2471

Разность соответствующих значений функции f (x) f (x0) назы-

вается приращением функции f (x) в точке x0 и обозначается y

(рис. 1.1, а, б):

Необходимо понимать, что − это не множитель, а символ, иx − не произведение на x. Символ − это прописная греческая буква «дельта», заменяющая слово «приращение».

Заметим, что приращения x и y могут быть как положительными, так и отрицательными числами (см. рис. 1.1 а, б). Так, напри-

Задачи, приводящие к понятию производной

Классическими задачами, приводящими к понятию производной, считаются задача о нахождении скорости прямолинейного движения материальной точки и задача о касательной к кривой.

1. Скорость прямолинейного движения.

Задачи о движении тел с постоянной скоростью приводят к простым арифметическим и алгебраическим расчетам, основанным на том, что путь равен произведению скорости на время, то есть по элементарной формуле S t, где S – путь, t – время, − скорость. Однако в природе мы, как правило, имеем дело с движением, скорость которого меняется с течением времени. Исследование таких движений приводит к важным физическим понятиям пути и скорости как функций времени. Здесь возникают основные понятия высшей математики – понятия производной и интеграла.

Итак, пусть материальная точка М (например, автомобиль) движется неравномерно по прямой линии (рис. 1.2).

Рис. 1.2. Движение материальной точки

Каждому значению времени t соответствует некоторое расстояние ОМ S от фиксированной точки О. В нашем примере точка М

113

движется вправо от точки О. Это расстояние зависит от истекшего времени t, поэтому мы имеем дело с функциональной зависимостью пути S от времени t. Закон движения материальной точки М выражается функцией S S t . Найдем скорость движения материальной точки. В общем случае неравномерного движения скорость не остается постоянной. С течением времени она меняется, а потому скоростьтак же, как и путь S , является функцией времени t, t ). Наша задача заключается в том, чтобы выразить эту неизвестную функцию t через известную функцию S t .

Если в некоторый момент времени t точка займет положение М, то в момент времени t t ( t− приращение времени, некоторый малый промежуток времени) точка займет положение М1 (см. рис. 1.2). При этом ОМ1 S S, то есть за время t точка М переместится на расстояние S S t t S t , ( S − приращение расстояния). При этом средняя скорость движения материальной точки М за время t

будет определяться отношением ср S .

t

Заметим, что средняя скорость зависит от значения t и с уменьшением t средняя скорость точнее выражает скорость движения точки в данный момент времени t. Предел средней скорости движения при стремлении к нулю (малому значению) промежутка време-

ни t называется скоростью движения материальной точки в данный момент времени, или мгновенной скоростью. Обозначив эту ско-

рость через , получим

Буквы lim (начальные буквы латинского слова «limes» – «предел») обозначают предел; под ним записано, о каком именно пределе идет речь – при t 0 ( заменяет слово «стремящимся»). Чтобы понять, что означает выражение «предел» («стремление к пределу»), обратим внимание на следующее. При вычислении скорости вся суть расчета заключалась в том, чтобы «брать» малые t и соответствующие им малые S . При этом получается каждый раз вполне опреде-

ленное отношение S . Когда t уменьшается (стремится к нулю), то

t

величина S уменьшается пропорционально t, а потому отношение

114

нуля. Величина этого предела и есть мгновенная скорость t в случае, когда S − путь, а t − время.

Задача 1.1. При движении материальной точки М по прямой на-

(рис. 1.3, а). Чему равна средняя скорость движения ср на интерва-

ле от момента t до t t? Чему равна мгновенная скорость мгн в момент времени t?

Рис. 1.3, а. График функции S

1

1 t2

Рассмотрим правую часть графика при t ≥ 0, так как согласно условию задачи 1.1 t время. При t = 0 значение S = 1. При t, стремящемся к 0, предел данной функции также равен 1, поскольку функция непрерывна в точке t = 0. При увеличении t значение пути

уменьшается согласно зависимости S и стремится к нулю. По

подобной зависимости движется по прямой клапан, например, механизма газораспределения, приводимый в действие кулачком вогнутой формы.

115

Решение. Согласно изложенному выше средняя скорость движения материальной точки может быть найдена как отношение S к

t, где t приращение времени (некоторый малый промежуток

времени), S приращение расстояния (расстояние, на которое переместится материальная точка за время t), а мгновенная скорость

График полученной функции мгновенной скорости (скорости в данной точке или в данный момент времени) представлен на рис. 1.3, б.

116

задачи 1.1 функция S выражает путь, пройденный материальной точкой, а переменная t − время. Следовательно, S и t − размерные величины. Если путь S выражен в м, а время t − в с, то для соблюдения требования размерности (единиц величины) надо записать функцию

пути S в виде S a , где коэффициент a имеет размерность м с2 , b t2

а b имеет размерность c2. В нашем примере a 1 м с2 , b = 1 c2. Если рассмотреть полученную нами в результате решения задачи

2t

функцию мгн 1 t2 2 , выражающую скорость движения матери-

альной точки в момент времени t (мгновенную скорость или скорость в данной точке), то здесь также соблюдается требование размерности.

множитель останется в числителе, а время t выражено в с). Знаменатель полученной дроби имеет размерность с4 [b = 1 c2, время t выра-

жено в с, следовательно, знаменатель имеет размерность с2 2 с4 ]. После соответствующего сокращения единиц измерения мы получим

рывной на интервале a;b (рис. 1.4) (например, речь может идти о движении материальной точки М, тогда значению y будет соответствовать путь S , x − время t). Фиксируем произвольную точку х интервала a;b и рассмотрим приращение x 0 аргумента x, настолько малое, что значение x x также принадлежит интервалуa;b . Пусть М и Р – точки графика функции y f (x), абсциссы ко-

торых соответственно равны x и x. Тогда координаты точек М и Р соответственно равны: М x; f x ,P x x; f x x .

Прямую, проходящую через две заданные точки М и Р графика функции y f (x), называют секущей (рис. 1.4). Секущая прямая

117

«режет», «рассекает» в нужном месте график функции y f (x). Пусть точка Р, двигаясь по кривой, приближается к точке М (при стремлении x к нулю, y также стремится к нулю в силу непрерывности функции y f (x)). Тогда секущая, поворачиваясь от точки Р, стремится к некоторому предельному положению Т (секущая МР примет одинаковое положение с касательной Т). Другими словами, когда две точки М и Р графика функции y f (x) сближаются, секущая МР приближается к касательной Т.

Определение. Касательной к кривой в данной точке М называется предельное положение секущей МР, проходящей через точку М, когда вторая ее точка пересечения Р неограниченно приближается по кривой к точке М.

Рис. 1.4. Касательная к кривой (геометрический смысл производной)

Проведем к графику непрерывной кривой y f (x) невертикальную касательную Т в точке М (см. рис. 1.4). Найдем ее угловой коэффициент k tg , численно равный тангенсу угла наклона касательной к оси Ох.

Рассмотрим угол между секущей МР и осью Ox. При анализе рис. 1.4 можно заметить, что угловой коэффициент секущей равен

118

Напомним, что в прямоугольном треугольнике тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета (например, приращения функции y) к прилежащему (приращению аргумента x).

При x 0 в силу непрерывности функции y f (x) приращение y также стремится к нулю ( y 0); поэтому точка Р неограниченно приближается по кривой к точке М, а секущая МР, поворачиваясь вокруг точки М, переходит в касательную. При этом угол, то есть lim , а следовательно, и lim tg tg .

Воспользовавшись вышеприведенными формулами, выразим угловой коэффициент касательной k:

Заметим, что пределы (1.3) и (1.5), полученные нами при решении задачи о скорости прямолинейного движения материальной точки и задачи о касательной к кривой, имеют одинаковый вид: везде

требуется найти предел отношения приращения функции к приращению аргумента. Этот предел называют производной.

Определение. Производной функции y f (x) в данной фикси-

рованной точке x x0 называется предел отношения приращения функции y к приращению аргумента x при стремлении приращения аргумента к нулю (при условии, что этот предел существует).

Таким образом, по определению:

Обозначение производной: yx, y , f x .

Название «производная» связано со следующим обстоятельством. Если f x есть функция аргумента x, то предел (1.6) зависит как от вида функции f x , так и от того значения аргумента x, при котором вычисляется этот предел, то есть этот предел также есть функция аргумента x новая функция, которая задается (порождается или производится) функцией f x . А потому эту новую функцию естественно называть производной функцией, где прилагательное «производная» подчеркивает ее зависимость от исходной, или основной функции f x .

119

Определение. Функция y f (x), имеющая производную в каждой точке интервала a;b , называется дифференцируемой в этом интервале. Операция по нахождению производной функции называ-

ется дифференцированием.

1.1.1.Физический и геометрический смысл производной

1.Равенство lim S , полученное нами при решении задачи

t 0 t

о скорости прямолинейного движения материальной точки

(см. п. 1.1), перепишем в виде

то есть скорость прямолинейного движения материальной точки в момент времени t есть производная пути S по времени t. Именно в этом заключается механический смысл производной.

В общем случае, если функция y f (x) описывает какой-либо физический процесс, то производная y есть скорость протекания этого процесса. В этом заключается физический смысл производной.

Именно со скоростью отождествлял производную английский ученый, разработчик интегрального и дифференциального исчисления Исаак Ньютон (1642 − 1727). При этом свойства производной воспринимались им как физические свойства скоростей. Ньютон называл производную флюксией, а исходную функцию, для которой вычисляется производная, флюентой (от латинского слова «fluere» − «течь»). Этим подчеркивалось, что рассматриваемые величины являются переменными. При этом флюксия возникла как скорость изменения флюенты, а флюента восстанавливалась по флюксии как путь по скорости.

2. В задаче о касательной к кривой (см. п. 1.1) был найден уг-

ловой коэффициент касательной k tg lim y . Опираясь на оп-

x 0 x

ределение производной, это равенство мы можем переписать в виде

120

то есть производная f x в точке x равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y f (x) в точке, абсцисса которой равна х. В этом заключается геометрический смысл производной.

Заметим, что в точке касания M x0; y0 угловой коэффициент ка-

сательной есть k f x0 . Тогда уравнение касательной в этой точке имеет вид

Определение. Прямая, перпендикулярная к касательной в точке касания, называется нормалью к кривой. Ее уравнение имеет вид

Предел, к которому стремится отношение приращения функции к приращению аргумента при стремлении к нулю приращения аргумента, имеет первостепенное значение и для самой математики, и для многих ее приложений. Так, выше, при рассмотрении задачи о скорости прямолинейного движения мы видели, например, что такое важнейшее понятие, как мгновенная скорость движения, находится с помощью подобного предела. К подобному же пределу сводится ряд других важных задач. Перечислим некоторые из них:

а) если Q Q(t) количество электричества (Кл), проходящего через поперечное сечение проводника за время t (с), то сила тока I

(1 А = 1 Кл/с) в момент времени t равна

б) если N N(t) − количество вещества (кг), вступившего в химическую реакцию за время t (с), то скорость химической реакции V

(кг/с) в момент времени t равна

в) если m m(x) масса неоднородного стержня, расположенно-

го между точками O 0;0 и М x;0 , то линейная плотность стержняв точке х равна

121

Поясним, что мы понимаем в данном случае под линейной плотностью. Рассмотрим тонкий стержень. Величина (кг/м) есть произведение объемной плотности материала d (кг/м3) и площади S сечения стержня (м2): d S . Так как стержень может иметь переменные по длине, то есть зависящие от x сечение и плотность материала, из которого сделан стержень, то является функцией координаты

x . Величину называют линейной плотностью, или плотностью на единицу длины [11]. Толщину стержня считаем бесконечно малой, а потому графически стержень представляет собой прямую линию – отрезок оси Ох.

Примечание. Вообще, плотность вещества (кг/м3) определя-

ется как отношение массы вещества m (кг) к занимаемому им объему

V (м3): m. В математических расчетах приходится сталкиваться с

V

такими понятиями, как линейная плотность (плотность на единицу длины) (кг/м), поверхностная плотность (плотность на единицу пло-

щади) (кг/м2), объемная плотность (плотность на единицу объема) (кг/м3).

Пример 1.1. Теплоемкостью (удельной теплоемкостью) того или иного вещества называется количество теплоты (Дж), которое необходимо для нагревания 1 кг рассматриваемого вещества (например, воды, стали) на 1 0С. Но при различных начальных температурах для нагревания 1 кг вещества на 1 0С или 1 К требуется разное количество теплоты. В связи с чем теплоемкость вещества с является функцией начальной температуры Т: с с Т . Так, например, для нагревания 1 кг стали, взятой при температуре 0 0С, на 1 0С требуется 440,857 Дж теплоты, а для нагревания на 1 0С того же количества стали, взятой при температуре 50 0С, нужно уже 470,583 Дж (сталь – сплав железа с углеродом, где содержание углерода до 2 %).

Определим теплоемкость тела, отвечающую данной фиксированной температуре Т.

Пусть Q – количество теплоты (Дж), которое надо передать 1 кг рассматриваемого вещества для нагревания его от исходной темпера-

122