2471

3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Дифференциальные уравнения представляют собой основной аппарат естествоиспытателя и инженера. Математический анализ явлений природы обычно начинается с попыток представить те или иные естественнонаучные законы в виде дифференциальных уравнений. Эти уравнения связывают переменные величины, с помощью которых описывается интересующее нас явление. Однако нужно понимать, что такое представление зачастую является не «абсолютным», а доставляет лишь приближенное описание реальной картины.

3.1. Понятие дифференциального уравнения

Определение. Дифференциальным уравнением называют уравнение, содержащее помимо независимых переменных x1,x2,...,xn и искомой функции от них y x1,x2,...,xn , производные искомой функции или ее дифференциалы.

Определение. Если функция, относительно которой составлено дифференциальное уравнение, зависит только от одной независимой переменной, то это уравнение называется обыкновенным диффе-

ренциальным уравнением.

Обыкновенное дифференциальное уравнение для искомой функции y y x одной независимой переменной может быть записано в виде

Определение. Если искомая функция зависит от нескольких независимых переменных, то это уравнение называется дифференци-

альным уравнением в частных производных.

Определение. Наивысший порядок производных, входящих в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.

Примеры

1) 5cosx3 y 8y tgx 0 − обыкновенное дифференциальное уравнение 1 – го порядка. В общем виде записывается F(x,y,y ) 0.

183

3) y2 z xln y z 0 − дифференциальное уравнение в частных

x y

производных первого порядка.

Определение. Решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция, которая при подстановке в исходное уравнение вместо неизвестной функции обращает уравнение в тождество. График любого решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой, а процесс отыскания решения дифференциального уравнения − интегрированием.

Дифференциальные уравнения используются для решения различных задач, возникающих в математике, физике, химии. Естественнонаучные законы и конкретные свойства тех или иных систем и механизмов весьма часто записываются в виде дифференциальных уравнений, так что во многих случаях существенная часть изучения интересующего нас явления состоит в анализе и решении соответствующего уравнения. При этом дифференциальное уравнение выступает в роли математической модели рассматриваемого процесса или явления. Рассмотрим несколько задач, приводящих к дифференциальным уравнениям.

Пример 3.1. Рассмотрим простейший случай равноускоренного движения материальной точки.

Известно, что перемещение материальной точки при равноускоренном движении является функцией времени и выражается по формуле

at2 S 0t 2 .

В свою очередь ускорение a является производной по времени t от скорости , которая также является производной по времени t от перемещения S:

цию S t с независимой переменной t и производной второго порядка функции S t .

184

Задача 3.1. Материальная точка массы m замедляет свое движение под действием силы сопротивления среды пропорционально квадрату скорости . Найти зависимость скорости от времени.

Решение. Пусть t − скорость движения материальной точки (функция от времени t); t − время, отсчитываемое от начала

движения; a d − ускорение движущегося тела. dt

По второму закону Ньютона сила, действующая на тело в процессе движения, равна F m a. По условию задачи F k 2, где k 0 − коэффициент пропорциональности (знак « − » указывает на то, что скорость тела уменьшается).

Следовательно, m a k 2, или m d k 2 . Таким обра- dt

зом, мы получили дифференциальное уравнение, решением которого является функция t . Чтобы ответить на вопрос задачи, решим полученное уравнение. Данное уравнение является дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными (ниже мы выпишем общий вид и метод решения уравнений такого типа). Следовательно:

m

Задача 3.2. Пусть в начальный момент тело массы m имеет температуру T0. Температура окружающей среды постоянна и равна Tc. При этом T0 Tc. Найти закон охлаждения тела.

Решение. При решении задачи используем закон Ньютона (для охлаждающегося тела): скорость изменения температуры тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды.

Если T − температура тела в любой момент времени t, dT −

185

Ньютона для охлаждающегося тела, где k=const коэффициент пропорциональности.

Данное уравнение также является дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными. Следовательно,

lnT Tc kt C T Tc e kt C T Tc e kt C ,

где е ≈ 2,71 − основание натурального логарифма.

В главе 9 «Расчет коленчатого вала двигателя на крутильные колебания» настоящего пособия также рассматривается задача, приводящая к дифференциальному уравнению.

Заметим, что теории дифференциальных уравнений посвящено много учебников и учебных пособий, а потому в настоящем пособии мы ограничимся лишь тем, что рассмотрим несколько основных (наиболее часто встречающихся) типов дифференциальных уравнений и приведем алгоритмы их решения. Подробнее о дифференциальных уравнениях и методах их решения смотрите [10, 11, 23].

3.2. Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальные уравнения первого порядка в общем случае можно записать в виде

дифференциальным уравнением первого порядка, разрешенным от-

носительно производной.

Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y x,C , содержащая одну произвольную постоянную и удовлетворяющая условиям:

1) функция y x,C является решением дифференциального уравнения при каждом фиксированном значении С;

2) каково бы ни было начальное условие y x0 y0 , можно найти такое значение постоянной C C0 , что функция y x,C0 удовлетворяет данному начальному условию.

Равенство типа Ф x, y,C 0, неявно задающее общее решение, называется общим интегралом дифференциального уравнения.

186

Определение. Частным решением дифференциального уравне-

ния первого порядка называется любая функция y x,C0 , полу-

лом дифференциального уравнения.

Итак, далее мы рассмотрим три основных типа дифференциальных уравнений первого порядка.

3.2.1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Определение. Дифференциальное уравнение вида

функции, зависящие только от y, называется уравнением с разде-

ляющимися переменными.

Уравнение (3.3) путем деления на произведение Q1 y P2 x 0

приводится к уравнению с разделенными переменными

функция, зависящая только от y.

Данная операция, приводящая уравнение с разделяющимися переменными (3.3) к уравнению с разделенными переменными (3.4), на-

зывается разделением переменных.

Проинтегрировав почленно уравнение (3.4), получим его общий интеграл

(x)dx (y)dy 0 (x)dx (y)dy C.

Заметим, что уравнению (3.3) могут удовлетворять решения, потерянные при делении на Q1 y P2 x , то есть получаемые из уравнения Q1 y P2 x 0. Если эти решения не входят в найденный общий интеграл, то они являются особыми решениями уравнения (3.3).

Уравнение вида

y f1(x) f2(y),

187

где f1 x − функция, зависящая только от x, а f2 y − функция, зависящая только от y, сводится к уравнению с разделенными перемен-

ными (3.4). Для этого достаточно представить y dy и разделить пе-

Заметим, что уравнения такого типа наиболее часто встречаются на практике. Сложности при решении таких уравнений могут возникнуть только на этапе нахождения интегралов. Вопросы интегрирования функции одной независимой переменной были нами затронуты в гл. 2 настоящего пособия.

В задачах 3.1 и 3.2 решены уравнения с разделяющимися переменными. Рассмотрим еще несколько примеров дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными и приведем их решения.

Пример 3.2. Решить уравнение y 2y 1 tg x.

Решение. Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные x и y и проинтегрируем полученные выражения

Задача 3.3. Тело движется со скоростью, пропорциональной пройденному пути. Какой путь пройдет тело за 5 секунд от начала движения, если известно, что за 1 секунду оно проходит путь 8 метров, а за 3 секунды – 40 метров?

Решение. Пусть t − скорость движения тела в момент времени t, S S t − путь, пройденным телом за время t. По условию

188

задачи: k S , где k − коэффициент пропорциональности. Из фи-

уравнение. Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными, следовательно,

Мы получили закон движения тела, соответствующий условию задачи.

Для того чтобы найти путь, который пройдет тело за 5 минут от начала движения, необходимо найти коэффициент пропорциональности k и константу С. Эти величины найдем, подставив в полученное решение начальные условия: S 1 8 8 ek C ; S 3 40 40 e3k C.

8 ek eC ,

Составим и решим систему:

40 e3k eC.

Из первого уравнения выразим eC 8 и подставим во второе ek

В процессе вычислений мы воспользовались свойствами натурального логарифма (см. прил. 2).

3.2.2. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида

называется однородным, а при q x 0 − неоднородным.

189

а) Рассмотрим однородное линейное уравнение y p x y 0.

Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными, поэтому для его решения достаточно «разделить» переменные и найти соответствующие интегралы:

dy p x y 0; dx

dy p(x)dx; y

ln y p(x)dx lnC;

ln y p(x)dx;

C

б) Для решения линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка y p x y q x воспользуемся методом Бернулли [Иоганн Бернулли (1667 − 1748) − швейцарский математик].

Суть метода заключается в том, что искомая функция представ-

произвольна (но не равна нулю).

При этом по правилу дифференцирования произведения двух функций [формула (1.18)] y u v u v .

Подставляя значения для y и y в исходное уравнение, получаем u v u v p(x)u v q(x);

u v u v p(x) v q(x).

Так как первоначальная функция была представлена нами в виде произведения, то каждый из сомножителей, входящих в это произведение, может быть произвольным, выбранным по нашему усмотрению. Таким образом, можно одну из составляющих произведения функций выбрать так, что выражение v p(x) v 0.

Таким образом, появляется возможность получить функцию v, проинтегрировав полученное соотношение как однородное дифференциальное уравнение по описанной выше схеме а:

190

Заметим, что зачастую на практике при нахождении v константу C «опускают» (например, в данном случае возьмем ее равной 1), тогда полученное решение будет иметь вид v e p(x)dx.

Для нахождения второй неизвестной функции u подставим полу-

где C2 C1 C.

Это соотношение может считаться решением неоднородного линейного дифференциального уравнения первого порядка в общем виде по методу Бернулли.

Пример 3.3. Решить уравнение x2 1 y 2xy 3.

Решение. Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Действительно, после небольших алгебраических преобразований оно соответствует общему виду линейного дифференциального уравнения y p x y q x .

191

Задача 3.4. (Задача о переменном синусоидальном токе). Пусть дана электрическая лампа, которая питается от источника переменного тока. Найти закон изменения тока в зависимости от времени, если напряжение U изменяется по синусоидальному закону.

Решение. Примем за начальный момент времени t0 , при котором U0 0. Тогда можно положить U U0 sin t , где − частота, например, переменного тока 50 Гц, или 50 колебаний в с.

Уравнение изменения силы тока в электрической цепи с сопро-

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка, решаемое методом Бернулли. Итак, решим это уравнение.

Воспользуемся подстановкой I u v, I u v u v . Следовательно, получим уравнение

192