5. Поверхности второго порядка

Вспомним, что плоскость задается в пространстве уравнением

Д

первой степени Ax By Cz D 0, поэтому плоскость называется

поверхностью первого порядка.

А

б

второго порядка. Представим канонические уравнения и схематичные

изображения следующих поверхностей 2-го порядка (рис. 42).

Однополостный г пер оло д

Двуполостный гиперболоид

x

С

x

y2

z

2

y2

z2

1

2

2

1

a

2

b

2

2

a

2

b

2

c

2

c и

Эллиптический параболоид

Гиперболический параболоид

x2

y2

2z

x2

y2

(p>0, q>0).

a2

b2

q

p

2z

Эллиптический конус

Цилиндрическая поверхность –

поверхность, образуемая движени-

x2

y2

z2

0

ем прямой l (в каждом своём по-

a2

b2

c2

ложении

называмой образующей)

А

Икривой

(называе-

вдоль

L

мой направляющей)

так,

что пря-

б

маяДпостоянно остаётся параллель-

и

ной своему начальному положе-

нию

С

x2 2pz

И

– параболический цилиндр

Д

Рис. 42 (окончание)

6. Контрольная работа по разделу «Аналитическая геометрия

в пространстве»

б

I. Найти расстояние от точки М0 до плоскости, проходящей че-

рез три точки

и

А

M1,M2,

M3.

II. Написать уравнен е плоскости, проходящей через точку A,

С

перпендикулярную вектору BC.

III. Найти угол между плоскостями.

IV. Написать каноническое уравнение прямой.

V. Найти точку пересечения прямой и плоскости.

Вариант 1

I. M 3,4, 7 ;

M 1,5, 4 ;

M 5, 2,0 ;

M 12,7, 1.

1

2

3

0

II. A1,0, 2 ; B 2, 1,3 ; C 0, 3,2 .

III. x 3y 5 0; 2x y 5z 16 0.

IV.2x y z 2 0;

2x y 3z 6 0.

V.

x 2

y 3

z 1

; x 2y 3z 14 0.

1

1

4

Вариант 2

I. M1 1,2, 3 ;

M2 4, 1,0 ; M3 2,1, 2 ; M0 1, 6, 5 .

II.

A 1,3,4 ;

B 1,5,0 ; C 2,6,1.

III. x 3y z 1 0; x z 1 0.

IV. x 3y 2z 2 0; x 3y z 14 0.

V.

x 1

y 3

z 1

; x 2 y 5z 20 0.

3

4

5

Вариант 3

I. M1 3, 1,1;

M2 9,1, 2 ; M3 3, 5,4 ; M0 7,0, 1.

II.A 4, 2,0 ;

B 1, 1, 5 ; C 2,1, 3 .

III.

4x 5y 3z 1 0; x 4 y z 9 0.

IV. x 2 y z

Д

4 0; 2x 2 y z 8 0.

V.

x 1

y 5

z 1

; x 3y 7z 24 0.

1

4

2

А

И

и

Вариант 4

I. M1 1, 1,1;

M0 2,4,2 .

M

2 2,0,3 ; M3 2,1, 1 ;

II.

A 8,0,7 ;

B 3,2,4 ;

C 1,4,5 .

III.

3x

С

y 2z 15 б0; 5x 9y 3z 1 0.

IV. x y z 2 0; x y 2z 2 0.

V.

x 1

y

z 3

; 2x y 4z 0.

1

0

2

Вариант 5

I. M1 1,2,0 ; M2 1, 1,2 ;

M3 0,1, 1 ; M0 2, 1,4 .

II.

A 7, 5, 1;

B 5, 1, 3 ; C 3,0, 4 .

III.

6x 2 y 4z 17 0;

9x 3y 6z 4 0.

IV. 2x 3y z 6 0; x 3y 2z 3 0.

V.

x 5

y 3

z 2

; 3x y 5z 12 0.

1

1

0

I. M1 1,0,2 ; M2 1,2, 1;

M3 2, 2,1 ;

M0 5, 9,1.

II. A 3,5, 2 ;

B 4,0,3 ; C 3,2,5 .

III. x y

z 1 0;

x y

z 3 0.

2

2

IV. 3x y z 6 0; 3x y 2z 0.

V.

x 1

y 2

z 3

; x 3y 5z 9 0.

3

2

2

Вариант 7

I. M1 1,2, 3 ;

M2 1,0,1;

M3 2, 1,6 ; M0 3, 2, 9 .

II. A1, 1,8 ; B 4, 3, 10 ; C 1, 1, 7 .

III. 3 y z 0; 2 y z 0.

Д

IV. x 5y 2z

11 0;

x

y z 1 0.

V.

x 1

y 2

z 1

; x 2 y 5 z 17 0.

2

1

1

А

И

и

Вариант 8

I. M1 3,10, 1;

M3 6,0, 3 ; M0 6,7, 10 .

M2 2,3, 5 ;

II. A 2,0, 5 ;

B 2,7, 3 ; C 1,10, 1.

С

III. 6x 3y 2z 0;бx 2y 6z 12 0.

IV. 3x 4y 2z 1 0;

2x 4y 3z 4 0.

V.

x 1

y 2

z 4

; x 2 y 4z 19 0.

2

0

1

Вариант 9

I. M1 1,2,4 ;

M2 1, 2, 4 ;

M3 3,0, 1 ; M0 2,3,5 .

II. A1,9, 4 ; B 5,7,1 ;

C 3,5,0 .

III. x 2y 2z 3 0;

16x 12y 15z 1 0.

IV. 5x y 3z 4 0;

x y 2z 2 0.

V.

x 2

y 1

z 4

; 2x y 3z 23 0.

1

1

1

Вариант 10

I. M1 0, 3,1;

M2 4,1,2 ; M3 2, 1,5 ; M0 3,4, 5 .

II.A 7,0,3 ;

B 1, 5, 4 ; C 2, 3,0 .

III. 2x y 5z 16 0; x 2y 3z 8 0.

IV. x y z 2 0; x 2 y z 4 0.

V.

x 5

y 3

z 2

; 3x y 5z 12 0.

1

1

0

Вариант 11

I. M1 1,3,0 ;

M2 4, 1,2 ;

M3 3,0,1 ;

M0 4,3,0 .

2. A 0, 3,5 ;

B 7,2,6 ;

C 3,2,4 .

III. 2x 2y z 1 0;

3x y z 4 0.

IV. 4x y 3z 2 0;

Д

2x y z 8 0.

V.

x 1

y 1

z 2

; 4x 2y z 11 0.

2

1

3

А

И

Вариант 12

и

I. M1 2, 1, 1; M2

0,3,2 ; M3 3,1, 4 ; M0 21,20, 16 .

II. A 5, 1, 2 ;

B 2, 4,3 ;

C 4, 1,3 .

III. 3x

С

y 5z 16 б0; y z 5 0.

IV. 2x y z 2 0; 2x y 3z 6 0.

V.

x 1

y 1

z 1

; 3x 2y 8z 0.

1

0

1

Вариант 13

I. M1 3, 5,6 ; M2 2,1, 4 ; M3 0, 3, 1 ; M0 3,6,68 .

II.A 3,7,2 ;

B 3,5,1 ;

C 4,5,3 .

III. 3x 2y 2z 16 0;

x y 3z 7 0.

IV. 6x 7 y 4z 2 0; x 2 y 5z 20 0.

V.

x 2

y 1

z 3

; x 2 y z 2 0.

1

1

2

Вариант 14

I. M1 2, 4, 3 ; M2 5, 6,0 ; M3 1,3, 3 ; M0 2, 10,8 .

II.A 0, 2,8 ; B 4, 3, 2 ; C 1,4,3 .

III. 2x 2 y z 9 0;

x y 3z 1 0.

IV. 8x y 3z 1 0; x y z 10 0.

V.

x 3

y 2

z 2

; 5x y 4z 3 0.

1

5

3

Вариант 15

I. M1 1, 1,2 ;

M2 2,1,2 ;

M3 1,1,4 ;

M0 3,2,7 .

II.

A1, 1,5 ; B 0,7,8 ;

C 1,3,8 .

III.

x 2y 2z 3 0;

2x y 2z 5 0.

IV. 6x 5y 4z 8 0,

Д

6x 5y 3z

4 0.

V.

x 2

y 2

z 4

; x 3y 5z 42 0.

2

1

3

А

И

Вариант 16

и

M3 1,0,1 ; M0 5, 4,5 .

I. M1 1,3,6 ; M2 2, 2, 1;

II.

A 10,0,9 ;

B 12,4,11 ; C 8,5,15 .

III. 3x

С

2 y 3z 1 б0; x y z 7 0.

IV. x 5y z 5 0; 2x 5y 2z 5 0.

V.

x 3

y 4

z 4

; 7x y 4z 47 0.

1

5

2

Вариант 17

I. M1 4,2,6 ;

M2 2, 3,0 ; M3 10,5,8 ; M0 12,1,8 .

II.A 3, 3, 6 ;

B 1,9, 5 ;

C 6,6, 4 .

III. x 3y 2z 8 0;

x y z 3 0.

IV. 2x 3y z 6 0;

x 3y 2z 3 0.

V.

x 3

y 1

z 1

; 2x 3y 7z 52 0.

2

3

5

I. M1 7,2,4 ;

M2 7, 1, 2 ; M3 5, 2, 1 ;

M0 10,1,8 .

II. A 2,1,7 ; B 9,0,2 ;

C 9,2,3 .

III. 3x 2y 3z 23 0; y z 5 0.

IV. 5x y 2z 4 0;

x y 3z 2 0.

V.

x 3

y 1

z 3

; 3x 7 y 7z 16 0.

2

3

2

Вариант 19

I. M1 2,1,4 ; M2 3,5, 2 ;

M3 7, 3,2 ; M0 3,1,8 .

II. A 7,1, 4 ; B 8,11, 3 ;

C 9,9, 1.

III. x y 3z 7 0;

y z 1 0.

IV. 4x y z

Д

2 0; 2x y 3z 8 0.

V.

x 5

y 2

z 4

; 2x 5y 4z 24 0.

2

0

1

А

И

Вариант 20

и

M0 10, 8, 7 .

I. M1 1, 5,2 ; M2 6,0, 3 ; M3 3,6, 3 ;

II.A1,0, 6 ; B 7,2,1 ; C 9,6,1.

С

III. x 2 y

2z 17 б0, x 2 y 1 0.

IV. 2x y 3z 2 0;

2x y z 6 0.

V.

x 1

y 8

z 5

; x 2 y 3z 18 0.

8

5

12

Вариант 21

I. M1 0, 1, 1; M2 2,3,5 ; M3 1, 5, 9 ;

M0 4, 13,6 .

II. A 3,1,0 ;

B 6,3,3 ; C 9,4, 2 .

3. x 2y 1 0; x y 6 0.

IV.x y 2z 2 0; x y z 2 0.

V.

x 3

y 1

z 5

; x 7 y 3z 11 0.

1

1

0

I. M1 5,2,0 ; M2 2,5,0 ;

M3 1,2,4 ;

M0 3, 6, 8 .

II.A 4, 2,5 ; B 3, 3, 7 ; C 9,3, 7 .

III. 2x z 5 0; 2x 3y 7 0.

IV. x 5y z 11 0;

x y 2z 1 0.

V.

x 5

y 3

z 1

; 3x 7 y 5z 11 0.

1

5

2

Вариант 23

I. M1 2, 1, 2 ; M2 1,2,1;

M3 5,0, 6 ; M0 14, 3,7 .

II. A 0, 8,10 ;

B 5,5,7 ;

C 8,0,4 .

III. 5x 3y z 18 0; 2 y z 9 0.

IV. x y z 2 0; x

2 y

Д

z 4 0.

V.

x 1

y 2

z 6

; 4x y 6z 5 0.

7

1

1

А

И

Вариант 24

и

I. M1 2,0, 4 ; M2

1,7,1; M3 4, 8, 4 ; M0 6,5,5 .

II. A1, 5, 2 ;

B 6, 2,1 ;

C 2, 2, 2 .

III. 4x

С

xб2 y 2z 5 0.

3z 2 0;

IV. 6x 7 y z 2 0; x 7 y 4z 5 0.

V.

x 3

y 2

z 8

; 5x 9y 4z 25 0.

1

2

0

Вариант 25

I. M1 14,4,5 ;

M2 5, 3,2 ; M3 2, 6, 3 ; M0 1, 8,7 .

II. A 0,7, 9 ; B 1,8, 11 ;

C 4,3, 12 .

III. x 4 y z 1 0;

2x y 4z 3 0.

IV.x 5y 2z 5 0;

2 x 5 y z 5 0.

V.

x 1

y

z 1

, x 4 y 13 z 23 0.

2

0

3

II.

A 3, 1,7 ;

B 0,2, 6 ; C 2,3, 5 .

III. 2y z 9 0; x y 2z 1 0.

IV. x 3y z 2 0; x 3y 2z 14 0.

V.

x 1

y 3

z 5

; 3x 2y 5z 3 0.

6

1

3

Вариант 27

I. M1 2, 1,2 ;

M2 1,2, 1; M3 3,2,1 ;

M0 5,3,7 .

II.

A 5,3, 1; B 0,0, 3 ;

C 5, 1,0 .

III. 2x 6 y 14z 1 0;

5x 15y 35z 3 0.

IV.2x 3y 2z 6 0;

x

Д

3 y z 3 0.

V.

x 2

y 1

z 3

, 3 x y 4 z 0.

4

3

2

А

И

Вариант 28

I. M1 1,1,2 ; M

и

M3 2, 2,4 ;

M0 2,3,8 .

2 1,1,3 ;

II.

A 2,2, 2 ;

B 13,14,1; C 14,15,2 .

III.

x y

С

7 z

1 0б, 2x 2 y 5 0.

IV. 3x 4y 3z 1 0;

2x 4y 2z 4 0.

V.

x 1

y 2

z 3

; x 2y 5z 16 0.

2

5

2

Вариант 29

I. M1 2,3,1; M2 4,1, 2 ; M3 6,3,7 ;

M0 5, 4,8 .

II.

A 7, 5,0 ; B 8,3, 1 ;

C 8,5,1.

III. 3x y 5 0; 2x y 3 0.

IV. 3x 3y z 1 0; 2x 3y 2z 6 0.

V.

x 1

y 3

z 2

; 3x 7 y 2z 7 0.

1

0

2