Министерство образования и науки РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования «Сибирский государственный автомобильно-дорожный университет

(СибАДИ)»

Р.Б. Карасева

АНАЛИТИЧЕСКАЯ СибАДИГЕОМЕТР Я

Учебное пособие

Омск ♦ 2017

Введение

Аналитическая геометрия – раздел геометрии, в котором геометрические фигуры и их свойства исследуются средствами алгебры. В основе этого метода лежит так называемый метод координат, впервые применённый Декартом.

Идея координат и уравнения кривой была знакома ещё древним грекам. В Европе первым использовал координатное изображение Николай Орезмский (XIV век). К этому времени развитое понятие о координатах уже существовало в астрономии и географии.

Около 1637 года Ферма для упрощения вида уравнений начал использовать преобразование координат и показал, что новый подход

удобнее чисто геометрического. «Геометрия» Декарта, вышедшая в том же 1637 году, независимо и более полноИразвивала те же идеи.

Декарт подчеркнул, хотя и не доказал, что основные характеристики

кривой не зависят от выбора системыДкоординат.

Термины «абсцисса» и « ордината» изредка встречались у разных авторов, хотя в широкое употребление их ввёл только Лейбниц в конце XVII века, вместе с термином «координаты». Название «Ана-

литическая геометрия» утвердилось в самом конце XVIII века.

Ньютон не только опирался на координатный метод в своих ра-

мии «Исследования о кривых двоякой кривизны». Эта книга по существу положила начало трем геометрическим дисциплинам: аналитической геометрии в пространстве, дифференциальной геометрии и начертательной геометрии.

Во второй половине XVIII века аналитическая геометрия, получив мощную поддержку математического анализа, завоевала новые вершины (Эйлер, Лагранж, Монж).

Учебное пособие «Аналитическая геометрия» предназначено для обучающихся экономических, технических, строительных направлений бакалавриата и специалитета, может использоваться магистрами и аспирантами.

Учебное пособие состоит из двух разделов: «Аналитическая геометрия на плоскости» и «Аналитическая геометрия в пространст-

3

ве». Изучаемые темы: «Основные понятия», «Полярная система координат », «Прямая на плоскости. Уравнение прямой с угловым коэффициентом», «Общее уравнение прямой», «Векторное уравнение прямой», «Параметрическое уравнение прямой», «Кривые второго порядка. Эллипс», «Гипербола», «Парабола», «Плоскость», «Прямая в пространстве», «Поверхности второго порядка». В учебном пособии «Аналитическая геометрия» представлен необходимый теоретический материал, который сопровождается большим числом примеров решения задач по изучаемым темам. Пособие содержит также задачи для самостоятельного решения с ответами, четыре контрольные работы, в том числе и контрольная работа для обучающихся по заочной форме. Тестовые задания, вопросы и задания для самопроверки могут ис-

4

Раздел I. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

1. Основные понятия

Линия на плоскости (кривая на плоскости) часто определяется как множество точек, обладающих только им присущим геометрическим свойством. Например, окружность радиуса R есть множество всех точек плоскости, удаленных на расстояние R от некоторой фиксированной точки О (центра окружности).

Введение на плоскости системы координат позволяет определять положение точки плоскости заданием двух чисел – ее координат, а положение линии на плоскости определять с помощью уравнения

Линия на плоскости есть совокупность точек этой плоскости, обладающих определенными свойствами, при этом точки, не лежащие на данной линии, этими свойствами не обладают. Уравнение линии определяет аналитически выраженное соотношение между координатами точек, лежащих на этой линии. Пусть это соотношение задано уравнением

F(x,y)=0. (1)

Пара чисел, удовлетворяющая (1), – не произвольная: если x задано, то у не может быть каким угодно, значение у связано с х. При изменении х изменяется у, и точка с координатами (х, у) описывает данную линию. Если координаты точки М0 (х0, у0) удовлетворяют

5

уравнению (1), т.е. F (х0, у0)=0 – верное равенство, то точка М0 лежит на данной линии. Верно и обратное утверждение.

Уравнение, связывающее координаты x, y, называется уравнением линии L, если:

1) координаты (x, y) всякой точки М линии L удовлетворяют этому уравнению;

2) координаты (x,y) всякой точки, не лежащей на линии L, не удовлетворяют этому уравнению.

Уравнение линии позволяет изучение геометрических свойств

Решение. Составляем первую систему

x y 5;

x 2y 10.

Решение системы это точка с координатами 0;5 . Найдена точка пересечения прямых 1 и 2.

Ищем теперь точки пересечения прямых 1 и 3, для этого решаем систему из уравнений x у 5 и x y 10.

Система несовместна. Значит, прямые 1 и 3 не пересекаются. Точку пересечения прямых 2 и 3 найдите самостоятельно.

6

Расстояние между двумя точками

Расстояние d между точками A1 x1; y1 и A2 x2; y2 вычисляется по формуле

пособы задания линии на плоскости

Основные способы задания линий на плоскости:

1.y f x явный (y = 3x2 + 4x 7);

2.x, y 0 неявный x2 y2 4 ;

3.r r t векторный;

7