Шарпан М.В. Математика и информатика

1.Основные понятия

1.Дифференциальным уравнением (ДУ) называется уравнение,

связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее

производные:

F (x, y, y′, y′′,..., y(n) ) = 0 .

2.Наивысший порядок производной искомой функции, входящей в ДУ, называется порядком ДУ.

3.Решить ДУ – это значит найти все функции, которые ему удовлетворяют, т.е. при подстановке их в уравнение, оно обращается в тождество.

4.Нахождение решений ДУ называется интегрированием ДУ, график решения ДУ называется интегральной кривой.

2.Дифференциальные уравнения 1 порядка

ДУ первого порядка называется уравнение, связывающее независимую

переменную, искомую функцию и ее первую производную:

F (x, y, y′) = 0 или в явном виде y′ = f (x, y) .

Теорема Коши. Если в этом уравнении функции f (x, y) , f y′(x, y)

определены и непрерывны в некоторой области изменения переменных x и y ,

то какова бы ни была внутренняя точка (x0 , y0 ) этой области, ДУ имеет

(x0 , y0 ) проходит единственная интегральная кривая.

Функция y=y(x,С), зависящая от аргумента и произвольной постоянной

С, называется общим решением ДУ, если

1) при любых значениях С функция y=y(x,С) является решением уравнения;

2

3. ДУ с разделяющимися переменными

ДУ называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно представить в виде y′ = f1 ( y) × f2 (x) , где правая часть есть

произведение сомножителей, каждый из которых является функцией только одной переменной.

Способ решения: разделение переменных по соответствующим

дифференциалам (при dx должна стоять функция, зависящая от x, при dy –

функция зависящая от y).

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение (x + 1)y′ = (y − 2)2 .

Решение.

(x + 1)dy = (y − 2)2 ;

dx

(x + 1)dy = (y − 2)2 dx; : (x + 1)(y − 2)2

удовлетворяющее начальным условиям x0 = 4; y0 = 2 . (x + 1)y′ = (y − 2)2 .

Решение. Найдем общее решение

dy = 2x + 2 ; dx

3

степени однородности. Однородное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки y=xt, dy=xdt+tdx.

Пример 4. Решить дифференциальные уравнения

Решение.

1.dy = x + y ; dx x

xdy=(x+y)dx, y=xt, dy=xdt+tdx; x(xdt+tdx)=(x+xt)dx; xdt+tdx=(1+t)dx; xdt+tdx=dx+tdx;

xdt=dx;

dt = dx ; x

∫ dt = ∫ dxx + C ; t = ln x + C .

Вернемся к старой переменной

y = ln x + C ; x

Следовательно, решение имеет вид: y = x(ln x + C) .

Пусть y=xt, dy=xdt+tdx,

xdt + tdx = (et + t )dx ; xdt + tdx = et dx + tdx ; xdt = et dx ;

dt = dx ; et x

∫ e−t dt = ∫ dxx + C ;

-е-t=ln|x|+C.

5

Вернемся к старым переменным. Следовательно, решение имеет вид:

−y

-e x = ln x + C .

5. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

ДУ первого порядка называется линейным, если его можно представить в виде y′ + P(x) y = Q(x) , где P(x), Q(x) – заданные функции (функция y и ее

производная или дифференциал dy входят в уравнение линейно, т.е. в первой

степени и порознь друг от друга).

Один из способов решения – метод Бернулли (подстановка Бернулли).

U ′V = Q(x) .

Таким образом, решение данного линейного уравнения сводится к последовательному решению двух уравнений с разделяющимися

переменными:

V ′ + P(x)V = 0 , решая его находим V, подставляем V во второе уравнение:

а) V ′ + tgx ×V = 0 ,

б) U ′V = cos2 x

Решаем полученные уравнения последовательно.

6

V = (x + 1)2 .

Таким образом, y = UV = (x + 1)2 (x + C) – общее решение. Выделим

частное решение, удовлетворяющее начальным условиям: 1 = (0 + 1)2 (0 + С) ;

C = 1; yчаст. реш = (x + 1)3 .

8

4.1. Основные понятия информатики

Существует несколько версий о происхождении термина «информатика».

По одной из них термин информатика (от французского informatique)

происходит от двух французских слов information (информация) и automatioque (автоматика) и означает дословно «информационная автоматика», другая же утверждает, что оно произошло от английской фразы computer science – «компьютерная наука».

Информатика – это основанная на использовании компьютерной техники дисциплина, изучающая структуру и общие свойства информации, а

также закономерности и методы ее создания, хранения, поиска,

преобразования, передачи и применения в различных сферах человеческой деятельности.

Международный научный конгресс в 1978 году официально закрепил за термином «информатика» области, связанные с разработкой, созданием,

использованием и материально-техническим обслуживанием систем обработки информации.

Основная задача информатики заключается в определении общих закономерностей, в соответствии с которыми происходит создание научной информации, ее преобразование, передача и использование в различных сферах деятельности человека. Прикладные задачи заключаются в разработке более эффективных методов и средств осуществления информационных процессов

(все процессы, связанные с определенными операциями над информацией), в

определении способов оптимальной научной коммуникации с широким применением технических средств.

Информатику принято подразделять на две части: теоретическую и прикладную.

Теоретическая информатика – математическая дисциплина,

использующая методы математики для построения и изучения моделей обработки, передачи и использования информации, создающая теоретический фундамент информатики в целом. Необходимо отметить, что теоретическая

2