Задачи для самостоятельного решения

I. Даны координаты вершин точек A1,

A2 ,

A3, A4 .

1.

A1 2; 1;1 ,

A2 5; 5;4 , A3 3;2; 1 ,

A4 4;1;3 .

2.

A1 2;3;1 ,

A2 4;1; 2 ,

A3 6; 3;7 ,

A4 5; 4; 8 .

3.

A1 2;1; 1 , A2 3; 0;1 , A3 2; 1;3 , A4 0; 8;0 .

4.

A1 1; 3; 6 ,

A2 2; 2;1 , A3 1;0;1 ,

A4 4; 6; 3 .

5.

A1 4;2; 6 ,

A2 2; 3;0 ,

A3 10;5;8 ,

A4 5; 2; 4 .

6.

A1 0; 1; 1 ,

A2 2; 3;5 ,

A3 1; 5; 9 ,

A4 1; 6;3 .

7.

A1 2;3;1 ,

A2 4;1; 2 , A3 6;3;7 ,

A4 7; 5; 3 .

8.

A1 1;1; 1 ,

A2 2; 3;1 , A3 3;2;1 ,

A4 5; 9; 8 .

9.

A1 1;2; 3 , A2 4; 1;0 , A3 2;1; 2

И

, A4

3; 4;5 .

10. A1 1;1; 2 ,

A2 1; 1;3 ,

A3

2; 2; 4 ,

A4

1; 0; 2 .

Задания:

Д

1)

составить

уравнения

А

в

общем

виде

A1 A2

A3;

плоскостей

A1 A2 A4 ; A2 A3 A4 ; A1 A3 A4 ;

A1 A2

A3;

2)

записать

уравнения

плоскостей

в

«отрезках»

A1 A2 A4 ; A2 A3 A4 ; A1 A3 A4 ;

3) нарисовать плоскости A1 A2

A3;

A1 A2

A4 ;

A2 A3 A4 ;

A1 A3 A4 ;

4)

С

A A A парал-

проверить,

являются ли плоскости A A A ;

лельными;

б

1

2

3

1

2

4

5) проверить, являютсяили плоскости A2

A3 A4 ;

A1 A3 A4

перпен-

дикулярными;

6) найти угол между плоскостями A1 A2 A4 ;

A2 A3 A4 ;

7) проверить, лежат ли точки A1,

A2 , A3, A4

в одной плоскости;

8) найти расстояние от точки

A1

до плоскости A2 A3 A4 .

Прямая

в пространстве однозначно определяется точкой

M0 x0, y0,z0

и направлением, т.е. некоторым вектором, называемым

через точку M0 x0, y0,z0 параллельно вектору

a

,m,n получает-

И

ся из условия параллельности векторов M M0

и a

x x0

y y0

z z0

;

m

n

А

2) уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точ-

ки M1 x1, y1,z1 , M2 x2, y2,z2 , получаютДиз канонического, считая

направляющим вектором прямой вектор

, лежащий на прямой

M1M2

и

y y1

z z1

С

x

x1

б

z2 z1

;

x2 x1

y2 y1

l :

x x0

y y0

z z0

;

1

1

m

n

1

1

l

2

:

x x0

y y0

z z0

,

2

m

n

2

2

И

где a1 1,m1,n1 ;

a2 2,m2,n2 – направляющие векторы прямых

l1 и l2 соответственно.

Д

а) l //l

//

, т.е. l

//l

1

=

m1

=

n1

;

2

a

a

2

2

1

1

1

2

m

2

n

2

б) l1 l2

1 2 +m1m2 +n1n2 = 0;

a1

a2

б

равен углу между направляющи-

в) угол между прямыми l1

и l2

ми векторами этих прямых

А

С

1 2 + m1 m2 + n1n2

cos =

a1 a2

=

.

a1 a2

2 + m2

+ n2

2 + m2

+ n2

и

1

1

1

2

2

2

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

а)

Прямая

x x0

y y0

z z0

параллельна плоскости

m

n

Ax By Cz D 0 тогда и только тогда,

когда направляющий век-

И

в) угол между прямой и плоскостью находят по формуле

na

Д

sin

A Bm Cn

.

n

a

2

2

2

2

2

2

A B

C

m

n

4. Примеры решения задач по теме «Прямая в пространстве»

б

A1 1; 1;2 ,

A2 2;1;2 ,

1. Даны координаты вершин пирамиды

A3 1;1;4 , A4 6; 3;6 .

А

Найти:

С

;

1) длину ребра A1A2

2) угол между ребрами A A и A A .

и1 3

1

4

A A

1 2 2 1 1 2 2 2 2

5

.

1

2

A1A3

1 1 ; 1 1 ; 4 2 0;2;2

A1A4

5; 2;4 .

cos

A1A3 A1A4

5 0 2 2

4 2

4

4

2

.

A1A3

A1A4

8 25 4 16

8 45

2 2 3 5 3 10

ведение векторов-нормалей плоскостей

И

a

=

n1 ×

n

2

(

n1 = {1,1,

3};

n

2

= {1,1,1}.

Д

i

j

k

А

1

3

1

3

1

1

a

n1

n

2

1 1

3

i

j

k

1

1

1

1

1

1

1

1

1

б

и

4i 4 j 0k 4i 4 j 4; 4;0 .

С

Найдём теперь какую-н будь точку на прямой. Положим, на-

пример, y 0. Тогда получ м систему

x 3z 4 0;

x z 1 0;

4z 5 0;

z

5

.

5

1

4

Тогда x

1 0;

x

.

4

4

1

5

Итак, получили точку

;0;

.

4

4

1

5

x

4

y 0

z 4

;

4

4

0

1

5

x

y

z

4

4

.

4

0

4

Это искомое каноническое уравнение прямой.

И

3. Найти точку пересечения прямой и плоскости

x 1

y 1

z 3

;

x 2 y z 1 0.

2

4

1

Д

Решение. Запишем уравнение прямой в параметрическом виде

x 1

А

y 1

z 3

t

2

4

1

б

x 2t 1;

x 1 2t;

и

y 4t 1;

y 1 4t; или

z 3 t

z t 3.

С

1

7

x

2

1

;

5

1

5

1

y

4

1

;

5

5

z

1

3

14

.

5

5

7

1

14