Шарпан М.В. Математика и информатика
.pdf
последовательности цифр 0 и 1, называемых битами (в начале 1980-х г.г.
процессоры персональных компьютеров были 8-ми разрядными).
Использование двоичной системы для кодирования целых и действительных чисел позволяет с помощью 8 разрядов кодировать целые числа от 0 до 255, 16 бит дает возможность закодировать более 65 000
значений.
Кодирование текстовой информации
Для представления текстовой информации в компьютере или для ее кодирования используют специальные кодовые таблицы.
Кодовые таблицы – это внутреннее представление символов в компьютере.
Рассмотрим некоторые из них:
1.7-битный код ASCII (American Standard Code for Information Interchange)-американский стандартный код для обмена информацией, (1963 г.).
2.8-битный код ASCII -2 предыдущий, расширенный до 256
символов, (1968 г.).
3. 16-битный код Unicode, UTF-16 (UTF-8), стандарт ISO 10646 (70-е
годы).
Рис. 2 - 7-битный код ASCII
13
Рис. 3 - 8-битный код ASCII-2
Рис. 4 - 16-битный и 8-битный код Unicode
14
Кодовые таблицы для русского языка
1.KOI-8-8-битовая кодовая таблица, совместимая с ASCII (пик популярности 2010 г.).
2.ANSI, она же CP-1252, она же Windows-1252 -набор символов и кодировка, являющаяся стандартной 8-битной кодировкой для всех русских версий Microsoft Windows.
3.ISO-стандарт для русского языка международной организации по стандартизации ISO.
4.Unicode (UNIversal CODE)-16-битный универсальный международный код, позволяет кодировать 65536 различных символов.
Кодирование графической информации
Графическое изображение при его увеличении может быть представлено в виде мельчайших точек, которые образуют характерный узор-растр
Любое изображение можно закодировать с помощью координат точек,
имеющих индивидуальную яркость.
Принцип декомпозиции цвета заключается в следующем:«Любой цвет можно получить путем смешения трех цветов: красный (Red), зеленый
(Green) и синий (Blue)».
Подробней остановимся на кодировании числовой информации.
Кодирование числовой информации осуществляется с помощью системы счисления.
Система счисления (СС) – это совокупность приемов и правил, по которым числа записываются и читаются.
15
Существуют:
1.Позиционные – вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения в записи числа (арабская система);
2.Непозиционные – вес каждой цифры не зависит от ее позиции в записи числа (римская система).
Позиционные системы счисления
Любая позиционная СС характеризуется своим основанием.
Основание позиционной системы счисления - это количество
различных цифр, используемых для изображения чисел в данной системе
счисления (q).
Запись числа в любой позиционной системе счисления с основанием q
означает сокращенную запись выражения:
a |
n−1 |
q n−1 + a |
n−2 |
q n−2 + K+ a q1 |
+ a |
q0 + a |
−1 |
q −1 |
+ K+ a |
−m |
q−m , где |
a |
-цифры системы |
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
i |
|
счисления, n, m -число целых и дробных разрядов соответственно.
Например, число 578, 25 можно представить в виде:
Разряды |
|
2 |
1 |
0 |
|
|
-1 |
|
-2 |
= 5*102 + 7 *101 + 8*100 + 2 *10−1 + 5*10−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Число |
|
5 |
7 |
8 |
|
, |
2 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Кроме |
десятичной, |
широко |
используются системы с основанием, |
||||||||
являющимся целой степенью числа 2, а именно:
Двоичная (q=2, используются цифры 0 и 1);
Восьмеричная (q=8, используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7);
Шестнадцатеричная (q=16, для первых целых чисел используются цифры 0, 1,…, 9, а для следующих чисел – от десяти до пятнадцати – в качестве цифр используются символы A, B, C, D, E, F).
Из всех систем счисления особенно проста и поэтому интересна для
технической реализации в компьютерах двоичная система.
16
Рассмотрим несколько правил и примеров.
Перевод целого числа из десятичной в любую другую позиционную
систему счисления
Для перевода целого десятичного числа N в систему счисления с основанием q необходимо разделить N на q с остатком.
Затем неполное частное, полученное от этого деления, нужно снова разделить на q с остатком и т.д., пока последнее полученное неполное частное не станет равным нулю.
Число N в системе счисления с основанием q представится в виде упорядоченной последовательности полученных остатков деления, записанных одной q-ичной цифрой в порядке, обратном порядку их получения.
Пример 1.
Перевод из десятичной системы счисления в двоичную
196 |
|
2 |
|
19610 |
|
=110001002 |
||||||
196 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
98 |
|
|
|||||||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17
Пример 2.
Перевод из десятичной системы счисления в восьмеричную
344 |
|
8 |
|
34410=5308 |
|||
|
|
||||||
|
|
|
|
||||
344 |
|
|
|
|
|
|
|
|
43 |
|
8 |
|
|||
|
|
|
|||||
|
|
|
40 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 3.
Перевод из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную
413 |
|
|
|
|
|
41310=19D16 |
|
|
16 |
|
|||||
400 |
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
|
16 |
|
|||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|||||
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Перевод чисел из любой позиционной системы счисления в десятичную
Перевод в десятичную систему числа x, записанного в q-ичной системе счисления в виде:
|
|
xq = (an an−1 Ka0 , a−1a−2 Ka−m ) , сводится к вычислению значения многочлена |
|||||||||||||
x |
= a |
qn + a |
n−1 |
qn−1 + Ka |
q0 + a |
−1 |
q−1 |
+ a |
−2 |
q−2 |
+ K+ a |
−m |
q −m |
средствами |
десятичной |
10 |
n |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
арифметики.
18
Пример 4.
Перевод из двоичной
системы счисления в десятичную
7 6 5 4 3 2 1 0
10010010= 0·20+ 1·21+ 0·22+ 0·23+ 1·24+ +0·25+ 0·26+1·27= 1·21+1·24+ 1·27=2+16+128=146
100100102=14610
Пример 5.
Перевод из восьмеричной
системы счисления в десятичную
2 1 0
343=3·80+ 4·81+ 3·82= 3+32+192=227
3438=22710
Пример 6.
Перевод из шестнадцатеричной
системы счисления в десятичную
2 1 0
3A3= 3·160+ 10·161+ 3·162= 3+160+768=931
3A316=93110
19
Правила выполнения операций сложения, вычитания, умножения и
деления - хорошо известны!
Сложение, вычитание и умножение – « столбиком»;
Деление – « уголком».
Эти правила применимы ко всем позиционным системам счисления, но
необходимо пользоваться особыми таблицами сложения и умножения для каждой системы.
Рассмотрим арифметические операции на примере двоичной системы счисления.
+ |
0 |
1 |
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
1 |
1 |
10 |
|
|
|
Рис. 5 – Таблица сложения для двоичной системы счисления
* |
0 |
1 |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
1 |
0 |
1 |
|
|
|
Рис. 6 – Таблица умножения для двоичной системы счисления
Пример 7.
Вычисление суммы двоичных чисел
1011 и 11
1
1
1011
+
11
1110
1011+11=1110
20
Пример 8.
Вычисление разности двоичных чисел
1011 и 110
1
1
1011
-
110
0101
1011-110=101
Пример 9.
Вычисление произведения двоичных чисел
101001 и 1100
101001
*
1100
000000
000000
101001
101001
111101100
101001·1100=111101100
Задачи для самостоятельного решения
1. Переведите из десятичной системы счисления:
а) в двоичную: 90;
б) в восьмеричную: 314;
в) в шестнадцатеричную: 637.
2. Вычислите сумму двоичного и десятичного чисел 10102 + 101010.
Представить результат в десятичной системе счисления.
3. Вычислите сумму чисел 102 + 108 + 1010 + 1016. Представить результат в двоичной системе счисления.
21
4. Представьте значение выражения в двоичной системе счисления:
5668+28110-4F16.
5. Заполните таблицу, в каждой строке которой одно и то же целое число должно быть записано в различных системах счисления:
Двоичная Восьмеричная Десятичная Шестнадцатеричная
101010
269
6. Выполнить действия с двоичными числами:
а) найти сумму: 110011+1011100;
б) найти разность: 1010110-11000.
22