2471

2.2. Определенный интеграл

Пусть функция y f (x) определена и непрерывна на отрезке [a;b], a<b. Произвольным образом разобьём отрезок [a;b] на n частей

длиной частичного отрезка. Внутри каждого частичного отрезка произвольным образом выберем точку сi, i 1, 2,...n, и найдем в ней зна-

I (при условии, что длина наибольшего из частичных отрезков xi стремится к нулю), не зависящий ни от способа разбиения отрезкаa;b на частичные отрезки, ни от выбора точек сi в них, то число I

amax xi 0i 1 n

где числа a и b называются соответственно нижним и верхним пре-

делами интегрирования; f (x) − подынтегральной функцией; f (x)dx − подынтегральным выражением; x – переменной интегрирования, отрезок a;b − областью (отрезком) интегрирования.

Отметим, что запись dx (вместо x) в записи определенного интеграла означает, что для получения точного значения интеграла необходимо перейти к пределу, когда все промежутки x стремятся к

163

нулю (подобно тому, как производная df получается из отношения dx

f , если устремить x к нулю и перейти к пределу).

x

руемой на этом отрезке.

Теорема 2.2. (Теорема существования определенного интеграла). Если функция y f (x) непрерывна на отрезке a;b , то определен-

b

ный интеграл f (x)dx существует.

a

2.2.1. Свойства определенного интеграла

a

1) f (x)dx 0.

a

bb

2)Af (x)dx A f (x)dx.

aa

b b b

3) (f1(x) f2(x))dx f1(x)dx f2(x)dx.

a a a

ba

4)f (x)dx f (x)dx.

ab

5)Для произвольных чисел a, b, c справедливо равенство

7) Теорема 2.3. (Теорема о среднем). Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a,b], то на этом отрезке существует точка с такая, что

b

f (x)dx f (с) (b a).

a

Это далеко не полный список свойств определенного интеграла. Весь список свойств с подробным доказательством представлен в учебниках и учебных пособиях по высшей математике [29,30]. В настоящем пособии мы приводим те основные свойства, знание которых позволит нам применять их в задачах технического содержания.

164

2.2.2.Вычисление определенного интеграла

2.2.2а. Ф о р м у л а Н ь ю т о н а – Л е й б н и ц а

Теорема 2.4. (Теорема Ньютона–Лейбница). Если функция y f (x) непрерывна на отрезке a;b и F(x) – какая-либо ее первообразная, то имеет место формула

При вычислении определенных интегралов часто приходится пользоваться формулой замены переменной и формулой интегрирования по частям. Для определенных интегралов эти формулы имеют следующий вид.

165

Пример 2.9

1 ln 1 1 ln2. 6 2 6

166

Таким образом, что касается приемов вычисления определенных интегралов, то они практически ничем не отличаются от всех тех приемов и методов, которые используются при нахождении неопределенных интегралов. Точно также применяются методы подстановки (замены переменной), метод интегрирования по частям, используются те же приемы нахождения первообразных для тригонометрических, рациональных и иррациональных функций. Особенностью является только то, что при применении этих приемов надо распространять преобразование не только на подынтегральную функцию, но и на пределы интегрирования. Помните: заменяя переменную интегри-

рования, не забудьте изменить соответственно пределы интегрирования.

2.3. Приложения определенного интеграла

Прежде чем начать разговор о приложениях определенного интеграла, обозначим общую схему его применения к решению задач.

Итак, пусть требуется найти значение некоторой геометрической или физической величины А (это может быть площадь фигуры, объем тела, давление жидкости на вертикальную пластину, путь, пройденный телом), связанной с отрезком изменения независимой переменной х. Предполагается, что эта величина А обладает свойством аддитивности (от лат. «additivus» — прибавляемый), то есть при разбиении отрезка a;b точкой с a;b на части a;c и c;b значение величины А, соответствующее всему отрезку a;b , равно сумме ее значений, соответствующих отрезкам a;c и c;b .

Для нахождения величины А опишем метод интегральных сумм. Именно на этом методе в дальнейшем основывается вывод ряда формул, используемых для нахождения многих геометрических и физических величин. Например, данный метод используется при решении задач, рассматриваемых в гл. 5 и гл. 10.

Метод интегральных сумм базируется на определении определенного интеграла, приведенного выше.

1. Произвольным образом точками x0 a,x1,x2,x3,...,xn 1,xn b отрезок a;b разбиваем на n частей – n частичных отрезков xi 1;xi , i 1,2,...n. Длину каждого частичного отрезка обозначим

xi xi xi 1.

167

2.Внутри каждого частичного отрезка xi 1;xi , i 1,2,...n, произвольным образом выбираем точку сi .

3.Находим значение определяемой из условия задачи функции f (x) в точке сi , то есть значение f (сi). Умножаем это значение на

длину xi соответствующего частичного отрезка xi 1;xi (i 1,2,...n). В результате получаем n произведений вида Ai f ci xi .

5. Заметим, что при нахождении величины Ai допустимы некоторые упрощения. Например, дугу на малом участке можно заменить хордой, стягивающей ее концы; переменную скорость на малом участке пути можно приближенно считать постоянной, так же как и силу, действующую на движущуюся материальную точку. В связи с чем величина An дает приближенное значение величины А:

i1

6.Точное значение величины А равно пределу интегральной суммы An при условии, что длина наибольшего частичного отрезка

xi 1;xi стремится к нулю при неограниченном увеличении числа частичных отрезков (при n ).

Заметим, что указанный метод интегральных сумм основан на представлении интеграла как суммы бесконечно большого числа бесконечно малых слагаемых.

Итак, проследим, каким же образом данная схема может быть применена для выяснения геометрического и физического смысла определенного интеграла.

2.3.1.Физические приложения определенного интеграла

1.Вычисление массы стержня.

Пусть (x) − линейная плотность неоднородного стержня [см. примечание к формуле (1.13)], расположенного на отрезке a;b оси

168

Ox. Рассмотрим произвольное разбиение отрезка a;b на частичные

отрезки xi 1, xi , длины xi xi xi 1, i 1, 2,...n. Внутри каждого частичного отрезка выберем произвольную точку i и составим сум-

му по всем частичным отрезкам:

Так как эта сумма, являющаяся интегральной суммой для функции (x) на отрезке a;b , дает приближенное значение массы стержня, то точное значение этой массы будет равно пределу суммы

n

m ( i) xi при стремлении к нулю наибольшей длины частичных

i 1

отрезков, то есть будет равно интегралу:

2. Вычисление работы по перемещению материальной точки

из положения а в положение b оси Ox под действием силы F(x), действующей параллельно оси Ox (считаем, что направление перемещения совпадает с направлением действия силы). В случае постоянства силы работа силы равна произведению силы на перемещение. Однако на практике чаще приходится иметь дело с переменной силой. В этом случае, используя метод интегральных сумм, разбиваем весь путь на

сматриваемом малом интервале xi сила не меняется. В результате

n

мы приходим к «интегральной сумме» F( i ) xi , в которой для по-

i 1

лучения выражения для проделанной работы А необходимо перейти к пределу, считая все отрезки xi неограниченно убывающими. Этот

b

предел равен интегралу F(x)dx, который дает точное значение рабо-

a

ты А:

3. Путь, пройденный телом. Пусть материальная точка перемещается по прямой с переменной скоростью t . Найдем путь S,

169

пройденный ею за промежуток времени от t1 до t2. Из физического смысла производной известно, что при движении точки в одном направлении «скорость прямолинейного движения равна производной

от пути по времени», то есть (t) dS . Отсюда следует, что dt

Заметим, что к данной формуле можно прийти и с использованием метода интегральных сумм, разбивая путь S (отрезок a;b , где a t1,b t2 ) на частичные отрезки и суммируя расстояния, пройден-

ные на участках пути Si ti ti , где ti ti ti 1 − время прохождения i-го участка пути ti 1,ti , i 1,2,...n. Весь путь будет равен

4. Статические моменты и координаты центра тяжести пло-

ской фигуры. Пусть дана плоская фигура (материальная пластинка) (рис. 2.1), ограниченная кривой y f x ( f (x) 0 на отрезке a;b ) и прямыми х=а, x=b, y=0. Полагая, что поверхностная плотность пластинки постоянна const (кг/м2), получим, что масса всей пластинки (кг) равна m= S, где S − площадь пластинки (м2); − плотность пластинки, отнесенная к единице площади (поверхностная плотность). Толщина пластинки настолько мала, что ей можно пренебречь. Таким образом,

a

Статическим моментом Sx (Sy ) системы материальных точек относительно оси Ox (Oy) называется сумма произведений масс этих

170

Это далеко не весь список задач, для решения которых применяется определенный интеграл. С помощью определенного интеграла можно находить: работу газов в цилиндре двигателя, давление жидкости на вертикальную пластину, работу растяжения пружины, массу вытекающей из сосуда жидкости, массу деталей сложной конфигурации.

Задача 2.1. Скорость тела меняется согласно выражению

Задача 2.2. Для растяжения пружины на 1 м необходимо совершить работу 5 Дж (Н·м). На какую длину нужно растянуть пружину, чтобы совершить работу в 15 Дж.

Решение. Согласно закону Гука упругая сила, растягивающая пружину, пропорциональна этому растяжению х, т.е. F(x) k x, где k – коэффициент пропорциональности (жесткость пружины, Н/м). Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно знать значение этого коэф-

171

фициента. Для его нахождения воспользуемся формулой (2.14):

Таким образом, F(x) 10x. Чтобы найти длину, на которую можно растянуть пружину, совершив работу в 15 Дж, мы также воспользуемся упомянутой выше формулой, в которой нам теперь неизвестен параметр b. То есть

Следовательно, пружину нужно растянуть примерно на 1,73 м. Проиллюстрируем ситуацию, описанную в задаче графически (рис. 2.2, 2.3). На рис. 2.2 показаны пружины растяжения и сжатия в

состоянии покоя.

а) б)

Рис. 2.2. Пружины в состоянии покоя: а) растяжения; б) сжатия

В случае если пружина предварительно не растянута (см. рис. 2.2), то при ее деформации сила F , растягивающая пружину, определяется по формуле F k x. На плоскости (см. рис. 2.3) этому выражению соответствует уравнение прямой y k x (в нашем примере k = 10, соответствующая прямая y 10x изображена на рис. 2.3). Так, например, по графику (см. рис. 2.3) видно, что при растяжении пружины с жесткостью в

10 Н/м (k = 10) на 1 м (x = 1) сила пружины составит 10 Н (F = 10). Свойство растяжения пружины может быть использовано при изготовлении эспандера для развития мышц рук.

172