Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский Университет МВД РФ им. В.Я. Кикотя

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Шарпан М.В. Математика и информатика

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.01.2021

Размер:

1.67 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

[1¥

]= lim (1 +

(-4x)×

lim (1 − 4x)

(− 4x))

×(-4x)×

= lim e

= e-12

-4x

x®0

5x + 1

2 x

Пример 15. Вычислить предел функции lim

5x − 7

x®¥

Решение.

Подставим

предельное

значение

x = ∞ в функцию

	5x + 1	2 x			5x + 1
		3
f (x) =		,	получим	f (∞) =

	5x − 7				5x − 7

2 x

3 = [1∞ ]. Сведем данный предел ко

второму замечательному пределу lim (1 + x)

= e :

x→ ∞

5x + 1

2 x

= [1¥ ]= lim

5x + 1

2 x

lim

−1

= lim

5x − 7

x® ¥

5x − 7

x® ¥

5x − 7

2 x

3 =

= lim		+	8
	1

x® ¥			5x − 7


5x -7	×	8	×	2 x	8		×	2 x	16
		5 x -7			8			2 x	16
8				3 = lim e
									= e 15 .
						5x -7		3	= e 15 .
					x® ¥

2.5 Непрерывность функции

Функция y = f (x) называется непрерывной в точке x0 , если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, т.е.

lim f (x) = f (x0 ) .

x®x0

Это равенство означает выполнение трех условий:

1)функция f (x) определена в точке x0 и ее окрестности;

2)функция f (x) имеет предел при x → x0 ;

3)предел функции в точке x0 равен значению функции в этой точке.

Функция y = f (x) называется непрерывной в интервале (a;b), если она

непрерывна в каждой точке этого интервала.

Функция	y = f (x) называется непрерывной на отрезке [a;b], если она
непрерывна в	интервале (a;b) и в точке x = a непрерывна	справа	( т.е.
lim f (x) = f (а) ), а в точке x = b непрерывна слева (т.е. lim		f (x) =	f (b) ).
x®а+0	x →b − 0
x®а+0
	21

Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются

точками разрыва этой функции. Если x = x0 – точка разрыва, в ней не выполняется по крайней мере одно из условий определения непрерывности функции.

Все точки разрыва разделяются на точки разрыва первого и второго

рода.

Точка разрыва x0 называется точкой разрыва первого рода функции

y = f (x) , если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и

справа (односторонние пределы), т.е. lim	f (x) = А1	и lim f (x) = А2 .
x→x0 −0		x→x0 +0
При этом: 1) если A1 = A2 , то точка x0	называется точкой устранимого
разрыва;
2) если A1 ¹ A2 , то x0 называется	точкой	конечного разрыва, а

величину A1 − A2 называют скачком функции.

Точка разрыва x0 называется точкой разрыва второго рода функции y = f (x) , если по крайней мере один из односторонних пределов (слева или

справа) не существует или равен бесконечности.
Пример 16. Дана функция f (x) =	x − 3	. Найти точки разрыва,


	x − 3
	x − 3
определить их тип.

Решение. Функция f (x) определена и непрерывна на всей числовой

оси, кроме точки x = 3 .
Очевидно, что f (x) = 1, при х > 3,	, следовательно,	lim f (x) = 1,
−1, при х < 3.		x→3+0

lim f (x) = −1. Поэтому в точке х=3 функция имеет разрыв первого рода.

x→3−0

Скачок функции в этой точке равен 1-(-1)=2.

2.6 Производная функции

В практической деятельности часто приходится иметь дело с

исследованием функциональных зависимостей и скорости их изменения во времени.

Пусть x1 и	x2 – два значения аргумента,	а y1 = f (x1) и	y2 = f (x2 )	–
соответствующие	значения функции y = f (x) .	Тогда разность	x = x2 − x1
называется приращением аргумента, а разность		y = y2 − y1 = f (x2 ) − f (x1)		–
приращением функции на отрезке [x1; x2 ].

Производной функции y = f (x) по аргументу x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю, т.е.

y' = lim	y = lim	f (x +	x) − f (x)	.

x→0	x x→0		x

Производную функции y = f (x) обозначают: y' или dy . dx

Геометрический смысл производной

Рассмотрим график функции y = f (x) в окрестности фиксированной точки M0 (рис. 8).

Точка M0 (x0 ; y(x0 )) – фиксированная точка графика y = f (x) . Точка

M (x0 + x; y(x0 + x)) при различных значениях x – любая точка на графике.

Если точка M приближается к точке M0 (при этом x → 0 ), то секущая

линия M0M стремится к своему предельному положению,				называемому
касательной к линии y = f (x) в точке M0 .
Рассмотрим треугольник M0MA: tgϕ =	MA	=	y , где ϕ –	угол наклона

	M0 A		x

секущей M0M к оси Ox .

Перейдем к пределу при x → 0 : lim	tgϕ = lim	y = y′(x0 ) = tgα , где
x→0	x→0	x
(M →M 0 )
α – угол наклона касательной к оси Ox .

Рисунок 8. Геометрический смысл производной функции	y = f (x) .
Таким образом, y′(x0 ) = tgα , т.е. частное значение	производной

функции y = f (x) в точке x0 равно угловому коэффициенту касательной,

проведенной к функции y = f (x) в точке M0 (x0 ; y(x0 )).

Уравнение касательной к графику функции y = f (x) в точке

M0 (x0 ; y(x0 )) с известным угловым коэффициентом kкас. = y′(x0 ) записывается

в виде:

y = y(x0 ) + y′(x0 )(x − x0 ).

Аналогично, можно записать уравнение нормали – прямой,

перпендикулярной касательной и проходящей через точку касания

M0 (x0 ; y(x0 )):
y = y(x0 ) −	1		(x − x0 ).

	y′(x0 )
	y′(x0 )
Основные правила дифференцирования
Пусть C = const , u = u(x) , v = v(x) –		функции, имеющие производные.
1. C′ = 0 ;
2. (u ± v)′ = u′ ± v′ ;
	24

3.(Cu )′ = Cu¢ ;

4.(uv)′ = u¢v + uv¢ ;

5.(uvw)′ = u¢vw + uv¢w + uvw¢;

	u ′			u¢v - uv¢
6.			=		.
		v		v2
7.	(Правило дифференцирования сложной функции) Если функция y = f (u)

дифференцируема в точке u , а функция u = u(x) дифференцируема в точке

x ,

тогда сложная функция y = f (u(x))

дифференцируема в точке

x и ее

производная вычисляется по формуле:

′

= yu

× ux .

Основные формулы дифференцирования

1. (U n )¢ = nU n−1 ×U ¢ ( n Î R );

2. (aU )¢ = aU ln a ×U ¢ ( a > 0, a ¹1);

3. (eU )¢ = eUU ¢;

4. (loga U )¢ =

U ¢ ( a > 0, a ¹1);

5. (lnU )¢ =

U ¢;

U ln a

′

;

′

= -sinU

×U

′

;

(sinU ) = cosU ×U

(cosU )

′

;

= −

;

(tgU ) =

(ctgU )

cos2 U

sin2 U

′

;

11.

′

= −

′

;

10. (arcsinU ) =

1−U 2

(arccosU )

1−U 2

′

= −

′

1+ U 2

+ U 2 U

12. (arctgU )

;

13.

(arcctgU )

Пример 17. Применяя формулы и правила дифференцирования, найти

производные следующих функций:

y = 3x2 + sin x ;

y = (3x2 + 5)ex ;

y =

arcsin x

;

y = ln(x2 + 3x −1).

3x − 2

Решение.

y¢ = (3x2 + sin x)′

= (3x2 )′ + (sin x)¢ = 3× 2x + cos x = 6x + cos x ;

y¢ = ((3x2 + 5)ex )′ = (3x2 + 5)′ ×ex + (3x2 + 5)×(ex )′ = 6xex + (3x2 + 5)ex =

= (3x2 + 6x + 5)ex ;

y¢ =

arcsin x

′

(arcsin x)′ ×(3x - 2)- arcsin x ×(3x - 2)′

(3x - 2)2

3x - 2

×(3x - 2)- arcsin x ×3

1- x2

= 3x - 2 - 3 1- x2 arcsin x ;

(3x - 2)2

1- x2

y¢ = (ln(x2 + 3x -1))′ =

(x2 + 3x -1)′ =

2x + 3

x2 + 3x -1

2 + 3x -

2.7 Дифференциал функции

Пусть функция

y = f (x)

дифференцируема в

точке x , тогда ее

приращение можно записать в виде двух слагаемых, первое из которых

линейно относительно			x , а второе слагаемое –			бесконечно малая величина
при x → 0 (более высокого порядка малости по сравнению с							x ):
		′			где α(	x) → 0 при	x → 0 .
		Dy = f	(x)× Dx +α(Dx)× Dx ,
Слагаемое		′		называется главной		линейной относительно x
		f (x)× Dx
частью приращения функции y = f (x) ,					называемой дифференциалом этой
функции. Дифференциал обозначается
				′
				dy = y (x)× Dx .
Если x	–	независимая переменная, то справедливо равенство x = dx ,
′	Тогда формула для дифференциала записывается:
так какx =1.
				′
				dy = y (x)× dx .
			′	функции y	= f (x)	сама является некоторой
Производная f (x)
функцией аргумента x . Следовательно,					по отношению к ней снова можно
ставить вопрос о существовании и нахождении производной.
				26

Назовем f ′(x) производной первого порядка функции f (x) .

Производная от производной некоторой функции называется

производной второго порядка (или второй производной) этой функции.

Производная от второй производной называется производной третьего

порядка (или третьей производной) и т. д. Производные, начиная со второй,

называются производными высших порядков и обозначаются

y′′, y′′′, y(4), y(5),..., y(n),...

Производная n -го порядка является производной от производной

(n −1)-го порядка, т.е. y(n) = (y(n−1) )′ .

2.8 Правило Лопиталя

Если функции f (x) и g (x) определены в некоторой окрестности точки x0 и в этой окрестности они удовлетворяют условиям:

1)f (x) и g (x) дифференцируемы в каждой точке за исключением может быть самой точки x0 ;

2)g′(x) ¹ 0 для любого x из этой окрестности;

lim f (x) = lim g (x) = 0 или lim f (x) = lim g(x) = ∞ ,

x→ x0

x→x0

′

тогда,

если

существует

конечный

или

бесконечный

lim

f (x)

то

x→ x0 g′(x)

выполняется равенство:

lim

f ( x )

= lim

f ′( x )

→ x 0 g ( x )

x → x 0 g ′( x )

Замечание 1. Правило Лопиталя используется для раскрытия

неопределенностей типа

или

∞

возникающих

при вычислении

∞

пределов. Если под знаком предела оказывается неопределенность другого типа: [0 ×¥], [¥ - ¥], [10 ], [00 ] или [∞0 ], то с помощью тождественных

алгебраических преобразований такая неопределенность приводится к 0

или

∞

и тогда можно применить правило Лопиталя.

∞

Замечание 2. Если производные

′

(x) и

′

удовлетворяют тем же

(x)

требованиям, что и сами функции

f (x)

и g (x) , то правило Лопиталя можно

применить повторно. При этом получаем

lim

f ( x )

lim

f ′( x )

= lim

f ′′( x )

x → x 0 g ( x )

x → x 0 g ′( x )

x → x 0 g ′′( x )

Пример 18. Вычислить пределы функций с помощью правила

Лопиталя.

1− cos x

;

ex −1

;

lim

x→0

lim

ln x

;

lim

;

x→+∞

x→+∞ ex

Решение.

1− cos x

= lim

sin x

;

lim

x→0

x→0 2x

2 x→0 x

−1

lim

= lim

= lim e

= 1;

x→0 x

x→0 1 x

→0

∞

ln x

= 0 ;

lim

= lim

x→+∞

x→+∞ 1

x→+∞ x

∞

nxn−1

∞

n(n −1)xn−2

∞

lim

= ... =

x→+∞ e

∞

x→+∞

∞

x→+∞

∞

= lim

= 0 .

x→+∞ ex

2.9 Неопределенный интеграл

Функция F (x) называется первообразной для функции f (x) в

промежутке [a;b], если в любой точке этого промежутка ее производная равна f (x) .

F′(x) = f (x) или dF (x) = f (x)dx , x [a;b].

Отыскание для функции всех ее первообразных называется ее

интегрированием и составляет основную задачу интегрального исчисления.

Это задача является обратной дифференцированию.
Теорема. Пусть F (x) – одна из первообразных для функции			f (x)	на
интервале (a;b). Тогда любая другая первообразная для функции			f (x)	на
интервале (a;b) представлена в виде F (x)+ С , где С –	некоторое число.
Множество всех первообразных для данной функции			f (x)	на
интервале (a;b) называется неопределенным интегралом функции			f (x)	на
этом интервале и обозначается символом:
∫ f (x)dx = F (x) + C ,
где знак ∫ называется знаком интеграла, f (x)dx	–	подынтегральным
выражением, f (x) – подынтегральной функцией,		x – переменной
интегрирования.

Свойства неопределенного интеграла

Из определений первообразной F (x) и неопределенного интеграла от данной функции f (x) на некотором промежутке следуют свойства неопределенного интеграла:

10. Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс произвольная постоянная:

∫ dF (x) = F (x) + C , где С – произвольная постоянная.

20. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному

выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

d(∫ f (x)dx)= f (x)dx , (∫ f (x)dx)' = f (x) .

30. Неопределенный интеграл алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов этих функций:

∫ ( f1(x) ± f2 (x))dx = ∫ f1(x)dx ± ∫ f2 (x)dx

40. Постоянный множитель подынтегрального выражения можно выносить за знак неопределенного интеграла:

∫ k × f (x)dx = k × ∫ f (x)dx , где k – const.

50. Если ∫ f (x)dx = F (x) + C и u = ϕ(x) – любая известная функция,

имеющая непрерывную производную, то ∫ f (u)du = F (u) + C .

Таблица основных неопределенных интегралов

1.∫ 0 × dx = C ;

2.∫ dx = x + C ;

3.∫ xбdx = xб+1 + C, б ¹ -1;

б+1

4.∫ dxx = ln | x | + C ;

5. ∫ a xdx =	a x	+ C ;
	ln a

6.∫ exdx = ex + C ;

7.∫ sin xdx = − cos x + C ;

8.∫ cos xdx = sin x + C ;

9. ∫		dx			= tg x + C ;
	cos2
			x
10. ∫		dx				= −ctg x + C ;

		sin	2
				x

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]