2471

туры (не важно какой) до температуры Т. Очевидно, что Q зависит от Т: Q Q T . Тогда для нагревания 1 кг вещества от температуры T1 до температуры T2 понадобится Q T1,T2 Q T2 Q T1 − теплоты; для нагревания тела от температуры T до T T 0С ( T очень малое приращение температуры) понадобится

Мгновенная теплоемкость cмгн (прилагательное «мгновенная» в данном случае относится не к определенному моменту времени, а к фиксированной температуре T тела) определяется как значение сср, отвечающее очень маленькому приращению Т температуры, причем полученное таким путем значение теплоемкости cмгн будет тем точнее, чем меньшее Т мы берем. Заметим, что в подавляющем большинстве случаев уже значение Т 1 0С (1 К) будет достаточно мало для точного определения величины с с Т . Здесь выражение «достаточно мало» означает, что полученное таким путем значение теплоемкости с практически не будет отличаться от значения, к которому мы придем, выбрав меньший интервал Т изменения температуры.

Таким образом,

Проиллюстрируем сказанное выше на примере нагревания 1 кг стали от 0 до Т 0С. Количество теплоты Q Q T , необходимое для нагревания 1 кг стали от 0 до Т 0С, дается следующей эмпирически наблюдаемой зависимостью [11]:

Q T 440,857T 0,29725T2.

Тогда в соответствии с вышесказанным

123

Аналогичный результат мы получим более коротким путем, про-

дифференцировав выражение Q T 440,857T 0,29725T2 по переменной Т, воспользовавшись таблицей производных (табл. П.1.1):

Q T 440,857T 0,29725T2 440,857 0,5945T .

Таким образом, с(0) 440,857 Дж/(кг∙град), а например,

с(100) 440,857 0,5945 100 500,307 Дж/(кг∙град). Обычно массо-

вую удельную теплоемкость с выражают в Дж/(кг∙К) (К − градус по шкале Кельвина).

Рассмотрим также вариант графического решения задач на нахождение производной функции на примере задачи 1.2 и примера 1.2 (нахождение скорости по графику функции перемещения).

Задача 1.2. Пусть материальная точка движется по закону

S t2 , где S=S(t) – функция зависимости пути от времени; t время. Найти графически изменение скорости движения материальной точки за промежуток времени от нуля до двух секунд.

Замечание. Как и в задаче 1.1, для соблюдения требований раз-

мерности считаем S k t2, где коэффициент k имеет размерность м / с2. В нашем случае считаем k 1 м/с2.

Решение. Построим график зависимости пути от времени. Пусть вертикальная ось соответствует перемещению S, а горизонтальная – времени t (рис. 1.5). По условию задачи t 0;2 . График представляет собой ветвь параболы на участке изменения t от 0 до 2.

124

тый столбцы табл. 1.1), в координатах V – t обозначаем точки (ti; cp i) (рис. 1.6, а). Плавно соединив эти точки, строим график изменения средней скорости движения материальной точки c течением времени

(см. рис. 1.6, а).

Рис. 1.6. Скорость движения материальной точки

Получить график изменения скорости движения материальной точки за данный промежуток времени можно предварительно отыскав производную пути по времени. Согласно формуле (1.7) St , следо-

вательно, в нашем примере =S t t2 2t. То есть график изменения скорости движения материальной точки в координатах − t

126

представляет собой прямую линию (рис. 1.6, б). Сравнительный анализ рис. 1.6, а и 1.6, б показывает, что эти графики практически совпадают. Точный график скорости движения материальной точки изображен на рис. 1.6, б. С уменьшением ti график рис. 1.6, а будет в большей степени соответствовать графику, изображенному на

Пример 1.2. Графическое решение задачи нахождения скорости поршня по его перемещению.

Рассмотрим движение поршня в кривошипно-шатунном механизме (КШМ) двигателя внутреннего сгорания. КШМ служит для преобразования возвратно-поступательного движения поршня во вращательное движение коленчатого вала (кривошипа).

При вращении кривошипа 1 (рис. 1.7) длиной АБ и радиусом R точка Б описывает окружность. Разобьем половину окружности на 18 точек через 100. Кривошип перемещает шатун 2, который в точке С соединен при помощи пальца с поршнем 3. Поршень под действием давления газов совершает движение по оси цилиндра 4.

Рис. 1.7. Определение пройденного пути поршнем в зависимости от положения кривошипа (угла φ)

Выполним чертеж КШМ в определенном масштабе (например, 1:1). В нашем примере радиус кривошипа R=37 мм, а длина шатуна L=125 мм. Конструктивный параметр КШМ λ = R/L для автомобиль-

127

ных двигателей лежит в пределах 0,25 0,35. Частота вращения кривошипа 5600 мин-1 (двигатель типа ВАЗ).

За исходное примем положение, когда ось кривошипа 1 и шатуна 2 совмещены с осью цилиндра 4. Для анализа движения поршня важны три его функции путь, скорость, ускорение, зависящие от времени или угла поворота φ кривошипа.

Рассмотрим перемещение поршня 3 от точки С по оси цилиндра 4 при повороте кривошипа 1 на 10, 20 , 300 и т. д. до 1800. От 180 до 3600 движение поршня симметрично, и на данном участке измерения не производим. При повороте кривошипа, например, на 300 шатун следует за кривошипом и перемещает поршень (смотрите отметки на оси цилиндра). Приращение хода поршня (изменение функции) обозначим через S. Результаты измерений заносим в табл. 1.2, по данным которой строим график зависимости перемещения поршня S от угла поворота кривошипа φ (рис. 1.8).

Таблица 1.2

Изменение перемещения и скорости поршня в зависимости от угла поворота кривошипа

128

Заметим, что обратное утверждение неверно, так как непрерывная в данной точке функция может и не иметь в ней производной. Например, речь идет о функции y x . На рис. 1.11 представлен ее график.

Данная функция непрерывна в точке x0 0, однако производной в этой точке функция не имеет. Покажем почему. Для этого по определению производной посчитаем предел:

y x не имеет в этой точке производной.

Найдем по определению производные некоторых элементарных

lim 2x x 2x.

x 0

Пример 1.4. Найти производную функции y x3.

Решение. Функция y x3 непрерывна в каждой точке действи-

тельной оси Ох. Найдем предел lim y.

x 0 x

132