Шарпан М.В. Математика и информатика

1.7 Изображение действительных чисел

Действительные числа можно изображать точками числовой оси.

Числовой осью (координатной прямой) называется прямая, на которой выбраны начальная точка (начало), положительное направление (обозначено стрелкой) и отрезок, длина которого равна единице (масштабная единица).

Направление, противоположное положительному направлению числовой оси,

называется отрицательным.

0 1

Если действительное число x > 0 , то оно изображается точкой числовой оси, находящейся от начала на расстоянии x в положительном направлении.

Если действительное число x < 0 , то оно изображается точкой числовой оси,

Пример 12. Вычислить абсолютную величину чисел: -2, 0, 3.

11

Решение. По определению абсолютной величины, имеем - 2 = 2 , 0 = 0 ,

3 = 3.

всех действительных чисел, имеющих следующий вид:

12

1.10 Высказывания и высказывательные формы

Высказывание – это некоторое утверждение в виде повествовательного предложения, по содержанию которого можно сказать, истинно оно или ложно.

Формулировка любой теоремы является высказыванием. Высказывания могут выражаться с помощью математических, физических, химических и прочих знаков.

Из двух числовых выражений можно составить высказывания,

соединив их знаками равенства или неравенства. Сами числовые выражения высказываниями не являются. Например, предложение Х < 12 становится высказыванием при замене переменной каким-либо конкретным значением.

Такие предложения называют высказывательными формами.

Примеры высказываний:

1){Город Вашингтон – столица США} (истинное высказывание);

2){Число 2 является делителем числа 7} (ложное высказывание);

3){3 + 5 = 2 × 4} (истинное высказывание);

4){2 + б > 10} (ложное высказывание);

5){II + VI > VIII} (ложное высказывание);

6){Сумма чисел 2 и 6 больше числа 8} (ложное высказывание);

7){Two plus six is eight} (истинное высказывание);

8){Na – металл} (истинное высказывание).

13

Высказывание называется простым (элементарным), если никакая его часть сама не является высказыванием. Если это условие не выполняется,

высказывание называется сложным.

Высказывания, приведенные выше, являются простыми. Они обозначаются заглавными латинскими буквами:

А = {Аристотель – основоположник логики}.

В = {На яблонях растут бананы}.

Читать приведенные записи нужно так:

А есть высказывание «Аристотель – основоположник логики».

В есть высказывание «На яблонях растут бананы».

Обоснование истинности или ложности простых высказываний решается вне алгебры логики.

Например, истинность или ложность высказывания «Сумма углов треугольника равна 180 градусам» устанавливается геометрией, причем в геометрии Евклида это высказывание является истинным, а в геометрии Лобачевского – ложным. Истинному высказыванию ставится в соответствие

1, ложному – 0. Таким образом, А = 1, В = 0.

Примеры сложных высказываний:

1){В автобусе можно доехать до школы и почитать журнал};

2){Число 376 четно или двузначно};

3){Неверно, что Солнце движется вокруг Земли};

4){Если сумма цифр числа делится на 3, то число делится на 3}.

Высказывание является некоторой переменной величиной, значением которой может быть только 0 или 1. Если высказывание истинно, то его значение равно 1, если ложно – 0.

Сложное высказывание можно рассматривать как некоторую логическую функцию f (x1, x2 ,..., xn ). Логическая функция на каждом наборе переменных принимает значение 0 или 1. Следовательно, отличающихся друг от друга функций может быть ровно столько, сколько существует

различных комбинаций из m = 2n нулей и единиц. Таких комбинаций 2n , и

14

они представляют собой последовательность n -разрядных двоичных чисел

от 0 до 2n − 1.

1.11 Логические операции

В обычной речи часто используются слова, называемые логическими связками, – « не», «и», «или», «следует», «влечет», «эквивалентно», «равносильно», «тогда и только тогда, когда...» и т. п.

Существует пять основных логических операций или связок. Действия логических операций называют таблицами истинности.

Основные связки

Отрицанием высказывания X называется высказывание X , которое истинно, когда X ложно, и ложно, когда X истинно.

Таблица истинности для отрицания.

X X

01

10

Логические операции имеют следующий приоритет:

1) действия в скобках,

16

2)отрицание,

3)конъюнкция,

4)дизъюнкция,

5)импликация,

6)эквивалентность.

Помимо пяти основных связок существуют еще другие не менее важные связки.

Другие связки

X | Y = X Y .

Таблица истинности штриха Шеффера.

X ↓ Y = X Y .

Таблица истинности стрелки Пирса

17

Заметим, что таблицы истинности логических операций содержат 2n

строк, где n – число простых высказываний (переменных).

Основные законы

1. Идемпотентность дизъюнкции и конъюнкции:

X Ú X « X , X Ù X « X

2. Коммутативность дизъюнкции и конъюнкции:

X Ú Y « Y Ú X , X Ù Y « Y Ù X

3. Ассоциативность дизъюнкции и конъюнкции:

X(Y Z ) ↔ (X Y ) Z , X (Y Z ) ↔ (X Y ) Z

4.Дистрибутивность операций дизъюнкции и конъюнкции относительно

друг друга:

X(Y Z ) ↔ (X Y ) (X Z ), X (Y Z ) ↔ (X Y ) (X Z )

5.Двойное отрицание:

X « X

6. Закон де Моргана:

18

X Y ↔ X Y , X Y ↔ X Y

7. Склеивание:

(X Y ) (X Y ) ↔ X , (X Y ) (X Y ) ↔ X

8. Поглощение:

X(X Y ) ↔ X , X (X Y ) ↔ X

9.Действие с логическими константами 0 и 1:

X 0 ↔ X , X 0 ↔ 0 , X 1 ↔ 1, X 1 ↔ X , X X ↔ 0

10. Закон исключения третьего:

X X ↔ X

11. Тождество:

X ↔ X

12. Отрицание противоречия:

X X ↔ 1

13. Контрапозиция:

(X → Y ) ↔ (Y X )

14. Цепное заключение:

((X → Y ) (Y → Z )) ↔ (X ↔ Z )

15. Противоположность:

(X ↔ Y ) ↔ (X ↔ Y )

16. Модус поненс (modus ponens):

(X (X → Y )) → Y ↔ 1

17. Формулы импликации и эквиваленции

A → B = A B , A → B = A B , A ↔ B = (A B) (A B )/

Пример 13. Для логических выражений составить таблицу истинности.

Решение.

19

1. Переменные x и y могут принимать

2.

20