Шарпан М.В. Математика и информатика

Тема 2. Введение в математический анализ

ОСНОВНЫЕ ВОПРОСЫ

2.1

Основные понятия функции одной переменной ........................................

2

2.2

Основные элементарные функции...............................................................

6

2.3

Предел функции...........................................................................................

12

2.4

Основные теоремы о пределах...................................................................

15

2.5

Непрерывность функции.............................................................................

21

2.6

Производная функции.................................................................................

23

2.7

Дифференциал функции..............................................................................

26

2.8

Правило Лопиталя........................................................................................

27

2.9

Неопределенный интеграл..........................................................................

29

2.10

Основные методы интегрирования неопределенного интеграла .........

31

2.11

Понятие определенного интеграла ..........................................................

34

2.12

Методы интегрирования определенного интеграла...............................

39

2.1 Основные понятия функции одной переменной

Пусть даны два множества

X и Y .

Если каждому элементу x из

множества

X по некоторому

правилу

f

соответствует

единственный

элемент

y

из множества Y , то говорят, что на множестве

X определена

функция

y = f (x)

с областью определения

X = D( f ) и областью значений

Y = E( f )

(рис. 1).

При этом

x

считают

независимой переменной, или

f

f

Y

Y

X

X

а)

б)

f

f

Y

Y

X

X

в)

г)

Рисунок 1. Соответствие f

является функцией (а, б); соответствие f

табличным и графическим.

1) Аналитический способ –

способ задания функции с помощью

формулы.

Различают несколько способов аналитического задания функции:

а) Функция задана явно формулой y = f (x) .

Например, функции y =

x + 5

,

y = sin 3x , y = (3x − 5)e−2 x заданны явно.

x2 −1

t , причем аргумент x и функция y зависят от этого параметра: x = x(t ),

y = y(t ).

Например, функции x = r cos t,

x = t,

заданы параметрически.

и

y = r sin t

y = t 2

− 3

Например,

y = x2 ,

y = cos3x , y =

– четные функции;

а)

9 + x2

y = x3 ,

y = sin x ,

y =

7x

б)

– нечетные функции;

x2 −1

в)

y = x +

3 , y =

5x

–

функции общего вида, т.е. не четные и не нечетные.

4x

−1

равенство f (x − T ) = f (x) = f (x + T ).

Например, функция y = tgx

является периодической функцией с

периодом T = π .

Функция y = f (x) называется

возрастающей на

промежутке

(a;b) ,

если для любых двух значений аргумента x1, x2 (a;b)

из условия

x1 < x2

y

y=f(x)

y

y2

y1

y=f(x)

y1

y2

a

x2 b

x

a

x2 b

0

x1

0

x1

x

а)

б)

Рисунок 2.

а)

Функция

y = f (x)

возрастает

на интервале (a;b);

б) Функция y = f (x) убывает на интервале (a;b).

Функция y = f (x) называется ограниченной на промежутке (a;b) , если

существует такое число

M > 0 ,

что для всех значений аргумента x (a;b)

выполняется условие:

f (x)

≤ M (рис. 3).

y

M

y=f(x)

0

x

Пусть задана функция

y = f (x) с областью определения D( f ) и

множеством значений

E( f ) . Если каждому значению

y E соответствует

единственное значение

x D ,

то определена функция

x = ϕ( y) с областью

определения E и множеством значений D (рис. 4).

Такая функция ϕ( y)

называется обратной

к функции f (x) и обозначается x = ϕ( y) = f −1 (y).

относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

Пусть

функция

y = f (x) определена

на

множестве

M , а

функция

u = ϕ(x)

на множестве

M1 , причем для любого x M1

соответствующее

значение

u = ϕ(x) M .

Тогда на

множестве

M1

определена

функция

u = f (ϕ(x)),

которая

называется

сложной

функцией

от

аргумента x .

Переменную

u = ϕ(x)

называют

промежуточным

аргументом

сложной

функции.

5