2. Полярная система координат

Полярная система координат – это система координат на плоскости, в которой каждая точка плоскости однозначно определяется двумя числами – полярным углом и полярным радиусом. Полярная система координат особенно полезна в случаях, когда связь между точками проще изобразить в виде радиусов и углов. В декартовой прямоугольной системе координат такие соотношения можно получить только применяя тригонометрические уравнения.

Полярная система координат определяется точкой O, называемой полюсом, и лучом, исходящим из полюса, называемым полярной осью. Задается также единица масштаба. Любая точ-

Рис. 2

ПолярнымСрадиусом r точки M называется расстояние от полюса O до точки M (r = |OM|). Полярным углом называется угол между полярной осью и вектором OM (рис.2). Полярный угол измеряется в радианах и отсчитывается от полярной оси против часовой стрелки. Определённая таким образом радиальная координата r может принимать значения от нуля до бесконечности, а угловая координата может быть любой. Обычно полагают 0 ≤ < 2 π

или − π < ≤ π.

Полярные координаты начала координат − точки O: r = 0, угол не определен. У остальных точек r > 0 и угол определен с точностью до 2π.

Если полюс совпадает с началом прямоугольной декартовой системы координат, а полярная ось − с положительной частью оси

8

Уравнение Архимедовой спирали в полярной системе координат имеет вид

r = a ,

где a – сдвиг точки M по лучу при обороте на угол, который равен одному радиану.

Обороту прямой на 2π соответствует смещение по лучу на 2aπ – на шаг спирали.

Если мы поворачиваем луч против движения часовой стрелки, получаем правую спираль, если поворачиваем по часовой стрелке – левую спираль.

В природе форму спирали Архимеда имеют большинство раковин. Семена в корзине подсолнечника расположены по спирали. Спираль можно увидеть, например в кактусах, ананасах. Ураган закручивается спиралью. По спирали разбегается стадо оленей. Двойной спиралью закручена молекула ДНК. аже галактики сформированы по

видность – винтовой ротор в мясорубке. Шнек используют в меха-

винта Архимеда создалиишнек («улитку»). Его очень известная разно-

низмах для перемеш ван я материалов различной консистенции. В технике нашлиСпр менен е антенны в виде спирали Архимеда. Само-

центрирующийся патрон выполнен по спирали Архимеда. Звуковые дорожки на CD и DVD дисках также имеют форму спирали Архимеда.

3. Прямая на плоскости. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

На плоскости прямая чаще всего задается уравнениями вида:

1)y kx b – уравнение прямой с угловым коэффициентом (для прямых, не параллельных оси Oy);

2)Ax By C 0 общее уравнение прямой;

10

3)r r0 аt векторное уравнение;

4)x x0 lt; параметрическое уравнение прямой.

y y0 mt.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси Ox будем называть угловым коэффициентом этой прямой

Рис. 4

Вывод уравнения прямой

Пусть известны координаты двух точек M0 x0, y0 и M1 x1, y1

11

на прямой (рис. 5). Из рисунка 5 очевидно, что k y1 y0 . x1 x0

0 x0 x1 x

это уравнение прямой, проходящей через точку M0 x0, y0 .

Раскроем скобки

y kx y0 kx0.

Теперь обозначим b y0 kx0 , тогда получим

ykx b

это уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Число b называется свободным членом.

12

Геометрически число b равно отрезку, отсекаемому прямой на оси Oy(рис. 6).

y

b

x

Рис. 6

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

Пример.Составить уравнение прямой, проходящей через точки

M0 2, 3 и M1 1, 1 .

Решение. Подставляем координаты точек в уравнение и делаем преобразования

1 y 3 4 x 2 .

13

После упрощений получаем уравнение прямой в виде с угловым коэффициентом y 4x 5.

Угол между прямыми

Даны уравнения двух прямых

1 : y k1 x b1;

2 : y k2 x b2 .

Так как, по определению углового коэффициента, tg =k, то

Это формула для нахождении угла между прямыми.

Наличие модуля в формуле позволяет находить сразу острый угол между прямыми.

14

Следствием этой формулы являются условия параллельности и перпендикулярности прямых.

Условие параллельности прямых

прямую. Это уравнение называется общим уравнением прямой.

Частные случаи

1. Прямая, определяемая уравнением Ax By 0 (С = 0, уравнение можно преобразовать к виду y kx), проходит через начало координат.

2.Прямая, определяемая уравнением y b (А = 0), параллельна оси Ох. Прямая, определяемая уравнением y 0 это ось Ох.

3.Прямая, определяемая уравнением x a (В = 0), параллельна оси Оу. Прямая вида x 0 это ось Оу.

15