b

Рис. 4

a

И

0

x

Д

Рис. 8

А

Расстояние от точки до прямой

Рассмотрим прямую Ax By C 0

и точку M0 x0, y0 (рис. 9).

Расстояние от точки до прямой находят по формуле

бd

Ax0 By0 C

.

A2 B2

С

и

d

M0 x0, y0

Ax+By+C=0

Пусть на прямой даны две точки: M0 x0, y0

и M x,y . Тогда

векторы

r0

0 и

r

называются радиус-векторами точек

OM

OM

M0 , M . Координаты радиус-векторов совпадают с координатами то-

чек:

r0 x0, y0 ;

r

x, y .

Так как

M0M

||

a

, то

M0M

a

t, где t

– некоторое число (па-

раметр).

y

M0(x0,y0)

a

M(x, y)

r0

r

И

0

Д

x

Рис. 10

А

r

r0

M0M (рис. 10).

Используем правило сложения векторов

Получим

б

и

r

r0

at.

6. Параметрическое уравнение прямой

Запишем теперь векторное уравнение прямой r r0 at в коор-

динатах

С

1. Написать уравнения прямых,

проходящих

через

точку

M0 2, 1 параллельно,

перпендикулярно и под углом

45

к прямой

y 2x 4.

Решение. Для решения задачи используем уравнением прямой, про-

ходящей через заданную точку

y y0

k x x0

. Подставим в это

уравнение

координаты

точки

M0

2,

(1

−

), получим уравнение

y 1 k x 2 .

И

Определим теперь угловой коэффициент k прямой. По условию

Д

используя критерий

прямая параллельна прямой y 2x 4,

поэтому,

параллельности прямых, находим, что k 2. Подставляем в уравне-

ние:

А

y 1 2x 4 2x 4 y 1 0 2x y 5 = 0 – нашли урав-

нение прямой, параллельной данной.

2

б

Если искомая прямая перпендикулярна данной, то, из критерия

ортогональности

прямых

k

k

1,

находим

k

1

.

2и

2

1

2

1

2

Подставим найденное значен е k

1

в уравнение y 1 k x 2 ,

С

получим

y 1

1

x

2 x 2 2y 2 0 x 2y 0

– это

уравнение прямой, перпендикулярной прямой y 2x 4.

Определим далее угловой коэффициент прямой, проходящей

под

углом

45

к

данной

прямой

y 2x 4,

по

формуле

k2 k1

.

Подставляя

в

эту

формулу

= 45 ,

получим

tg

1 k1k2

2 k1

(так как угловой коэффициент данной прямой k 2).

1

1 2k1

Имеем

1 2k

2 k

k

1

или k 3. И тогда

1

1

1

3

1

y 3x 5 0

и 3y x 5 0

– уравнения прямых, проходящих под

углом 45 к данной.

2. Найти уравнение прямой, проходящей через точки A1 5, 1 и

точки

y y0

x x0

:

y1 y0

x1 x0

x 5

y 1

x 5

y 1

2 x 5 y 1 2 x 10 y 1 0

2 5

5 1

3

6

И

2 x y 9 0.

Д

3. Найти угол между прямыми:

y 3x и y 2 x 5.

Решение. Для вычисления угла между прямыми используем формулу

k

2 k1

А

3 2

5

tg

. Так как k

3; k

2

2, то tg

1. От-

1 k1k2

1

1 6

5

1

б

сюда arctg 1

45 .

и

4.

4

АВС:

A(3,1), B(1,7),С(6,3).

Заданы верш ны

треугольника

Требуется:

АВС;

1)

составить уравнен

я всех сторон

2)

уравнение высоты, опущенной из вершины В на сторону АС;

3)

уравнение медианы, проведенной из вершины С;

4)

расстояние от вершины С до стороны АВ;

5)

найти Сугол между сторонами АС и АВ;

6)

вычислить периметр треугольника АВС.

x x

y y

сти прямых

1

2

k

k

2

1. Найдем, что

x 1

y 7

– уравне-

1

4

5

xM

=

xA + xB

=

3+1

= 2;

2

2

yM

=

yA + yB

=

1+7

= 4.

2

2

Для нахождения уравнения медианы СМ воспользуемся уравне-

нием прямой, проходящей через две точки:

x x1

y y1

. Так как

x2 x1

y2 y1

С(6,3),

M(2,4), то

x 6

y 3

или

x 6

y 3

– уравнение медиа-

2 6

4

4 3

1

ны СМ.

И

4) Расстояние от вершины С до стороны

АВ

находим по формуле

d

Ax0

By0 C

. Так как 6x 2y 20 0– общее уравнение сторо-

A2 B2

ны АВ,

то А=6; В=2; С= –20; x0

xC

6; y0

yC 3. Тогда

А

22

6 6 2 3 20

б

d

Д

.

36 4

40

и

АВ и

АС равен углу между векторами

5) Угол между сторонами

AB и AC. Для точек A(3,1), B(1,7),С(6,3) имеем

AB 1 3;7 1 2;6 ,

AC 6 3;3 1 3;2 .

cos

AB

AC

2 3 6 2

6

.

С

AC

4 36 9 4

40 13

AB

1. A 7;3 ,

,

6.

A 7; 4 ,A 3; 7 ,

И

Д

А

С

б

1)

найти длинуиотрезка A1A2;

A2 A3, A1A3, записать в об-

2)

составить уравнения прямых A1A2,

щем виде

3)

нарисовать прямые A1A2, A2 A3, A1A3;

4)

составить уравнение прямой, проходящей через точку A3

па-

раллельно прямой A1A2 ;

A3

5)

составить уравнение прямой, проходящей через точку

перпендикулярно прямой A1A2 ;

6)

составить уравнение прямой,

проходящей под углом = 45

к прямой A2 A3;

7)

составить уравнение прямой,

проходящей под углом = 30

к прямой A2 A3;

A1A2 A3.

II.

Заданы вершины треугольника

АВС: A(3,1), B(1,7),С(6,3).

Требуется:

1)

составить уравнения прямых – всех сторон АВС;

2)

уравнение прямой – высоты, опущенной из вершины В на

сторону АС;

3)

уравнение прямой– медианы, проведенной из вершины С;

4)

расстояние от вершины С до стороны АВ;

5)

найти угол между сторонами АС и АВ;

6)

вычислить периметр треугольника АВС.

1)

равноудалены от точек A (0, 2) и B (4, 2);

2)

втрое дальше от точки A (0, 9), чем от точки B (0, 1);

3)

вдвое ближе к точке A (1, 1), чем к точке B (4, 4).

IV. Записать уравнение

А

И

1)

биссектрисы второго и четвертого координатных углов;

2)

б

геометрического места точекД, равноудаленных от точки A

(2,2) и

линии, каждая точка которой вдвое дальше от оси Ox , чем от

3)

оси Oy;

4)

геометрического места точек, равноудаленных от точки

A(4,0) и от оси Oy;

5)

геометрическогоиместа точек, равноудаленных от точки A

(4,2) и от начала координат;

6)

линии, все точки которой вдвое ближе к точке A (0, 1) , чем к

точке B (0, 4). С

V. Установить, какие линии определяются следующими уравне-

ниями

х = |у |;

1)

2) y + |x|=0;

3)

х + |у |= 0;

4)

у = |х − 1|;

5) y = |x + 2|;

6)

у = − |х − 5|.

12

12

Д

эффициентом;

5

49

И

4)

y

x

;

А

12

5

12

5) y

12

x 14.

б

II.

1)

x 3 y 1

– уравнен е прямой АВ;

2

22С

6

2)

x 1

y 7

– уравнен е высоты АН;

4

5

3)

x 6

y 3

– уравнение медианы;

4

1

4) d

;

40

6

5) угол между сторонами АВ и АС равен arccos

;

6) периметр треугольника Р

40

13

40

13

41

.