2039

Задание 17. Кинематические характеристики колебательного процесса

1. Уравнение движения точки имеет вид х=4sin(π t /6), где х – смещение точки, см; t – время, с. Найти момент времени t* (t* ≠ 0), когда модуль ускорения достигает максимума.

2. Записать уравнение x(t) гармонических колебаний частицы при следующих условиях: в начальный момент (t0 = 0) смещение максимально x0 = хm = 5 cм; начальная фаза φ0 равна нулю; период колебаний Т = 2,0 с. Найти фазы колебаний φ1, φ2, … φn, при которых скорость частицы (по модулю) достигает максимума.

3. Движение материальной точки происходит согласно закону x = 0,20·сos(πt + π/2), где х – координата точки, м; t – время, с. Найти период колебаний и амплитуду ускорения.

4.Груз на пружине совершает колебания с частотой 0,50 Гц. Амплитуда колебаний 3,0 см. Определить скорость груза в момент времени, когда смещение равно 1,5 см.

5.Смещение тела от положения равновесия подчиняется закону

синуса с начальной фазой φ0 = 0, амплитудой 10 см и угловой частотой 10π с ¹. Построить график зависимости смещения от времени x(t) в интервале от t = 0 до t = T, где Т – период колебаний. Определить моменты времени, когда скорость тела равна нулю.

6.Частица колеблется по гармоническому закону. За какую часть периода колебаний частица проходит: а) первую половину пути от среднего положения до крайнего; б) вторую половину этого пути?

7.Уравнение движения тела имеет вид х = 2,0·sin(10πt/4 + π/4), где х – смещение точки, см; t – время, с. Определить: а) частоту колебаний ν; б) начальную скорость.

8. Материальная точка совершает колебания согласно уравнению х = 5·sin10πt, где х – смещение, см; t – время, с. Найти: а) ближайший к началу отсчёта момент времени t* (t* ≠ 0), когда смещение точки максимально по модулю; б) фазу колебаний φ* в этот момент.

9. Скорость частицы изменяется по закону косинуса и в начальный момент равна 50 см/с. Период колебаний 10 мс. Начальная фаза равна нулю. Определить период колебаний и амплитуду ускорения.

10. Материальная точка совершает колебания согласно уравнению х = 50·соs2πt, где х – смещение, мм; t – время, с. Найти смещение точки х* и фазу колебаний φ* в момент времени t* (t* ≠ 0), когда модуль скорости точки достигает максимума.

100

Задание 18. Сложение гармонических колебаний

1. Точка участвует одновременно в двух колебаниях: x = 2,0sinπt и y = –1,0cosπt, где х и у – смещения, см; t – время, с. Изобразить траекторию движения и записать уравнение у(х).

2.На вход Y осциллографа подано напряжение uy = 10sin(103πt), а на вход X – uy = 12cos(103πt), где uy и uy – напряжения, В; t – время, с. Зарисовать траекторию у(х) луча, наблюдаемую на экране, учитывая, что смещение луча пропорционально напряжению.

3.Найти уравнение результирующего колебания x(t) при сложении двух синфазных гармонических колебаний в направлении оси Х с

амплитудами А1= 2 см; А2 = 4 см, с одинаковым периодом T = 2 с. Изобразить график x(t) в координатах «смещение – время».

4.Колебания точки происходят в двух взаимно перпендикулярных направлениях с угловой частотой 3,14 с ¹. Амплитуды колебаний:

xm = 3 см и ym = 4 см. Разность фаз равна нулю. Записать уравнения колебаний x(t) и x(t); зарисовать траекторию в плоскости Х0Y.

5.Точка участвует одновременно в двух колебаниях с одинаковым периодом и одинаковыми начальными фазами. Амплитуды колебаний равны 3 и 4 см. Найти амплитуду результирующего колебания, если: а) колебания совершаются в одном направлении; б) колебания взаимно перпендикулярны.

6. Движение тела задано двумя уравнениями: x = 10·sin2t и y = 5,0·sin(2t +π/2), где х и у – смещения, см; t – время, с. Найти уравнение траектории у(х) и скорость тела в момент t = 1,0 с.

7.Точка участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях: x = 3,0sinπt и y = 4,0cosπt, где х и у – смещения, см; t – время, с. Определить: а) два момента времени, начиная с начала отсчёта, когда скорость точки максимальна; б) скорость точки в момент t* = 0,50 с.

8.Материальная точка участвует в двух колебаниях, происходящих по взаимно перпендикулярным направлениям: x = 2cos2t и y = 4sin2t, где х и у – смещения точки, см; t – время, с. Найти уравнение траектории, построить её с соблюдением масштаба и указать направление вектора скорости в начальный момент времени.

9.Складываются два гармонических колебания одного направления с одинаковыми периодами 1,5 с и амплитудами 2,0 см. Начальные фазы колебаний ½π и ⅓π. Определить угловую частоту, амплитуду и начальную фазу результирующего колебания. Записать его уравнение и построить векторную диаграмму амплитуд.

101

10. Используя графический метод сложения векторов амплитуд, найти амплитуду и начальную фазу результирующего колебания, получающегося при сложении двух гармонических колебаний одного направления: x1 = 3,0cos2πt и x2 = 3,0cos(2πt + π/8), где x1 и x2 –

смещения, см; t – время, с.

Задание 19. Гармонические осцилляторы: колебательный контур, груз на пружине, математический и физический маятники

1.Груз закреплённый на пружине, совершает колебания с периодом 2,0 с. Масса груза 10 кг, полная энергия колебательной системы

10Дж. Определить амплитудное значение силы упругости.

2.На конце стержня массой mст = m и длиной 1,0 м прикреплён груз массой mгр = 2m. Чему равна собственная частота колебаний данной системы относительно оси, проходящей перпендикулярно стержню через его середину?

3.Колебания в контуре происходят по закону u = 50·cos104πt, где u – разность потенциалов на обкладках конденсатора, В; t – время, с. Какова индуктивность L контура, если его электроёмкость равна 0,10 мкФ? По какому закону q(t) изменяется заряд конденсатора?

4.Индуктивность колебательного контура равна 0,20 Гн, электроёмкость – 10 мкФ. Когда напряжение на конденсаторе достигает 1,0 В, сила тока в контуре равна 10 мА. Найти амплитудное значение силы тока в контуре.

5.Определить угловую частоту вертикальных колебаний груза массой m = 8,0 кг, закреплённого на двух пружинах между горизонтальными опорами. Жёсткость пружины с одной стороны груза k1 = 1,5 кН/м, с другой – k2 = 1,0 кН/м.

6.Колебания груза массой m = 2 кг на пружине жёсткостью k

совершаются по закону х = 0,05cos10πt, где х – смещение, м; t – время, с. Найти величину k.

7. На конце стержня длиной ℓ = 1,0 м и массой m = 2,0 кг укреплён груз mгр = 1,0 кг. Определить период колебаний данного маятника в поле тяготения Земли относительно оси, проходящей горизонтально через свободный конец стержня.

8. Радиоприемник настроен в резонанс с передающей радиостанцией на частоте 106 МГц при электроёмкости приёмного колебательного контура С0. Определить диапазон принимаемых длин волн при

изменении ёмкости контура от С1 = 9С0 до С2 = С0/9.

102

жёсткостями: k1 = 1 кН/м и k2 = 9 кН/м.

10. Сито совершает колебания в горизонтальной плоскости с амплитудой А = 10 см. При какой минимальной частоте ν колебаний частицы, рассыпанные на решётке сита, начнут проскальзывать? Коэффициент трения равен μ = 0,20.

Задание 20. Свободные колебания

1. Груз массой m = 160 г на пружине совершает свободные колебания. Жёсткость пружины k = 250 Н/м, логарифмический декремент данной системы Λ = 4,00·10 3. Определить время и число полных колебаний, по истечении которых амплитуда уменьшится в два раза.

2. За промежуток времени Т = 10 мс, равный периоду колебаний, энергия колебательной системы уменьшилась в 4 раза. Найти логарифмический декремент данной системы и коэффициент затухания.

3.Индуктивность колебательного контура L = 5 мГн, активное сопротивление R = 8 Ом. Сила тока в контуре за 50 полных колебаний уменьшается в 3 раза. Рассчитать электроёмкость и добротность данного контура.

4.Колебательный контур состоит из конденсатора электроёмкостью C = 0,405 мкФ и катушки индуктивностью L = 10,0 мГн с активным сопротивлением R = 2,00 Ом. Во сколько раз уменьшается амплитуда свободных колебаний за время одного периода?

5.Добротность колебательной системы Q = 62,8; собственная

частота ν0 = 8,0 кГц. Какая часть первоначальной энергии системы сохранится после 100 колебаний?

лением R = 1,0 Ом. Конденсатору сообщён заряд Q0 =1,0 мКл. Определить период колебаний в контуре и логарифмический декремент. Записать закон изменения напряжения u(t) на обкладках конденсатора.

7. Колебательный контур обладает электроёмкостью 7,0 мкФ, индуктивностью 0,23 Гн и активным сопротивлением 40 Ом. Найти логарифмический декремент и собственную частоту контура.

103

8.Каково время релаксации11 τ колебательной системы, если за промежуток времени t = 16 с амплитуда уменьшается в пять раз?

9.Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью

25мГн и конденсатора электроёмкостью 10 мкФ. Амплитуда силы тока в контуре понижается в е раз (е = 2,718...) за 23 полных колебания. Определить сопротивление контура.

10.При наблюдении свободных колебаний с периодом Т = 0,50 с выяснилось, что после второго колебания амплитуда на 10,0 % меньше, чем после первого. Определить коэффициент затухания β и логарифмический декремент Λ.

Задание 21. Вынужденные колебания

1.Вынужденные колебания груза на пружине происходят в вязкой среде с коэффициентом затухания β = 0,8 с-1. Масса груза m = 0,2 кг; жёсткость пружины k = 0,1 кН/м. При какой частоте колебаний вынуждающей силы амплитуда колебаний груза максимальна?

2.Собственная частота колебательной системы ν = 10,0 кГц. Резонанс наблюдается на частоте, которая меньше собственной на 0,2 кГц. Оценить логарифмический декремент данной системы.

подключена к источнику переменного тока, действующее напряжение которого U = 220 В, то сила тока равна 6,0 А. Если эту же катушку подключить к источнику постоянного тока того же напряжения, то сила тока возрастёт до 11 А. Определить частоту ν переменного тока.

5. Колебательный контур обладает активным сопротивлением 2,0 Ом, индуктивностью 60 нГн и электроёмкостью 0,040 мкФ. В нём поддерживаются колебания с амплитудой напряжения на конденсаторе U0 = 1,5 В. Какую среднюю мощность потребляет контур?

6. Груз массой 1,0 кг, подвешенный на пружине жёсткостью 8,1 кН/м, совершает вынужденные колебания в жидкости под действием силы, изменяющейся по гармоническому закону. Амплитуда

11Время релаксации – время, за которое амплитуда свободных колебаний уменьшается

ве раз (е = 2,718).

104

вынуждающей силы F0 = 10 Н. Коэффициент сопротивления 2,0 кг/с. Найти резонансную угловую частоту Ωр и амплитуду Ар колебаний при резонансе.

7.Наибольшая амплитуда вынужденных гармонических колебаний

груза на пружине достигается на частоте νр = 4 Гц. Масса груза m = 1,0 кг. Колебания происходят в вязкой среде с коэффициентом затухания β = 0,80 с-1. Определить жёсткость пружины.

8.Полное сопротивление цепи, содержащей последовательно соединённые конденсатор, катушку индуктивностью L = 20 мГн и резистор сопротивлением R = 5 Ом, на частоте переменного тока 1,0 кГц составляет Z = 170 Ом. Найти электроёмкость конденсатора.

9.К концам цепи, содержащей последовательно соединённые конденсатор электроёмкостью С = 3,2 мкФ, катушку индуктивностью L = 3,2 мГн и резистор R = 2 Ом, подключено переменное напряжение U = 310sin100πt, где U – напряжение, В; t – время, с. Найти полное сопротивление Z данной цепи и амплитуду силы тока Im. ,

10. Электрическая цепь состоит из катушки индуктивностью L = 0,45 Гн, конденсатора переменной ёмкости С, резистора сопротивлением R = 120 Ом и источника, ЭДС которого изменяется по закону= 311·sin100πt, где – ЭДС, В; t – время, с. Активным сопротивлением катушки можно пренебречь. При какой электроёмкости С* амплитуда силы тока в цепи максимальна? Какое значение тока покажет амперметр, включённый в данную цепь, при С = С*?

Задание 22. Волны в упругой среде: бегущая волна; стоячая волна; звук

1. Уравнение волны имеет вид ξ=0,04 cos103 π(t−х /300), где ξ – смещение точки среды, см; t – время, с; x – координата точки, в которой определяется смещение, м. Определить амплитуду, частоту, угловую частоту и длину волны.

2. Интенсивность звука на расстоянии 10 м от источника равна 50 мВт/м2. Звук распространяется в воздухе при нормальных условиях. Найти: а) мощность источника звука, считая его точечным; б) объёмную плотность энергии волны на данном расстоянии.

3. Уровень шума от одного вибростенда 50 дБ. На сколько децибел повысится уровень шума, если одновременно в одном месте будут работать десять таких устройств?

105

4.Во сколько раз различаются фазовые скорости и длины волн при той же частоте звука в гелии (Не) и кислороде (О2)?

5.В трубе, открытой с одной стороны, распространяется звук частотой 100 Гц. Температура воздуха t = 20 ○С. Можно ли добиться резонанса, изменяя длину ℓ трубы от 0,5 до 1,0 м?

6.Летучая мышь испускает ультразвуковые сигналы с частотой 2 ≤ ν ≤ 120 кГц. В каких пределах находится длина волны излучения при температуре воздуха 17 оС?

7.Из уравнения стоячей волны ξ=0,004cos(25π x) cos(2 π 103 t ),

где ξ – смещение частиц среды, м; х – координата, м; t – время, с, найти частоту колебаний ν и длину волны λ.

8.Определить разность фаз колебаний в точках волны (λ = 1 м), расположенных на расстоянии х = 0,5 м вдоль её распространения.

9.Звук распространяется в стали со скоростью 5000 м/с. Расстояние между ближайшими точками бегущей волны, колебания которых отличаются по фазе на π рад, равно 5 м. Какова частота колебаний?

10.Мощность точечного источника звука равна 5 мВт. Будет ли слышен на расстоянии 10 м от данного источника?

Задание 23. Свойства электромагнитных волн. Поляризация

1. Вектор напряжённости Е электромагнитной волны изменяется по гармоническому закону с периодом Т = 3,0 мкс. Найти длину волны в вакууме и в воде (n = 1,3).

2. Уравнение плоской электромагнитной волны имеет вид E=100cos108 π(t− 2 х108 ), где Е – напряжённость электрической

составляющей электромагнитного поля, В/м: t – время, с; x – координата, м. Определить длину волны, фазовую скорость и диэлектрическую проницаемость среды, в которой распространяется волна. Магнитную проницаемость среды принять равной единице.

3.Плоская радиоволна падает на границу раздела “воздух – стекло”. Угол падения α = 54°, угол преломления γ = 30°. Определить скорость данной электромагнитной волны в стекле.

4.Чему равен угол Брюстера для стекла (n = 1,56), погружённого в воду? Как изменится угол Брюстера, если стекло поместить в сероуглерод (n = 1,63)?

106

5.Амплитуда напряжённости магнитной составляющей электро-

магнитной волны в вакууме составляет В0 = 10 мА/м. Определить среднюю энергию, переносимую волной за 1 с через поверхность S = 1 м2, перпендикулярную направлению распространения волны.

6.Свет, проходя через две призмы Николя, теряет 10 % интенсивности на каждой из них из-за отражения и поглощения. Чему равен угол между плоскостями поляризации призм, если интенсивность естественного света, прошедшего через них, уменьшилась в 3,3 раза?

7.Длина электромагнитной волны в вакууме равна 3,0 см. Найти длину волны в воде (n = 1,3) и частоту колебаний вектора напряжённости электрического поля.

8.Определить показатель преломления непрозрачной эмали, для которой угол полной поляризации при отражении равен 58о.

10. Если установить на пути луча естественного света идеальные (без потерь) поляризатор и анализатор, то интенсивность луча ослабляется в два раза. На какой угол следует повернуть анализатор вокруг оси, совпадающей с лучом, чтобы уменьшить интенсивность ещё в два раза?

Задание 24. Интерференция

1. Расстояние между двумя щелями в опыте Юнга d = 0,5 мм. Ширина центрального интерференционного максимума x = 1,2 мм при длине волны падающего света λ = 0,6 мкм. Определить расстояние L от щелей до экрана.

2.В опыте по наблюдению интерференции на приборе «Кольца Ньютона» диаметр пятого синего (λ = 434 нм) кольца в отражённом свете оказался равным 2,9 мм. Какова оптическая сила плосковыпуклой стеклянной (n = 1,50) линзы, взятой для опыта?

3.Плёнка с показателем преломления n = 1,33 находится в воздухе. Найти минимальную толщину d* плёнки, при которой свет с длиной волны λ = 640 нм испытывает максимальное отражение от плёнки, Угол падения света α = 30°.

107

4. Две узкие щели расположены так близко друг к другу, что расстояние d между ними трудно измерить непосредственно. При наблюдении интерференции света от этих щелей оказалось, что две соседние светлые линии интерференционной картины на экране, удалённом от щелей на L = 4 м, отстоят друг от друга на ℓ = 2 см. Длина световой волны λ = 0,5 мкм. Найти расстояние между щелями.

5.Плосковыпуклая стеклянная линза лежит на стеклянной пластинке. В проходящем свете радиус второго жёлтого (λ = 589 нм)

кольца Ньютона r2 = 0,40 мм. Определить радиус кривизны R и оптическую силу D линзы. Показатель преломления стекла относительно воздуха n = 1,52.

6.На две одинаковые прозрачные трубки длиной ℓ = 100,0 мм (рис. 39), в которых создан вакуум, падают когерентные лучи I и II с

7.При интерференции света (λ0 = 0,5 мкм) от двух параллельных щелей оказалось, что на экране, удалённом от щелей на 4 м, соседние светлые полосы отстоят друг от друга на 2 см. Каково будет расстояние между этими же полосами, если опыт производить не в воздухе, а в воде, где скорость света υ = 2,25·108 м/с?

8.На тонкую плёнку с показателем преломления n = 1,33 падает под углом α = 52° параллельный пучок белого света. При каких толщинах

плёнки d1, d2, d3, отражённый свет будет наиболее сильно окрашен в жёлтый цвет? Длина волны жёлтого света λ = 0,58 мкм.

9.При заполнении пространства между линзой и стеклянной пластинкой прозрачной жидкостью в приборе «Кольца Ньютона» радиусы тёмных колец в отражённом свете уменьшились в 1,21 раза. Определить показатель преломления жидкости.

10. Оценить расстояние d, которое должно быть между двумя параллельными щелями, чтобы при пропускании через них длинноволнового рентгеновского излучения (λ = 1 нм) первые максимумы (m = ±1) находилсь на расстоянии x = ±2,5 мм от центрального максимума (m = 0) на экране, удалённом от щелей на 5 м.

108

Задание 25. Дифракция

1.Дифракционная решётка с периодом 35 мкм позволяет наблюдать раздельно две спектральные линии на длине волны λ = 0,58 мкм, различающиеся не более чем на Δλ = 2,0 нм. Определить общее число штрихов и ширину12 решётки.

2.На одиночную щель падает параллельными лучами монохроматический свет (λ = 600 нм). Расстояние от щели до экрана L = 5 м; ширина щели a = 2 мм. Определить ширину центрального максимума на экране ℓ.

3.Период дифракционной решётки равен 4 мкм. Дифракционная картина наблюдается с помощью линзы с фокусным расстоянием

40см. Первый максимум виден на расстоянии 5 см от центрального. Определить длину волны света, падающего по нормали к решётке.

4.Будут ли видны раздельно в спектре калия две близко

расположенные линии (λ1= 578 нм и λ2 = 580 нм) в спектре второго порядка, если наблюдать спектр с помощью дифракционной решётки шириной 10 мм и периодом 20 мкм?

5.В четвёртом дифракционном максимуме красного света (длина волны λ = 644,0 нм), наблюдаемом под углом 30°, видны на пределе

разрешения две близко расположенные спектральные линии с разностью длин волн Δλ = 0,3 нм. Оценить разрешающую способность дифракционной решётки R, её ширину ℓ и период d.

6. На щель шириной 0,1 мм падает пучок монохроматического света (λ = 500 нм). Дифракционная картина наблюдается на экране, находящемся в фокальной плоскости линзы, оптическая сила которой 0,5 дптр. Определить ширину второго максимума13.

7. Дифракционная решётка с периодом 5,0 мкм имеет ширину

20 мм. Определить разрешающую способность этой решётки в спектре третьего порядка. Какова наименьшая разность длин волн двух разрешаемых линий в жёлтой (λ = 600 нм) области спектра?

8.Дифракционная решётка при облучении её монохроматическим светом λ = 720 нм даёт 9 (девять) максимумов красного цвета. Сколько максимумов можно будет наблюдать, если красный свет заменить на синий (λ = 450 нм)?

9.Для определения длины световой волны дифракционный спектр проецируют с помощью собирающей линзы на экран и измеряют

12 Ширина дифракционной решётки – поперечный размер поверхности, занятой штрихами. 13 Ширина максимума равна расстоянию между соседними минимумами.

109