2471

1)d u u dx u dx u dx dx du d ;

2)d u u dx u u dx u dx u dx du ud ;

3)d Cu Cu dx C u dx Cdu;

1.3.3. Дифференциал сложной функции

Пусть y f (u) и u (x) − две дифференцируемые функции. Найдем дифференциал сложной функции y f ( (x)), воспользовавшись правилом дифференцирования сложной функции:

то есть дифференциал сложной функции равен произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента.

Если сравнить формулы dy fx dx и dy fu du, то можно заметить, что форма записи дифференциала dy не зависит от того, будет ли x независимой переменной или функцией какойто другой переменной, в связи с чем это свойство дифференциала называют инва-

риантностью (неизменностью) формы первого дифференциала.

Однако между записями dy fx dx и dy fu du существует принципиальное различие: в первой формуле x − независимая переменная, следовательно, dx x, во второй формуле u есть функция от x, поэтому du u.

С помощью определения дифференциала и основных его свойств таблицу производных можно преобразовать в таблицу дифференциалов (табл. П.1.2).

Пример 1.20. Найти дифференциалы следующих функций:

153

1.3.4. Дифференциалы высших порядков

Пусть y f x − дифференцируемая функция, а x − независимая переменная. Тогда ее первый дифференциал dy f x dx есть также функция от x. Найдем дифференциал этой функции.

Определение. Дифференциал от дифференциала функции y f x называется ее вторым дифференциалом (дифференциалом

второго порядка) и обозначается d2 y или d2 f x .

154

Из формулы (1.35) следует, что обозначение для производной

d2 y

второго порядка f x можно трактовать как отношение диф- dx2

ференциала второго порядка d2 y функции y f x к квадрату dx 2 дифференциала первого порядка аргумента х.

Аналогично тому, как был определен дифференциал второго порядка, находятся дифференциалы третьего, четвертого, пятого и более порядков.

может быть найден дифференциал n-го порядка. Однако необходимо помнить, что приведенные формулы справедливы только в том случае, когда x − независимая переменная. Если же для функции y f x величина x является функцией от какой-то другой независимой переменной, то дифференциалы второго и третьего порядков не обладают свойством инвариантности формы и вычисляются по другим формулам. Например, в этом случае

d2 y f x dx2 f x d2x.

Контрольные вопросы

1.Сформулируйте определение дифференциала.

2.В чем заключается геометрический смысл дифференциала?

3.Сформулируйте механический смысл дифференциала первого порядка.

4.Чему равен дифференциал суммы, разности, произведения и частного двух дифференцируемых функций?

5.В чем заключается свойство инвариантности формы первого диффе-

ренциала?

6.Каким образом дифференциал может быть применен к приближенным вычислениям?

7.Каким образом считаются дифференциалы высших порядков?

155

2. ОСНОВЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Интегральное исчисление возникло из задач определения площадей, объемов и центров тяжести, требующих вычисления определенных интегралов − пределов одного и того же типа. Понятие интеграла распространяется на функции, заданные в какой-либо области плоскости (двойные интегралы) или пространства (тройной интеграл).

Рассмотрим две различные на первый взгляд задачи:

1)нахождение суммы большого числа малых слагаемых вида

(t) t или (t)dt;

2)нахождение функции S(t), производная (t) которой нам из-

вестна dS (t). dt

Многие задачи физики, химии, математики возникают как задачи типа 1), то есть задачи суммирования большого числа малых величин. Действительно, сама их формулировка уже подсказывает простой путь вычисления интересующей нас величины – с помощью прямого суммирования тех (малых) слагаемых, о которых идет речь в задаче. Однако этот прямой метод решения задач 1) не позволяет выразить ответ в виде формулы, и высшая математика возникла тогда, когда была установлена связь между задачами 1) и 2), что открыло путь к общим приемам (алгоритмам) решения задачи 1).

Итак, что же такое интеграл и как он связан с приведенными выше задачами? Чтобы ответить на этот вопрос, вспомним, что в п.1.1 задача об определении мгновенной скорости движения (t) по за-

данной зависимости S S(t) положения S тела от времени t привела

нас к понятию производной dS (t) [формула (1.7)]. dt

Обратная задача заключается в определении положения S S(t)

тела (то есть пути, пройденного телом за данный отрезок времени t ), если мгновенная скорость (t) задана как функция времени. Эта за-

дача приводит ко второму важнейшему понятию высшей математики

– понятию интеграла.

156

2.1. Неопределенный интеграл

Итак, задача дифференциального исчисления – по данной функ-

ции f (x) найти ее производную (или дифференциал). Задача интегрального исчисления – найти функцию F(x), зная ее производную F (x) f (x) (или дифференциал). Искомую функцию F(x) называют первообразной функции f (x).

По данной функции f (x) ищется такая первообразная функция F(x), для которой f (x) есть производная. Интегрирование есть дей-

ствие, обратное дифференцированию.

Определение. Функция F(x) называется первообразной функ-

f (x) задается формулой F(x) С, где С – константа.

Другими словами, каждая функция имеет бесконечное множество первообразных, отличающихся друг от друга на некоторую постоян-

тем, что производная константы равна нулю).

Определение. Множество всех первообразных функций F(x) С

для функции f (x) называется неопределенным интегралом от

157

функции f (x) и обозначается f (x)dx, а операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием.

Таким образом, по определению

где f (x) − подынтегральная функция; f (x)dx − подынтегральное выражение; x − переменная интегрирования; − знак неопределенного интеграла.

Неопределенный интеграл иногда называют первообразной функцией, воспринимая этот термин как обратный к понятию «производная»: речь идет о той функции, от которой берется (уже известная нам) производная. Заметим, что слово «интеграл» образовано от лат. «integer» − «целый», а знак («интеграл») происходит от латинской

буквы S, первой буквы слова «сумма»: он получился растягиванием буквы S в вертикальном направлении. Каким образом интеграл связан с понятием «суммы», мы рассмотрим ниже.

Приведем (без доказательства) основные свойства неопределенного интеграла.

1.f (x)dx (F(x) C) f (x);

2.d f (x)dx f (x)dx;

3.dF(x) F(x) C;

4.C f (x)dx C f (x)dx;

Нахождение значения неопределенного интеграла связано главным образом с нахождением первообразной функции. Для удобства значения неопределенных интегралов большинства элементарных функций собраны в специальные таблицы интегралов, которые бывают иногда весьма объемными. В них включены различные наиболее часто встречающиеся комбинации функций. Но большинство представленных в этих таблицах формул являются следствиями друг друга, поэтому в прил. 1 настоящего пособия приведем таблицу основных интегралов (табл. П.1.3), с помощью которой можно получить значения неопределенных интегралов различных функций.

158

Существуют три основных метода интегрирования:

1. Метод непосредственного интегрирования – метод, при кото-

ром данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (подынтегрального выражения) и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам.

Пример 2.1

1

50x2 C 2 x6 x 20 x3 x 50x C. 13 7

При нахождении данного неопределенного интеграла мы воспользовались свойствами 4), 5) неопределенного интеграла и табл. П.1.3.

2. Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной) –

метод, заключающийся во введении новой переменной интегрирования. При этом исходный интеграл сводится к табличному значению. Если требуется найти интеграл f (x)dx, но сложно отыскать первообразную, то с помощью замены x (t) и dx (t)dt получается

Метод замены переменной может быть применим в следующих случаях:

159

а) под знаком интеграла содержится сложная функция f ( (x)),

б) под знаком интеграла содержится полный дифференциал одной из входящих функций. Тогда заменяем на переменную t ту функцию, полный дифференциал которой содержится под знаком интеграла. Например, при вычислении интегралов вида

3 dt 5ln x x2 2 3t 5ln x x2 2 C 3x2 2

5ln x x2 2 C.

3.Метод интегрирования по частям – метод, заключающийся в том, что подынтегральное выражение заданного интеграла представляется каким-либо образом в виде произведения двух сомножителей u и dv, а затем, после нахождения v и du, используется формула интегрирования по частям:

160

d(u v) udv vdu. По приведенному выше свойству 3) неопреде-

ленного интеграла: u v udv vdu или udv u v vdu.

В табл. 2.1 представлены основные типы интегралов, берущихся по частям. При этом в табл. 2.1 указано, в каком случае выражение под знаком интеграла принимается за u и за v.

Таблица 2.1

Основные типы интегралов, берущихся методом интегрирования по частям

161

Пример 2.5