n

2

n

1

2

1

Рис. 32

Рис. 35

Угол между двумя плоскостями вычисляется по формуле

A1 A2 B1 B2 С1С2

n1

n2

cos

И

.

n1 n2

A2

B2

С2

A2 B2 С2

1

А

2

2

2

1

1

4) Расстояние от точки M x , y

2

,Дz до плоскости Ax By Cz

D 0 находят по формуле

1

1

и

Ax1 By1 Cz1 D

С

d

.

2

2

б2

B

C

A

Рис. 36

б) 4x 3y 12 0.

И

Решение. Уравнение не

содержит

значит,

плос-

переменную

z,

кость параллельна оси

Oz, а ее

направляющей

служит

прямая

4x 3y 12 0(рис. 37).

Д

А

б

и

в) z 3.

С

Рис. 37

Решение. Это плоскость,

параллельная осям Ox и Oy, иначе говоря,

2x y 5z 16 0.

ДИ

3. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки

Решение

через три

точки

x 1

y 5

z 7

А

x 1

y 5

z 7

3 1

б

1

10 0.

6 5

3 7 0 4

2 1

7 5

3 7

3

2

10

и

Раскладываем определ тель по элементам первой строки, полу-

чаем

2 x 1 2 y 5 z 7 0 2x 2y z 15 0.

4. Найти расстояние от точки M0 2; 3;1 до плоскости, прохо-

дящей через триСточки M1 1;1; 1 ,

M2 3;2; 4 ,

M3 2;1; 0 .

x 1

y 1

z 1

3 1

2 1

4 1

0

2 1

1 1

0 1

x 1

y 1

z 1

2

1

5

0.

1

0

1

x 1

1

5

y 1

2

5

z 1

2

1

0;

0

1

1

1

1

0

1

x 1

3

y 1

1 z 1

0;

x 1 3y 3 z 1 0;

x 3y z 5 0 уравнение плоскости,

И

проходящей через точки M1,

M2, M3.

Д

Теперь используем формулу расстояния от точки до плоскости

2 3 3 1 5

А

13

13

13 11

d

2 9 6

.

12 32

1 2

11

11

11

11

б

13 11

Итак,

и

до плоскости.

расстояние от M

0

11

5. Найти угол между плоскостями x y 3z 4 0 и

2x y z

С

8 0.

малями. Нормали плоскостей:

n1 1, 1, 3 ;

n

2

2,1, 1 .

Угол между нормалями найдём с помощью скалярного произве-

дения

cos

n1

n2

2 1 1 1 3 1

2

2

.

n1

n2

12 1 2 32

11 6

66

22 12 1 2

2

2

Получили

cos

; arccos

.

66

66