Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2491.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.01.2021

Размер:

12.85 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1313

Темы и задания для самопроверки

1.Общее уравнение прямой на плоскости.

2.Уравнение прямой в отрезках.

3.Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

4.Вычисление углового коэффициента прямой.

5.Условие параллельности прямых на плоскости.

6.Написать уравнение прямой, проходящей через точку B(4; 2), па-

раллельно прямой 4x 3y 15 0.

7. Условие перпендикулярности прямых на плоскости.

8. Написать уравнение прямой, проходящей через точку B(4; 2), перпендикулярно прямой 4x 3y 15 0.

9.Определение эллипса.

10.Основное геометрическое свойство эллипсаИ.

11.Определение гиперболы.

12.Основное геометрическое свойствоДгиперболы.

13.Определение параболы.

14.Основное геометрическое свойствоАпараболы.

15.Общее уравнение плоскости. Координаты нормали.

16.Уравнение плоскости,бпроходящей через точку А перпендикулярно данному вектору.

17.Уравнение плоскостии, проходящей через три данные точки.

18.Вычисление угла между плоскостями.

19.Условие параллельности плоскостей.

20.Условие перпендСкулярности плоскостей.

21.Общие уравнения прямой в пространстве.

22.Канонические уравнения прямой в пространстве.

23.Параметрические уравнения прямой в пространстве.

24.Уравнение прямой через две данные точки.

25.Определение угла между прямыми в пространстве.

26.Условие параллельности прямых в пространстве.

27.Условия перпендикулярности прямых в пространстве.

28.Определение угла между прямой и плоскостью.

29.Вычисление угла между прямой и плоскостью.

30.Условие перпендикулярности прямой и плоскости.

103

Требования к экзамену по разделу «Аналитическая геометрия»

Необходимо уметь [1,2,3,4,5,6,7]

1.Находить расстояние между точками.

2.Проводить прямую через две точки, через точку параллельно (перпендикулярно, под углом) к данной прямой.

3.Вычислять угол между прямыми. Находить точку пересечения прямых, расстояние от точки до прямой.

4.Приводить к каноническому виду, строить эллипс, гиперболу, параболу.

5.Проводить плоскость через три точки, через прямую и точку, через две параллельные прямые.

6.Находить расстояние от точки до плоскостиИ, находить проекцию точки на плоскость.

7.Находить прямую в пространствеД, по двум точкам, угол между прямыми в пространстве, приводить уравнение к каноническому виду.

8.Находить угол между прямойАи плоскостью, точку пересечения прямой и плоскости.

1.Декартова прямоугольнаяи система координат. Полярная система координатС.

2.Уравнение прямой с угловым коэффициентом, угол между прямыми, условие параллельности, перпендикулярности.

3.Общее уравнение прямой, уравнение прямой в отрезках, взаимное положение прямых на плоскости.

4.Кривые второго порядка: эллипс, гипербола, парабола.

5.Общее уравнение плоскости, его частные виды, уравнение плоскости в отрезках.

6.Угол между плоскостями, плоскость, проходящая через три точки, расстояние от точки до плоскости.

7.Уравнения прямой в пространстве: каноническое, параметрическое, как пересечение двух плоскостей.

8.Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве.

9.Поверхности второго порядка.Необходимо знать следующиеб темы [1,2,3,4,5,6,7]

104

Библиографический список

1.Шипачев, В.С. Высшая математика / В.С. Шипачев. М. : Высшая школа, 2012 . 479 с.

2.Карасева, Р.Б. Высшая математика дистанционно : учеб. по-

собие / Р.Б. Карасева. Омск : СибАДИ, 2008. Ч. 1. 148 с.

3.Карасева, Р.Б. Тесты по математике : учеб. пособие / Р.Б. Карасева, Е.Ю. Руппель [и др.]. Омск : СибАДИ, 2013. 109 с.

4.Беклемишев, Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной

алгебры : учебник для вузов /Д.В. Беклемишев. М. : Наука, 1984.

256с.

5.Карасева, Р.Б. Математика: линейная алгебра, векторная ал-

гебра, аналитическая геометрия, введение в математический анализ, дифференциальное исчисление функции однойИдействительной переменной [Электронный ресурс] : учебное пособие : [для первого семестра обучения технических и строительныхДнаправлений бакалавриа-6. Карасева, Р. Б. ЛинейнаяАалгебра [Электронный ресурс] :

учебно-методическоеипособие : [ акалавриату и специалитету всех форм обучения] / Р. Б. Карасева ; СибАДИ, кафедра "Высшая математика". Электрон. дан. Омск : СибАДИ, 2016. – Режим доступа: http://bek.sibadi.org/fulltext/esd216.pdf.С – Загл. с экрана (дата обращения к ресурсу: 18.01.2017).

7. Карасева, Р.Б. Векторная алгебра [Электронный ресурс] : учебно-методическое пособие : [бакалавриату и специалитету всех форм обучения] / Р. Б. Карасева ; СибАДИ, кафедра "Высшая математика". – Электрон. дан. – Омск : СибАДИ, 2016. – Режим доступа: http://bek.sibadi.org/fulltext/esd217.pdf. 80 с. – Загл. с экрана (дата об-

ращения к ресурсу: 18.01.2017).

105

Приложение 1

Аналитическая геометрия на плоскости

Точки пересечения линий
Чтобы выяснить, есть ли у двух линий f1 x, y 0 и	f2 x, y 0
общие точки, составляется система
f1 x, y 0;

f2 x, y 0.

													И
Расстояние между двумя точками
Расстояние между точками A1									x1; y1		и A2 x2; y2 вычисляется по
формуле									Д
формуле
														.
d				x x 2 y y 2										.
					2	А				2		1
					2		1			2		1
		б							середины отрезка
Координаты точки									середины отрезка
и					x2				y1 y2
		(		x1	x2		,		y1 y2			).
С					2				2
Координаты точки, делящей отрезок в отношении 0
	(		x1 + x2					,	y1 + y2				).
	(							,					).
				1+					1+

Способы задания линии на плоскости

1.y f x явный;

2.x, y 0 неявный;

3.r r t векторный;

4. x x t ;	параметрический.
y y t .

106

Приложение 2

Прямая на плоскости

Виды уравнения прямой на плоскости

1.y kx b – уравнение прямой с угловым коэффициентом (для прямых, не параллельных оси Oy);

2.Ax By C 0 общее уравнение прямой (где A,B,C – посто-

янные, причем A2 B2 0);

3.r r0 аt векторное уравнение;

x x0 lt; И

4.параметрическое уравнение прямой,

y y0 mt. ДА

уравнение прямой, проходящей через две

x1 x0

заданные точки;

уравнен е прямой «в отрезках».

Расстояние от точкиM

, y

до прямойAx By C 0

Ax0 By0 C

A2 B2

107

Продолжение прил. 2

Угол между прямыми

1 :	y k1 x b1;							2 :		y k2 x b2 .
								k2 k1

		tg	1	,	2	=					.
		tg		,		=	1+k k		2		.
							1+k k
							1
	Условие параллельности прямых
		1 \|\| 2 k1 k2 .
											И
Условие перпендикулярности прямых
								Д
		1 2 k1 k2 1.
				А
		б
	и
С

108

Приложение 3

Кривые второго порядка

Общее алгебраическое уравнение второго порядка на плоско-

сти

ax2 +bxy+cy2 + Ax+ By +C = 0.

Эллипс

Связь параметров эллипса a2 c2 b2 .

Каноническое уравнение эллипса с центром в начале координат

			x	2	2				И
			x			y	1.
				2		2	1.
			a	А
			a			b
	б
Уравнение эллипса с центромДв точке x0, y0
и				2				2
	x	x0				y	y0		1.
С		2					2		1.
	a						b

Уравнение окружности с центром в точке x0, y0

x x0 2 y y0 2 R2,

Параметрическое уравнение эллипса с центром в начале координат

x acost;

y bsint.

109

Продолжение прил. 3

Параметрическое уравнение окружности с центром в начале координат

x Rcost;

y Rsint.

Эксцентриситет эллипса

с		b	2
	;	1	, 0 эл 1.
a
		a

				И
Оптическое свойство эллипса
			Д
Лучи света, исходящие из одного фокуса эллипса, после зер-
		А
кального отражения от эллипса проходят через второй фокус.
	б
и
С

110

Приложение 4

Гипербола

Связь параметров гиперболы

c2 a2 b2 .

Каноническое уравнение гиперболы с центром в начале координат

(ветви направлены вправо и влево)

x2	y2	1.
a2	b2

x0, y0

Уравнение гиперболы с центром в точке

(ветви направлены вправо и влево)

x x

y y

x x 2

y y 2

(ветви направлены вверх и вниз)Д

Эксцентр ситет гиперболы

b 2

;

; гип

иa

Оптическое свойство гиперболы

Лучи света, исходящие из одного фокуса гиперболы, после зеркального отражения от гиперболы идут так, как если бы они вышли из второго фокуса.

111

Приложение 5

Парабола

Каноническое уравнение параболы с вершиной в начале координат

y2 2px

(при p 0, ветви параболы направлены вправо; при p 0, ветви направлены влево);

x2 2py

(при p 0, ветви параболы направлены вверх; при				p 0, ветви на-
правлены вниз).
Уравнение параболы с вершиной в точке x0, y0
y y	0	2 2p x x	.
	0		0И
Эксцентриситет параболы пар 1.
		Д
Оптическое свойство параболы
		А
Лучи света, сходящбе з фокуса параболы, после зеркального
отражения от параболы дут параллельно оси параболы.
и
С

112

Приложение 6

Аналитическая геометрия в пространстве

Плоскость

Уравнение плоскости, проходящей через точку M0 x0, y0,z0

перпендикулярно вектору n A,B,C

A x x0 B y y0 C z z0 0.

Общее уравнение плоскости

Ax By Cz D 0,

где A,B,C координаты нормали плоскости.

Уравнение плоскости, проходящей черезИтри заданные точки

M1 x1,y1,z1

, M2 x2, y2,z2 и M3 x3, y3,z3

z z1

yАy z

y3 y1

z3 z1

Уравнение плоскости в отрезках

=1.

Угол между двумя плоскостями

A1x + B1y +C1z + D1 = 0 и A2x + B2 y +C2z + D2 = 0

cos	n1 n2			A1 A2 B1 B2 С1С2					.
cos	n1 n2								.
	n1 n2		A2	B2	С2	A2	B2	С2
		1		1	1	2	2	2

113

Продолжение прил. 6

Условие параллельности плоскостей

	//				//				A1	=	B1	=	C1		.
				n		n	2
									A		B
1		2	1										C	2
								2			2

Условие перпендикулярности плоскостей

1 2 n1 n2 A1A2 + B1B2 +C1C2 = 0.

Расстояние от точки M x1, y2,z1 до плоскости

Ax By Cz D 0

d					И
d		Ax1 By1 Cz1 D .


				Д
			A2 B2 C2
			А
	б
и
С

114

Приложение 7

Прямая в пространстве

Каноническое уравнение прямой в пространстве, проходящей че-

рез точку M0 x0, y0,z0 параллельно вектору a ,m,n

x x0	y y0	z z0	.
	m
		n

Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки

M1 x1, y1,z1 , M2 x2, y2,z2

x x1

y y1

x2 x1

y2 y1

z2 z1

Уравнение прямой может как система уравнений двух непарал-

лельных плоскостей

A1x B1y C1z D1 0;

A2x B2 y

C2z D2 0.

Взаимное расположение прямых в пространстве

Даны канон ческ е уравнения прямых в пространстве:

x x

y y

z z

x x

y y

z z

l1 :

;

l2 :

Тогда

а) l //l

, т.е. l //l

;

б) l1 l2

1 2 +m1m2 +n1n2 = 0;

cos =

1 2 + m1 m2 + n1n2

в)

– угол между

2 + m2

+ n2

+ m2

+ n2

a1 a2

прямыми.

115

Приложение 8

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

а) Прямая

x x0

y y0

z z0

// плоскости

Ax By Cz D 0

,m,n

A,B,C ,

т.е. если

б) прямая плоскости при условии

, т.е.

;

m n

в) угол между прямой и плоскостью

sin

A Bm Cn

A B

116

Приложение 9

Поверхности второго порядка

Название

Вид

эллиптический

цилиндр

гиперболический

цилиндр

параболический

x2 = 2py

цилиндр

сфера

(x x0 )2

(y y0 )2

(z z0 )2

эллипсоид

однополостный

гиперболоид

двуполостный

гиперболоид

эллиптический

параболоид

2z,

где p 0,q 0

гиперболический

yД

параболоид

конус

Аx y z

второго

порядка

117

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1313

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.01.202112.09 Mб82487.pdf
#
07.01.202112.38 Mб62488.pdf
#
07.01.202112.4 Mб982489.pdf
#
07.01.2021371.26 Кб4249.pdf
#
07.01.202112.58 Mб92490.pdf
#
07.01.202112.85 Mб142491.pdf
#
07.01.202112.89 Mб122492.pdf
#
07.01.202112.89 Mб212493.pdf
#
07.01.202113.06 Mб192494.pdf
#
07.01.202113.16 Mб402495.pdf
#
07.01.202113.16 Mб192496.pdf