Шарпан М.В. Математика и информатика

−

π

π

E (y) =

;

.

2

2

x

, y = 3cos(2 x +5) .

y = arcsin x + x +1

2.3 Предел функции

Окрестностью точки x0 называется

a

x0

b

x

любой интервал, содержащий точку x0 .

δ -окрестностью точки x0 называется

интервал (x0 − δ ; x0 + δ ), длина которого

2δ ,

x0-δ

x0

x0+δ

x

симметричный относительно x0 .

Проколотой δ -окрестностью точки x0

называется δ -окрестность точки x0 без

x0-δ

x0

x0+δ

x

самой точки x0 .

Число A называется пределом функции f (x)

при

x → x0 , если для

любого сколь угодно малого числа ε > 0

найдется такое сколь угодно малое

12

число δ > 0 , что для всех x ¹ x0 ,

удовлетворяющих условию

x − x0

< δ ,

выполняется равенство

f (x) − A

< ε

(рис 5). Записывают lim f (x) = A .

x→x0

для любого малого числа ε

> 0 найдется другое малое число д = д(е) > 0

такое, что для всех

x (x0 − д; x0 )

выполняется неравенство:

f (x) − A1

< е.

Предел слева записывается так: lim

f (x) = f (x0 − 0) (рис 6).

x→ x0 −0

Число A2 называется пределом функции

y = f (x) справа в точке x0 ,

если для

любого

малого

числа

ε

> 0 найдется

другое

малое число

д = д(е) > 0

такое, что для

всех

x (x0 ; x0 + д) выполняется

неравенство:

f (x) − A2

< е. Предел слева записывается так:

lim

f (x) = f (x0 + 0) (рис 6).

x→ x0 +0

Пределы функции слева и справа называются односторонними

пределами.

Замечание 1.

Если

f (x) имеет в точке

x0 , предел равный А, то

существуют f (x0 + 0) и f (x0 − 0) и справедливо равенство:

f (x0 + 0) = f (x0 − 0) = A .

Замечание 2.

Если

f (x) имеет в точке x0

правый f (x0 + 0)

и левый

f (x0 − 0) пределы,

равные между собой, то в точке x0 функция f (x) имеет

предел, равный числу:

A = f (x0 + 0) = f (x0 − 0) .

Замечание 3.

Если

f (x) имеет в точке x0

правый f (x0 + 0)

и левый

f (x0 − 0) пределы,

но они не равны между собой,

то в точке x0

функция

f (x) не имеет предела.

Число A называется пределом функции

f (x)

при x → ∞ ,

если для

любого малого числа ε > 0 существует такое большое число M = M (е) > 0

такое, что для

любого x , удовлетворяющего неравенству

x

> M ,

выполняется неравенство

f (x) − A

< ε . Записывают lim f (x) = A .

x→∞

Рисунок 7. Предел функции y = f (x)

при x → ∞ .

Функция f (x)

называется бесконечно малой при x → x0

(б.м.), если

предел f (x) при x → x0 равен нулю: lim

f (x) = 0 .

x

→ x0

Функция f (x)

называется бесконечно большой при x → x0 (б.б.), если

для любого сколь угодно большого числа M > 0 существует малое число

д = д(е) > 0 такое,

что для любого

x ,

удовлетворяющего

неравенству

0 <

x − x0

< д,

выполняется

неравенство

f (x)

> M .

Записывают

бесконечно большой функцией в точке x0 ). Если функция

f (x) является

бесконечно большой в точке x0 , то функция

1

является бесконечно

f (x)

малой в точке x0 . (Верно и обратное утверждение).

2.4 Основные теоремы о пределах

10. Если существуют конечные пределы двух функций

f (x) и g(x) в

точке x0 , равный сумме (разности) пределов этих функций.

lim [ f (x) + g(x)]= lim

f (x) + lim g(x) .

x→ x0

x→ x0

x→ x0

20. Функция может имеет только один предел при x → x .

0

30. Если существуют конечные пределы двух функций f (x)

и g(x) в

точке x0 , то существует

предел произведения этих функций в

точке x0 ,

равный произведению пределов этих функций.

15

lim ( f (x) × g(x)) =

lim

f (x) × lim g(x) .

x→ x0

x→ x0

x→ x0

lim (c × f (x)) = c ×

lim f (x) , где C = const .

x→ x0

x→ x0

lim ( f (x))

n

n

= lim

f (x) , где n N .

x→ x0

x→ x0

60. Предел показательно-степенной функции равен пределу основания,

возведенного в степень предела степени.

lim g ( x)

lim (f (x)g ( x) )= lim f (x) x→x0

.

x→ x0

x

→ x0

70. Если существуют конечные пределы двух функций f (x) и g(x) ,

причем lim g(x) ¹ 0 , то существует предел частного этих функций

f (x)

в

x→ x0

g(x)

точке x0 , равный частному пределов этих функций.

f (x)

lim f (x)

lim

=

x→x0

, при lim g(x) ¹ 0 .

x→x0

g(x) lim

g(x)

x→ x0

x

→x0

Первый замечательный предел: lim

sin x

=1.

x→0

x

1

x

1

Второй замечательный

предел:

lim 1+

= lim(1+ x)

= e , где

x

x→∞

x

x→0

e = 2,7182818...

Пример 1. Вычислить предел функции lim (x2 - 7x + 5).

x→1

Решение.

Подставим

предельное

значение

x = 1

в

функцию

f (x) = x2 − 7x + 5 ,

получим

f (1) = (1)2 - 7 ×1 + 5 = -1.

Следовательно,

lim (x2 - 7x + 5)= -1.

x →1

16

Пример 2. Вычислить предел функции

lim

x2 - 4

.

x + 3

x → 2

Решение.

Подставим

предельное

значение

x = 2

в

функцию

f (x) =

x2 - 4

,

получим

f (2) =

x2 - 4

= (2)2 - 4 =

0

= 0 .

Следовательно,

x + 3

x + 3

2 + 3

5

lim

x2

- 4

= 0 .

+ 3

x → 2 x

Пример 3. Вычислить предел функции

lim

x2

-1

.

x → −3 x2 + 6x +

9

Решение.

Подставим

предельное

значение

x = −1

в

функцию

f (x) =

x2 -1

, получим

f (- 3) =

x2 -1

=

(- 3)2 -1

=

8

.

2 + 6x +

x2

x

9

+ 6x + 9

(- 3)2 + 6 × (- 3) + 9 б.м.

По свойству бесконечно малых функций имеем, lim

x2 -1

= ¥.

x

→ −3 x2 + 6x + 9

Пример 4. Вычислить предел функции lim

x + 3

.

x → 0

x2 + 6x

Решение.

Подставим

предельное

значение

x = 0

в

функцию

f (x) =

x + 3

,

получим

f (0) =

x + 3

=

0 + 3

=

8

.

По

свойству

x

2 + 6x

x

2 + 6x

(0)2 + 6 × 0 б.м.

бесконечно малых функций имеем, lim

x + 3

= ¥ .

x →

0 x

2 + 6x

Пример 5. Вычислить предел функции

lim

7

.

x → ∞ x + 10

Решение.

Подставим

предельное

значение

x = ∞

в

функцию

f (x) =

7

, получим f (¥) =

7

=

7

. По свойству бесконечно больших

x

+ 10

x + 10

б.б.

функций имеем,

7

= 0 .

lim

x → ∞ x +10

Пример 6. Вычислить предел функции

lim

x + 6

.

x → ∞

3

Решение.

Подставим

предельное

значение

x = ∞

в

функцию

f (x) =

x + 6

, получим

f (∞) =

x + 6

=

б.б.

. По свойству бесконечно больших

3

x + 6

3

3

функций имеем,

lim

= ∞ .

3

x → ∞

Пример 7. Вычислить предел функции

lim

x2

− 9

.

x → −3 x2 + x − 6

Решение.

Подставим

предельное

значение

x = −3

в

функцию

f (x) =

x2 − 9

, получим

f (− 3) =

x2 − 9

=

0

. Следовательно, x = −3

2

2

x

+ x − 6

x

+ x − 6 0

x2 − 9

0

(x − 3)(x + 3)

x − 3

− 3 − 3

− 6

6

lim

=

=

lim

=

lim

=

=

=

.

2

+ x − 6

− 2

− 3 − 2

− 5

5

x → −3 x

0

x → −3 (x − 2)(x + 3)

x → −3 x

Пример 8. Вычислить предел функции

lim

x − 1

.

x → ∞ 5x + 6

Решение.

Подставим

предельное

значение

x = ∞

в

функцию

f (x) =

x − 1

, получим

f (∞) =

x − 1

=

∞ .

В числителе и

в знаменателе

5x + 6

5x + 6

∞

1

1

x −1

= ∞

x 1−

1−

lim

= lim

x

= lim

x

=

1

, т.к. по свойству бесконечно

5x + 6

x 5 +

5 +

x→ ∞

x→ ∞

6

5

∞

6 x→ ∞

x

x

малых и бесконечно больших функций имеем

const

= б.м. , т.е. lim

1

= 0 и

б.б.

x → ∞ x

lim

6

= 0 .

x → ∞ x

Пример 9. Вычислить предел функции

lim

2x2

+ 1

.

6x − 1

x → ∞ 5x3 +

Решение.

Подставим

предельное

значение

x = ∞

в

функцию

f (x) =

2x2 + 1

,

получим

f (∞) =

2x2 + 1

=

∞ .

В

числителе

и в

5x3 + 6x -1

5x3 + 6x − 1

∞

знаменателе вынесем x 2

за скобки и сократим:

2

2 +

1

2 +

1

2x2 + 1

∞

x

2

x

x2

2

lim

=

= lim

= lim

=

= 0 .

3

+ 6x

− 1

2

6

1

6

x → ∞ 5x

∞

x → ∞

x → ∞

5x +

−

1

б.б.

x

5x +

−

x