2471

lnv Rt;

L

б) Чтобы найти u, решим уравнение u v U0 sin t , подста-

L

Rt

вив вместо v найденную в предыдущем пункте функцию v e L :

3.3. Дифференциальные уравнения высших порядков (линейные дифференциальные уравнения высших порядков

спостоянными коэффициентами)

Внастоящем пункте мы также рассмотрим не все типы дифференциальных уравнений высших порядков. Остановимся только на

193

линейных дифференциальных уравнениях высших порядков с постоян-

ными коэффициентами, поскольку они наиболее часто встречаются на практике, в частности, в гл. 9 настоящего пособия.

Определение. Дифференциальным уравнением порядка n на-

зывается уравнение вида

Так же, как и уравнение первого порядка, уравнения высших порядков имеют бесконечное количество решений.

Определение. Решением дифференциального уравнения n-го порядка, как и уравнения первого порядка, называется дифференцируемая функция y y x , которая при ее подстановке в исходное уравнение обращает его в верное равенство.

Общее решение уравнения n-го порядка зависит от переменной x и n произвольных констант C1,C2,...,Cn, то есть имеет вид

Определение. Линейным дифференциальным уравнением n – го порядка с постоянными коэффициентами называется любое уравнение вида

где a1,a2,...an 2,an 1,an − некоторые действительные числа; функция f x задана и непрерывна в некотором интервале a;b . В случае, если f x 0, уравнение называется линейным однородным (или уравнением без правой части), если f x 0 − линейным неоднородным (или уравнением с правой частью).

3.3.1.Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами (ЛОДУ), то есть уравнение вида

194

Для нахождения его частных решений составляем характери-

стическое уравнение

которое получается из исходного уравнения путем замены в нем производных искомой функции y на соответствующие степени k :

y n kn; y n 1 kn 1;...; y k2; y k; y 1. (3.16)

Полученное характеристическое уравнение является обычным алгебраическим уравнением n -й степени относительно k , а потому имеет n корней, действительных или комплексных, среди которых могут быть и равные.

Общее решение ЛОДУ имеет вид y C1y1 C2 y2 ...Cn yn (где C1,C2,...,Cn − произвольные постоянные) и строится в зависимости от характера корней характеристического уравнения по следующему правилу:

1) каждому действительному простому корню k в общем решении соответствует слагаемое вида

ности, квадратное уравнение, дискриминант которого <0, имеет комплексные корни. Для их нахождения достаточно умножить отрицательный дискриминант на i2 , а далее искать корни по обычным формулам вычисления корней квадратного уравнения. Два комплексных числа вида z a b i и z a b i называются комплексно сопряженными [11, 30]);

195

4) каждой паре комплексных сопряженных корней k1 2 i

кратности m в общем решении соответствует слагаемое вида

e x C1 C2x ... Cmxm 1 cos x A1 A2x ... Amxm 1 sin x .(3.20)

Запишем схему решения линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, являющегося частным случаем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами n - го порядка (табл. 3.1).

Таблица 3.1

Нахождение общего решения ЛОДУ второго порядка

Решение. Все представленные уравнения являются ЛОДУ с постоянными коэффициентами, причем уравнения под буквами а, б, в − второго порядка, а значит их решение мы будем искать с помощью

данное характеристическое уравнение имеет 2 различных действи-

196

Общее решение ЛНДУ ун может быть найдено по формуле yн у0 у , где уо − общее решение ЛОДУ, соответствующего дан-

ному ЛНДУ ( f x 0); y − частное решение данного ЛНДУ. Общее решение ЛОДУ уо можно найти согласно приведенному

выше алгоритму, тогда как для нахождения y используют так называемый метод подбора (метод неопределенных коэффициентов). Однако этот метод применим не всегда. В табл. 3.2 приведены наиболее распространенные частные случаи вида правой части [функции f x ]

ЛНДУ и соответствующие им частные решения y .

198

Выпишем общий вид многочленов Qn x (n 0,1, 2,3,…; A,B,C,D − константы). Эти выражения будут нам необходимы при отыскании частного решения с помощью табл. 3.2:

Q0 x A

Q1 x Ax B

Q2 x Ax2 Bx C

Q3 x Ax3 Bx2 Cx D

Пример 3.5. Найти общее решение уравнения y 9y 20y 126e 2x.

Решение. Данное уравнение является ЛНДУ второго порядка. Решение ищем в виде yн у0 у , где уо − общее решение ЛОДУ y 9y 20y 0; y − частное решение данного ЛНДУ.

а) Найдем уо . Для этого рассмотрим ЛОДУ y 9y 20y 0, составим характеристическое уравнение, найдем его корни и выпишем по табл. 3.1 его решение. Характеристическое уравнение k2 9k 20 0 имеет 2 различных действительных корня, поскольку

соответствует второй строке таблицы, при этом 2 − не является корнем характеристического уравнения ЛОДУ, соответствующего

ЛНДУ, следовательно, y ищем в виде y e 2x A, где A Q0 x − многочлен нулевой степени от x, поскольку Pn 126 n 0. Под-

ставим выбранное с помощью табл. 3.2 частное решение y e 2x A

199

42A e 2x 126e 2x, 42A 126 A 3.

Следовательно, y 3e 2x y y0 y C1 e4x C2 e5x 3e 2x .

Обращаем ваше внимание на то, что в гл. 9 настоящего пособия будет рассмотрено решение уравнения вынужденных колебаний вала с одной массой, являющегося линейным неоднородным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами второго порядка.

Далее приведем пример задачи прикладной механики, которую исследуем и решим с помощью линейных дифференциальных уравнений.

Пример 3.6. Дифференциальное уравнение механических колебаний на примере колебаний пружины амортизатора.

Амортизатор (от фр. «смягчать») применяют для гашения колебаний при движении автомобиля (рис. 3.1). Он состоит из вспомогательной пружины 1 жесткостью К равной, например, 50 Н/мм. Амортизатор дополнительно имеет гаситель колебаний (демпфер), который состоит из цилиндра 5, заполненного маслом 4, и штока 2 с поршнем 3. При помощи втулки 6 амортизатор крепится к ходовой части автомобиля. В поршне имеются отверстия, и при движении штока вместе с поршнем в цилиндре масло перемещается в верхнюю или нижнюю полость, что приводит к гашению колебаний. В качестве амортизационной жидкости применяют, например, АЖ-12Т на основе трансформаторного масла. Ее кинематическая вязкость составляет 12 мм2/c при 50 0С, а динамическая − 14·10-3 Н·с/м2, плотность − 900 кг/м3.

На автомобилях амортизатор устанавливают в центр главной пружины, которая воспринимает колебания, возникающие при движении по неровной дороге.

Рис. 3.1. Общий вид амортизатора

200

Рассмотрим работу амортизатора автомобиля, применяя дифференциальные уравнения. Пусть груз массой М (часть массы автомобиля) находится на упругой пружине жесткостью К=300 Н/мм (см. рис. 3.2). На рис. 3.2, а пружина находится в свободном состоянии. На рис. 3.2, б пружина сжата под действием груза массой М и находится в положении равновесия. Отклонение груза от положения равновесия (см. рис. 3.2, в) обозначим через перемещение у. При М = 300 кг сила тяжести груза составит примерно 3000 Н. При жесткости пружины К = 300 Н/мм величина у = 10 мм. Движение вниз примем за положительное, вверх за отрицательное. В положении равновесия сила веса уравновешивается силой упругости пружины

[29].

Силу, стремящуюся вернуть груз в положение равновесия, назовем восстанавливающей (сила пропорциональна отклонению). Восстанавливающая сила (Н) равна К у. Пружины, у которых восстанавливающая сила пропорциональна отклонению, называются пружинами с «линейной характеристикой».

Рис. 3.2. Положение пружины:

а− в свободном состоянии; б − при сжатии грузом;

в− в состоянии колебания

Предположим, что движению груза массой М препятствует сила сопротивления, возникающая в амортизаторе. Она направлена в сторону, противоположную направлению движения, и пропорциональна

201

скорости движении груза относительно нижней точки пружины. Сила (Н), возникающая в штоке амортизатора, равна

где λ = const > 0 постоянная амортизатора; скорость движения штока.

Величина λ представляет собой массовый секундный расход масла (кг/с) через отверстия в поршне. Масло выжимается через отверстия в поршне из одной полости цилиндра в другую. Шток и поршень с отверстиями в данном случае движутся со скоростью .

Запишем дифференциальное уравнение движения груза, расположенного на пружине. На основании второго закона Ньютона

(F=m a, сила F (Н) равна произведению массы тела на его ускорение)

получим

где К и λ положительные постоянные числа.

Выражение (3.23) является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Уравнение (3.23) можно переписать в виде

где р = λ / М; q = К /М постоянные коэффициенты.

Найдем в общем виде решение этого уравнения. Для чего составим характеристическое уравнение, соответствующее уравнению (3.24) (см. п. 3.3.1). Оно будет иметь вид

k2 p k q 0.

Найдем корни полученного квадратного уравнения. Дискриминант D p2 4q. Подставим в дискриминант значения р = λ/М и

три случая (см. табл. 3.1).

202