 t

ïðè

u(x; t) =

t < 1

2 t 1

1 t

Задача 7.1.

Найти два члена асимптотического разложения решения краевой задачи:

"d2U + (1 + x)dU U = 0; 0 6 x 6 1; U(0) = 0; U(1) = 1; " ! 0: dx2 dx

Решение.

Будем искать решение в виде: U = W + V , где W внутреннее разложение вида W (x) = w0(x) + "w1(x) + : : :, а V внешнее разло-

жение (пограничный слой) вида V (y) = v0(y) + "v1			(y) + : : : ; y = x
			" .
Сначала найдем W . Подставим разложение для W в исходное
уравнение.
"w000 + "2w100 + (1 + x)w00 + (1 + x)"w10 w0 "w1 + : : : = 0
Выпишем коэффициенты при степенях ":
"0 : (1 + x)w00 w0 = 0
"1 : w000 + (1 + x)w10 w1 = 0		w0
Решим сначала первое уравнение. w0	=	w0
Решим сначала первое уравнение. w0	=
0		1 + x
		1 + x
w0(x) = C(1 + x)

Из граничного условия U(1) = 1 следует что w0(1) = 1; w1(1) = 0. Получаем w0(1) = 2C = 1, откуда получаем

w0(x) = 2(1 + x):

Решим второе уравнение. w0 (x) =		1	; w00	(x) = 0.
0		2	0
w0 =	w1
w0 =
1	1 + x
	1 + x
w1(x) = C1(1 + x)
w1(1) = 2C1		= 0

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 74 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
29.08.2019210.94 Кб4ОС_лаб_dos.doc
#
29.08.2019505.86 Кб2ОС_лаб_nc.doc
#
29.08.20191.14 Mб2ОС_лаб_wc.doc
#
08.02.20151.3 Mб122Основы Дискретной математики.pdf
#
08.02.2015875.01 Кб85ответник 10-11.doc
#
08.02.2015981.9 Кб13ОТВЕТНИК ВСЕ В ОДНОМ. ФОРМАТ А5.pdf
#
08.02.20152.62 Mб63Ответник к госэкзамену_Белов.docx
#
08.02.20151.89 Mб120Ответник на госы.docx
#
08.02.20154.3 Mб26ответник по БЖД.doc
#
28.04.20199.45 Mб11Ответник.doc
#
06.08.2019476.93 Кб4Ответы Информатика.docx