2039

где ε – диэлектрическая проницаемость (ε = 1 для воздуха); ε0 – электрическая постоянная.

Потенциал поля данной системы зарядов остаётся без изменения, поскольку ни модули, ни знаки слагаемых в сумме скалярных величин (φ1 и φ2) не меняются: φ = φ1 + φ2 = const = 0.

В случае б результирующий потенциал одноимённых зарядов при сближении зарядов также остаётся постоянным:

когда заряды находятся в верхнем положении, а угол между векторами E1 и E2 уменьшается до нуля (рис. 11).

Пример 2. Две одинаковые пластины в виде круга площадью

100 см² каждая расположены параллельно друг другу. Заряд одной пластины равен 100 нКл, другой – минус 200 нКл. Определить силу кулоновского взаимодействия этих пластин, если расстояние между ними составляет: I) 2,0 мм; II) 2,0 м.

60

поле бесконечной плоскости E = σ/(2ε ε0), где ε – диэлектрическая проницаемость; ε0 – электрическая постоянная.

Кулоновскую силу, действующую на пластину с зарядом q2 в однородном поле пластины с поверхностной плотностью заряда σ1=q1/S , где q1 – заряд; S – площадь поверхности, найдём из

D << r, и силу взаимодействия зарядов вычислять по закону Кулона

Пример 3. Разность потенциалов пластин, находящихся на

расстоянии d = 3,0 мм друг от друга, U = 10 В. Пространство между пластинами заполнено двухслойным диэлектриком. К одной пластине прилегает парафин (толщина d1 = 1,0 мм), к другой – фарфор (d2 = 2,0 мм). Найти напряжённости поля в парафине Е1 и в фарфоре Е2.

разность потенциалов начальной и конечной точек. Разность потенциалов пластин складывается из падений потенциала электрического поля в парафине и в фарфоре:

напряжённость выразить через электрическое смещение8 – величину, не зависящую от диэлектрической проницаемости среды, D=ε ε0 E :

8Электрическое смещение (электрическая индукция) – векторная физическая величина, характеризующая электрическое поле, создаваемое данной системой зарядов, и не зависящая

от электрических свойств среды, D = ε ε0 E.

61

Проверим решение, подставляя значения E1 и E2 в формулу (1). Получим значение разности потенциалов, совпадающее с известным в

условии задачи: U =(6 103 10−3 +2 103 2 10−3) В =10 В .

Пример 4. Два металлических шарика радиусами 5,0 и 2,5 см

находятся в воздухе на расстоянии 20 см друг от друга (рис. 12, а). Первый из них заряжен до потенциала 2,70 кВ и отключён от источника, другой не заряжен. Шары соединяют тонким проводником и убирают его. Определить: а) заряды и потенциалы шаров после соединения; б) энергию электрического поля данной системы зарядов до и после соединения.

СА = 4π· 8,85·10 –12 Ф/м·0,03 м; CA = 3,34 пФ. СB =1,67·10-12 Ф =1,67 пФ.

Когда шары соединяются проводником (рис. 12, б), происходит перемещение зарядов, обусловленное различием потенциалов шаров.

После того, как движение зарядов прекратится, все соединённые проводники будут обладать одинаковым потенциалом, φAII= φВII=φ.

62

W II =(5,425 10−6 + 2,716 10−6)Дж = 8.14 10−6 Дж .

Энергия системы уменьшилась вследствие потерь энергии на нагревание и на излучение, так как при соединении шаров проводником имеет место кратковременный импульс электрического тока.

Пример 5. Две металлические пластины (рис. 13) разделены

диэлектриком (ε = 3,6) переменной толщины (d1 = 2 мм; d2 = 4 мм). Размер по горизонтали a = 10 мм. Площадь каждой пластины S = 20 см2. Оценить электроёмкость данной системы.

стороны); d – расстояние между обкладками.

63

В данном случае, так как пластины представляют собой плоскости, величина d изменяется от d1 к d2 по линейному закону, и в формуле электроёмкости можно использовать среднее значение d как полусумму начального и конечного значений: d =(d1 + d2)/2.

Пример 6. Найти разность потенциалов на концах участка электрической цепи (рис. 14). ЭДС источников: 1 = 6,0 В;2 = 12,0 В; сопротивления элементов цепи: r1 = 1,0 Ом; r2 = 2,0 Ом; R = 12 Ом; сила тока I = 5,0 А.

Величину IRּ , равную произведению силы тока на сопротивление, для краткости называют напряжением на участке (падением напряжения) U1-2 = IRּ 1-2 . Напряжение только в том случае равно разности потенциалов на концах участка участка, когда на участке нет источников тока: φ1 – φ2 = IRּ 1-2, если 1-2 = 0.

содержащие силу тока: Ir1, Ir2 и IRּ – положительны, т. е. складываются со знаком “+”. Знак ЭДС зависит от порядка следования полюсов источника при переходе вдоль направления тока. Если встречается сначала “+” затем “–” источника, его ЭДС < 0, тогда как при переходе вдоль тока от “–” к “+” , когда сторонние силы действуют в том же направлении, что и кулоновские, ЭДС источника положительна > 0. В данном случае (см. рис. 14) имеем 2 > 0, но 1 < 0.

Знаки алгебраических величин учитываются одновременно с подстановкой числовых значений в составленное уравнение (1).

Искомая разность потенциалов на концах участка φ1 – φ2 = 5ּ·1+5ּ·2+5ּ·12 – (–6+12) = 75–(6) = 75–6 = 69; φ1 – φ2 = 69 В.

64

Пример 7. Два аккумулятора с ЭДС 1 = 6 В и 2 = 12 В

соединены одноимёнными полюсами (рис. 15). Внутренние сопротивления источников: r1 = 1 Ом и r2 = 2 Ом. Найти разность потенциалов φА – φВ точек А и В данной цепи.

Решение. Разность потенциалов на концах участка цепи найдём на основании обобщённого закона Ома: I = [(φA− φB) + А-В]/RА-В ;

А 2В (нижнего на рис. 15), обходя участок вдоль направления тока: φА – φВ = Ir2 – 2 . φА – φВ = (2·2 – 12) В = –8 В.

Проверка решения: φВ – φА = Ir1 – 1 = [2·1 – (–6)] В = 8 В.

Пример 8. На диаграмме (рис. 16) показано изменение силы

тока со временем в вольфрамовой нити. Длина нити l = 2,5 м; сечение S = 0,20 мм2. Определить: а) количество теплоты, выделенное за две секунды; б) электрический заряд, прошедший через поперечное сечение нити за то же время. Удельное сопротивление9 вольфрама ρ = 0,25 мкОм∙м.

9 В данном примере используется среднее удельное сопротивление ρ=0,25 мкОм м с учётом его температурной зависимости, так как с изменением силы тока меняется температура проводника. (Табличное значение при температуре 20 °С для вольфрама ρ = 55 нОм·м.)

65

1.Способ дифференцирования и интегрирования.

Сила тока – это скорость протекания заряда, или производная

2. Графический способ. Исходя из геометрического смысла интеграла, найдём площадь, ограниченную сверху графиком i(t), а снизу – осью 0t (площадь треугольника, см. рис. 16).

I2 = 0; q = 2 2 Кл = 4 Кл .

00,5 1,0 t, c Рис. 17

66

t2

δ Q = i2 R dt ; Q =∫i2 (t) R d t .

t1

Величину Q также можно оценить, исходя из геометрического смысла интеграла, умножив значение R на площадь под кривой i2(t).

Электромагнетизм

Пример 9. Электрон, прошедший в электрическом поле между

точками с разностью потенциалов 71 В, влетает в однородное магнитное поле под углом 45° к силовым линиям и движется по винтовой линии радиуса R = 10 см. Найти скорость электрона, индукцию В магнитного поля, период Т обращения данной частицы, шаг h винтовой линии.

67

υ||. Результирующая траектория представляет собой винтовую линию. На заряженную частицу, движущуюся в магнитном поле, действует сила Лоренца F Л =q υ B sin α, перпендикулярная плоскости, в которой лежат векторы υ и B. Эта сила сообщает частице нормальное ускорение, заставляя её двигаться по окружности. По

T = 2 2 3,14 10 10−2

5,0 106 √2

Расстояние h = υ||·T, проходимое частицей за время одного оборота Т со скоростью υ||, есть шаг винтовой линии.

I1 = 10 А расположен перпендикулярно плоскости кругового витка с током I2 = 3 А, касаясь его в одной точке, как показано на рис. 19. Радиус витка R = 3 см. Найти магнитную индук-

поля В1 ; I1 – сила тока в проводнике; μ – магнитная

проницаемость среды; μ0 – магнитная постоянная. Так как в данном случае расстояние от проводника до точки, где определяется индукция

витка. Индукция в центре кругового тока B2 = μμ0 2IR2 , где I2 – сила тока в витке. Вектор В1 направлен к наблюдателю; вектор В2 –

68