Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный институт электроники и математики (технический университет)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ОТВЕТНИК ВСЕ В ОДНОМ. ФОРМАТ А5

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.02.2015

Размер:

981.9 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 72 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Так как по условию задачи B = B , òî

2	= Ce1	+ =2 i i		1	; j=2 ( bj1)ej!	:
		n	b		n
		Xi			X

С учетом того, что (ei; ej) = ij, получаем:
2 =	n		bj21			:		(10)
2 =						:		(10)
	Xj				1
	=2		j		1
	=2
Ответ.
		n			bj21
= 1 + "b11 + "2		Xj			bj21
		Xj		1		j
		=2		1		j	+ O "3
		=2

Задача 2.2.

Найти два члена ВКБ-асимптотики для решений уравнения

>x2U00 + xU0 + ( 2x2 1)U = 0

0 < 1

: ! 1

Решение.

Решение уравнения будем искать в виде:

U(x) = ei S(x) (x; )

Подставим данное решение в уравнение

U0 = i S0ei S + ei S 0 = (i S0 + 0)ei S

U00 = (i S00 + i S0 0 + 00)ei s + i S0(i S0 + 0)ei S =

= (i S00 + 2i S0 0 2(S0)2 + 00)ei S

(x; ) будем искать в виде:

(x; ) = 0(x) +

1(x)

+ O( 2)

= 00

+ O( 2)

= 000

100

+ O( 2)

(i S00

+ O( 2)] + 2i S0[ 00 +

+ O( 2)]

[ 0 +

+ O( 2)] + 000 +

100

2(S0)2

[ 0 +

+ O( 2))+

+ x(i S0

( 0 +

+ O( 2)) + 0

+ O( 2))+

+ ( 2x2

1)( 0 +

+ O( 2)) = 0

соберем коэффициенты при разных степенях i :

(i )2:

x2 0((S0)2		x2(S0)2 0 x2 0 = 0				(S0)2
x2 0((S0)2	1) = 0,		= 0,	x = 0	)	(S0)2	1 = 0
(i )1:		0	6	6	)

x2S00 0 + 2x2S0 00 + (S0)2 1x2 + xS0 0 x2 1 = 0

(i )0:

x2S00 1 + 2x2S0 01 + 000x2 + xS0 1 + 00x 0 = 0

èç (i )2:

(S0)2 = 1

S0 = 1

S = x

èç (i )1:

x2S00 0 + 2x2S0 00 + xS0 0 + (S0)2 1x2 x2 1 = 0
(S0)2 1 = 0 (èç (i )2) ) (S0)2x2 1 x2 1 = 0 è S00 = 0 ) x2S00 0 = 0
следовательно
	2x2 00 xS0 0 = 0
получаем	2x2 00 = x 0
	2x2 00 = x 0
		d 0	=			dx
		0	=			2x
			1
	ln( 0) =				ln(x) + C1
	ln( 0) =			2	ln(x) + C1
0 = C2x 21	положим C2 = 1
Èç (i )0, учитывая, что S00 = 0 ) x2S00 1 = 0, получаем
	2x2S0 10 + xS0 1 = 0 00 x 000x2
00 = 21 x 23	000 = 43 x 25

2		1			1			3+2							3								5+4												1						1		3		3		1
2x	10	x 1 = x 2	+				x 2												x 2												= x 2						(1 +							) =		x	2
2x	10	x 1 = x 2	+			2	x 2									4			x 2												= x 2						(1 +				2		4	) =	4	x	2
																														3		1
					2x2 10 x 1 =																										x 2														(11)
					2x2 10 x 1 =																									4	x 2														(11)
									10 = C3x 21
								1 = C3(x)x 21
Подставим 1 в уравнение (11) иfнайдем отсюда C3
		0						0		x				x 21			3								1		C x						x 23						e
		0						0		x				x 21													C x						x 23						e
				=1 Ce3					(1 )																2 e3						( )				1			3				1
		2x2(C30 x 2										C3x					2 ) xC3x																		2		=			x		2
		2x2(C30 x 2								2		C3x					2 ) xC3x																		2		=		4	x		2
		e		2								e2														2					e		3					2
				3										1												1										x		1
		2x C0						3 x C3									x C3															=
		2x C0						3 x C3									x C3															=		4
					f								2		e								3							e2
													3																		1
											x C0						=									x
											x C0						=									x
								2							e3		3						4			2
								dCe3 =
								dCe3 =										8			x3 1dx
												C3 =
												C3 =													8			x
									e								3 1
										1 =										8				x23
															1								3									3
		U(x; ) = e i x(x 2																											x			2 + O( 2))
		U(x; ) = e i x(x 2																				8i							x			2 + O( 2))

Задача 3.1.

Начальная температура шара радиуса 1 равна u0 = Const, à

внутрь шара через его поверхность подается постоянный тепловой поток: @n@u = q. Найти температуру шара в центре при t > 0.

Решение.

		ut = a2	4u; 4 = r12 @r@		r2	@r@
	>
	<ur(1; t) = q:
	8u(r; 0) = u0			= Const;
Будем искать	>			u(r; t) = w(r; t) + U(r; t); где функция
	:

решение в виде

U(r; t) удовлетворяет краевому условию:

Ur(1; t) = q:

Пусть U(r; t) = qr.

Тогда функция w(r; t) должна удовлетворять следующей задаче:

wt = a24w +

2a2q

;

8w(r; 0) = u0

qr;

<wr(1; r) = 0:

> v(r; t)

Сделаем замену w(r; t) =

1 @v

r @t

1 @v

1 @

@v 1 @2v

1 @v

1 @2v

4w =

v =

@r2

Получим новую задачу:

8vt(r; 0) =rru0r qr2;

= a2v

+ 2a2q;

>vr(1; t) = 0;

:v(0; t) = 0:

Решим ее методом разделения переменных. Пусть v(r; t) = R(r)T (t). Тогда

RT 0

= a2R00T + 2a2qRT

T 0

2a2q =

R00

a2T

Рассмотрим следующую задачу Штурма-Лиувилля:

8R(0) = 0;

R00 + R = 0;

<R0(1) = 0:

Е¼ решение зависит от .:

Найдем нетривиальные решения.

1. < 0

Характеристическое уравнение:

Тогда R(r) = C1e r + C2e r

R(0) = C1 + C2 = 0 )p

1 = pC2:

Òàê êàê

, то получаем

R0(1) =

C2p

+ e

= 0.

+ e

= 0 ( < 0)

C = 0

R(r) = 0, что нас неустраивает. 2. = 0

Характеристическое уравнение: 2 = 0. Тогда R(r) = C1 + C2r.

R(0) = C1 = 0:

R0(1) = C2 = 0.

Получили, что R(r) = 0, что нас неустраивает.

3. < 0

= . = ip

Характеристическое уравнение: 2

Тогда

R(r) = C1 cos ( r) + C2 sin (

R(0) = C1

= 0.

R0(1) = C2

cos (

) = 0

Так как мы ищем нетривиальные рещения, то C 6= 0. Тогда p 2

cos ( ) = 0

= ( 2 (2n + 1))2 Получили следующий набор собственных функций и собственных значений:

						( n = ( 2 (2n + 1))2			:
						Rn(r) = sin (2n + 1)r;
								2

	1						1	1 cos (2n+1)r
kRn(r)k =	R	sin	2		(2n + 1)rdr =		R	1 cos (2n+1)r			1

									f(x; t) = 2a q â ðÿä ïî Rn:
	0			2			0	2		=	2 .
Разложим правую часть уравнения											2
Разложим правую часть уравнения

2a2q = X n sin 2 (2n + 1)r;

n>0

ãäå:

n =

2a2q sin 2 (2n + 1)rdr

= 4a2q

sin

(2n + 1)rdr =

kRnk

= 4a2q

2 cos (2n + 1)r

01 =

8a2q

(2n + 1)

Получили следующее представление функции

v(r; t)

v(r; t) =

Tn(t) sin

(2n + 1)r

n>0

Подставим в уравнение, получим:

Tn0 (t) sin

(2n + 1)r = a2(

(2n+1))2

Tn(t) sin

(2n + 1)r+

n>0

8a2q

sin

(2n + 1)r

(2n + 1)

n>0

Получаем следуюущее уравнение на Tn(t):

Tn0 (t) = a2(

8a2q

(2n + 1))2Tn(t) +

(2n + 1)

Разложим начальное условие в ряд:

u0r qr2 =

n sin

(2n + 1)r;

n>0

ãäå

(u0r qr2) sin

2 (2n + 1)rdr1

=kRnk =

= 2u0

r2 sin 2

(2n + 1)rdr:

r sin 2 (2n + 1)rdr 2q Z0

2r cos (2n + 1)r

r sin

(2n + 1)rdr =

0 +

(2n + 1)

+ (2n2+ 1)

cos 2 (2n + 1)rdr =

sin

(2n + 1)r

4( 1)n

2(2n + 1)2

r22 cos (2n + 1)r

r2 sin

(2n + 1)rdr =

(2n + 1)

+ (2n4+ 1)

r cos 2 (2n + 1)rdr =

8r sin (2n + 1)r

sin

(2n + 1)rdr =

2(2n + 1)2

8( 1)n

2(2n + 1)2

3(2n + 1)3

В итоге:

qr2 =

4( 1)n

8( 1)n

(r)

2(2n + 1)2

2(2n + 1)2 3(2n + 1)3

n>0

r2 =

8u0( 1)n

16q( 1)n

32q

sin

(2n + 1)r

2(2n + 1)2

3(2n + 1)3

n>0 2

(2n + 1)2

Получили следующую задачу на Tn(t):

T 0 (t) = a2 2 (2n + 1)2T (t) +

8a2q

;

(Tn(0) =

82u0( 1)

2 +

32q

16q(

n n

(2n+1)

Будем решать уравнение методом вариации произвольной посто-

янной. Сначала решим однородное уравнение:

2 2

2 ~

Tn(t) = a

(2n + 1) Tn(t)

T~(t) = Ce a2 4 (2n+1)2t

Теперь положим C = C(t). Подстаим Tn(t) в исходное неодно-

родное уравнение:

2 2

C0(t)e a

(2n+1)

C(t)a2

(2n + 1)2e a

(2n+1)

t =

2 2

8a2q

= C(t)a2

(2n + 1)2e a

(2n+1)

t +

(2n + 1)

C0(t) =

8a2q

2 2

4 (2n+1)

(2n + 1)

32a

a2 4 (2n+1)2t

C(t) =

+ C

(2n + 1)

32q

a2 4 (2n+1)2t

Tn(t) =

+ Ce

(2n + 1)

Из начального условия найдем

32q

Tn(0) =

+ C =

(2n + 1)

8u0( 1)n

16q( 1)n

32q

2(2n + 1)2

3(2n + 1)3

C~ =

8u0( 1)n

16q( 1)n

2(2n + 1)2

3(2n + 1)3

2(2n + 1)2

(t) =

32q

8u0

( 1)

16q( 1)

e a2 4 (2n+1)2t

В итоге получаем следующую функцию:

u(r; t) =

32q

8u0( 1)n

3(2n + 1)3

n>0

2(2n + 1)2

16q( 1)

e a2

(2n+1)2t sin

(2n + 1)r + qr

2(2n + 1)2

sin 2 (2n + 1)r ! 1; r ! 0 r

Ответ.

Температура в центре шара:

n>0

3(2n + 1)3

(2n + 1)2

u(0; t) =

32q

8u0

( 1)

16q( 1)

e a2 4 (2n+1)2t

<<< < Предыдущая 12 / 72 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
29.08.2019210.94 Кб4ОС_лаб_dos.doc
#
29.08.2019505.86 Кб2ОС_лаб_nc.doc
#
29.08.20191.14 Mб2ОС_лаб_wc.doc
#
08.02.20151.3 Mб122Основы Дискретной математики.pdf
#
08.02.2015875.01 Кб85ответник 10-11.doc
#
08.02.2015981.9 Кб13ОТВЕТНИК ВСЕ В ОДНОМ. ФОРМАТ А5.pdf
#
08.02.20152.62 Mб63Ответник к госэкзамену_Белов.docx
#
08.02.20151.89 Mб120Ответник на госы.docx
#
08.02.20154.3 Mб26ответник по БЖД.doc
#
28.04.20199.45 Mб11Ответник.doc
#
06.08.2019476.93 Кб4Ответы Информатика.docx