8. Кривые второго порядка. Эллипс

Уравнение ax2 bxy cy2 Ax By C 0 называется общим алгебраическим уравнением второго порядка на плоскости.

Теорема. Всякое алгебраическое уравнение второго порядка на плоскости определяет:

1) кривую второго порядка: эллипс, или гиперболу, или парабо-

лу;

2) исключительный случай:

а) пустое множество точек (например, x2 y2 1 0);

б) одну точку (например, x2 y2 0);

в) одну прямую, пару пересекающихся прямых, пару параллель-

для каждой из которых сумма расстояний до двух фиксированных точек, называемыхСфокусами, есть величина постоянная, равная 2а.

Пусть F1, F2 – два фокуса. F1F2 2c – расстояние между фоку-

сами. Если M – произвольная точка эллипса, то F1M F2M 2a

2c.

Введем систему координат так, чтобы фокусы F1, F2 находились на оси Ох симметрично относительно начала координат (рис.12).

Составим уравнение эллипса

x c 2 y2 x c 2 y2 2a.

Отсюда

x c 2 y2 2a x c 2 y2 .

25

Преобразуем. Возведем обе части в квадрат

x c 2 y2 4a2 4a x c 2 y2 x c 2 y2, a2 cx a x c 2 y2 .

Возведем еще раз в квадрат и перегруппируем

a4 c2x2 a2x2 a2c2 a2 y2,a2 c2 x2 a2 y2 a2 a2 c2 .

После преобразований приходим к уравнению

b

Рис. 12

26

Если центр эллипса находится в точке x0, y0 , то уравнение эллипса имеет вид

x x0 2 y y0 2 1.

a2 b2

Если полуоси эллипса совпадают a b R, то эллипс становится окружностью с уравнением

x x0 2 y y0 2 R2,

где x0, y0 центр окружности; R радиус.

Параметрическое уравнение эллипса с центром в начале координат

Чем больше эксцентриситет, тем сильнее сжат эллипс по верти-

кали.

Оптическое свойство эллипса. Касательная к эллипсу образу-

ет равные острые углы с фокальными радиусами. Другими словами, лучи света, исходящие из одного фокуса эллипса, после зеркального отражения от эллипса проходят через второй фокус.

27

9. Гипербола

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых разность расстояний до двух фиксированных точек – фокусов есть величина постоянная, равная 2a.

Рис. 13

28