Прямые y b x являются асимптотами гиперболы. a

Если центр гиперболы смещен в точку x0, y0 , то уравнение принимает вид

x x0 2 y y0 2 1.

a2 b2

Уравнение вида

разует равные острые углы с фокальными радиусами и проходит внутри угла. Другими словами, лучи света, исходящие из одного фокуса гиперболы, после зеркального отражения от гиперболы идут так, как если бы они вышли из второго фокуса.

10. Парабола

Параболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых расстояние до точки-фокуса равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой – директрисы (директриса не проходит через фокус).

29

Расстояние от фокуса F до директрисы равно p. Введем систе-

нение директрисы было x p (рис. 14). Получаем уравнение пара- 2

болы

Рис. 14

Если вершина параболы – точка x0, y0 , то уравнение параболы

y y0 2 2p x x0 .

Уравнение

x2 2py

30

определяет параболу, у которой ветви направлены вверх или вниз. Эксцентриситет параболы пар 1.

Оптическое свойство параболы. Касательная к параболе обра-

зует равные острые углы с фокальным радиусом и лучом, параллельным оси параболы и идущим в сторону ветвей параболы. Другими словами, лучи света, исходящие из фокуса параболы, после зеркального отражения от параболы идут параллельно оси параболы.

Зависимость вида кривой от эксцентриситета

Изобразим, как меняется вид кривой второго порядка в зависимости от экцентриситета (рис. 15).

разными коэффициентами, то оно описывает эллипс или особый случай. Сгруппируем слагаемые следующим образом:

квадраты:

(x 2)2 22 9 (y 3)2 32 84 0.

31

После преобразований получим

(x 2)2 9(y 3)2 1

или

Это уравнение эллипса с центром в точке ( 2,3) и полуосями 1, 13

(рис. 16).

Очевидно, что это уравнение гиперболы, однако переменные x и y «поменялись ролями» – коэффициент при x2 отрицательный, что

следует учесть при построении линии: фокусы этой гиперболы расположены на оси Oy(рис. 17).

32

Рис. 17

должны удовлетворять их уравнениям, т.е. x0, y0 – решение системы

33

x0 1 y0 3,2 1

2x0 y0 4 0.

Первое уравнение преобразуется на основании свойства пропорции (произведение средних членов равно произведению крайних) к виду 1(x0 1) 2(y0 3) или x0 2y0 7. Решим полученную систему уравнений

что это эллипсСили особый случай. Выделяем полные квадраты по x, y и приводим к каноническому виду

4 x2 2x 9 y2 4y 4 0;

4 x2 2y 1 4 9 y2 4y 4 36 4 0;

4 x 1 2 9 y 2 2 36;

x 1 2 y 2 2 1.

9 4

34

Получили уравнение эллипса с центром 1; 2 , полусями a 3; b 2.

5. Какую линию определяет уравнение 2x2 2y2 8x 5y

4 0?

Решение. Наличие в уравнении выражения 2x2 +2y2 говорит о том, что это окружность или особый случай. Делаем преобразования – выделяем полные квадраты и приводим к каноническому виду

Решение. Эта Скривая может быть гиперболой или особым случаем. Делаем преобразования

x2 y2 16y 64 64 0;

x2 y 8 2 64;

x2 y 8 2 1. 64 64

35

Это уравнение гиперболы, ветви которой направлены вверхвниз, центр находится в точке 0; 8 , полуоси a b 64 8.

7. Какую линию определяет уравнение x2 4y2 4x 100 0? Решение. Это эллипс или особый случай. Выделяем полные квадраты

x2 4x 4 4 4y2 100 0;

x 2 2 4y2 96.

Такое равенство невозможно, получили исключительный (осо-

Решение. Для построения кривой приведем ее уравнение к каноническому виду. Для этого разделим обе части равенства на 1176. Имеем

Решение. Для построения кривой приведем ее уравнение к каноническому виду. Для этого разделим обе части равенства на 1176. Имеем

36

О(0,0).

Найдем параметры гиперболы.

Действительная полуось а=7, мнимая полуось b=24 . Вершины гиперболы: (7,0), (–7,0). Найдем фокальное расстояние с a2 b249 24 73. Фокусы гиперболы F1(73, 0) и F2 (–73, 0). Размеры основного прямоугольника гиперболы 2а 2b 14 224. Его диагонали лежат на асимптотах гиперболы, определяемых уравнениями y b x 24 x.

Эксцентриситет гиперболы 73 (рис. 20). 7

37

x x x0 x 2;

y y y0 y 2.

В системе координат Ox y уравнение кривой будет иметь кано-

y

пербол, параболС), уравнения асимптот (для гипербол), уравнение директрисы (для парабол):

1)36x2 36y2 36x 24y 23 0;

2)16x2 25y2 32x 50y 359 0;

4)x2 4y2 4x 8y 8 0;

5)x2 4y2 8y 5 0;

6)x2 y2 6x 100 0;

7)2x2 4x 2y 3 0;

38

8)x2 6x 8 0;

9)x2 2x 5 0;

10)3x2 4y2 6x 8y 0.

II. Написать уравнение

1)кривой, для которой разность квадратов расстояний от каждой точки которой до точек A (– 2, 0) и B (2,0) равна 1;

2)кривой, для которой сумма квадратов расстояний от каждой точки которой до точек A(− 3, 0) и B (3,0) равна 50;

3)окружности с центром в точке M (−1, 2) , проходящей через точку A (2,6);

2) 3y 2x 3 0 и 3x2 4y2 6x 8y 0;

3) 4x 5y 39 0 и 36x2 36y2 36x 24y 23 0.

VI.Составить уравнение

1)гиперболы, зная, что угол между асимптотами равен 90° и фокусы находятся в точках с координатами (4; −4) и (−2; −4).

2)эллипса, фокусы которого расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, дана точка М (5 ; 2) эллипса и его малая полуось b = 3;

3)эллипса, фокусы которого лежат на оси ординат, симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что его малая ось равна 16, а эксцентриситет равен 0,5.

39