2039
.pdf
|
|
|
|
|
√ |
½ mR2 + mR2 |
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В первом случае d = R и |
T 1= 2 π |
|
= 2 |
π |
|
1,5 |
R |
|
. |
|
|
|
|||||||||
|
|
mgR |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
½ mR2 +¼ mR2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||
Во втором случае |
d = |
R |
|
и T 2=2 |
π |
|
=2 |
π |
|
1,5 |
|
R |
|
||||||||
|
|
½ mgR |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g |
|||
Ответ. Период колебаний не изменился переносе оси вдоль радиуса от d1 = R/2 до расстояние от подвеса до центра тяжести диска, доказать.
при параллельном
d 2 = R, где d – что и требовалось
Свободные колебания
Пример 6. В течение двух колебаний амплитуда свободных
колебаний уменьшилась на 60,0 %. Коэффициент затухания β = 1,83 с-1. Определить собственную частоту колебательной системы.
A0− |
ν |
0 |
=? |
|
Решение. Амплитуда свободных колебаний умень- |
|||
A |
=0,600 |
шается со временем по экспоненциальному |
закону |
|||||
A0 |
A = A0 e−βt , где А0 – начальная амплитуда; β – коэф- |
|||||||
|
|
|
|
|||||
β = 1,83 с-1 |
фициент затухания; t – время. |
|
||||||
t = 2T |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
По условию А = 0,400А0, или A e−β t =0,400 A , |
||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
где А0 и А – начальная и конечная амплитуды соответственно; t = 2T.
Логарифмируя, получим |
β 2T =ln 2,50; |
T = ln 2,50 . |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 1,83 |
|
|
|
|
|||
Период свободных колебаний T = 0,2504 с. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Угловая частота свободных колебаний ω связана с собственной |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
||||
угловой частотой ω0 уравнением |
ω |
|
= √ω0 |
−β |
|
|
, где |
ω= |
|
= 2 π ν ; |
||||||||||
|
|
|
T |
|||||||||||||||||
ω0 = 2 π ν0 ; ν0 – |
собственная |
частота |
колебательной |
системы. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
β |
2 |
|
|
|
|
Отсюда следует: (2 π ν |
)2=( 2π ) + β2 и |
ν02=( |
) + |
|
; |
|
|
|||||||||||||
|
4 π2 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
||||
ν02 = ( |
|
1 |
|
2 |
1,83 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) + |
|
= 16,0338. |
|
ν0 ≈ 4,00 Гц. |
|
|||||||||||||
0,2504 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
39,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пример 7. Колебательный контур обладает электроёмкостью
С = 0,20 мкФ и индуктивностью L = 5,1 мГн. Амплитуда колебаний напряжения на обкладках конденсатора умень-
90
шается в три раза за промежуток времени t = 1,0 мс. Определить активное сопротивление контура и логарифмический декремент данной колебательной системы.
Λ = ? R=? |
|
|
|
|
|
|
Решение. Закон изменения амплитуды затухающих |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
колебаний имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
C=0,20·10–6 Ф |
|
|
|
|
|
|
U 0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
L= 5,1·10–3Гн |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U = U 0 e |
−βt |
=> |
|
= e |
βt |
, |
(1) |
||||||||||||
|
U 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
=3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
U |
|
|
|
|
где |
β = R/(2 L) – коэффициент затухания. |
||||||||||||||||||||||||
t = 1,0·10-3 c |
|
|
|
|
|
Логарифмический декремент Λ связан с периодом |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
колебаний |
Т |
формулой: |
|
|
Λ = β T , |
где коэффициент |
затухания β |
||||||||||||||||||||||||
определяется из уравнения (1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
По условию задачи U0/U = 3; => ln 3=β 10−3 => |
β=1,1 103 c−1 . |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Период |
|
|
можно выразить через |
угловую частоту |
T = |
2 π |
, где |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ω=√ω0−β ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
квадрат собственной угловой частоты. |
||||||||||||||||||||||
|
ω0= LC − |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ω02 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c−2 = 0,98·109 c−2 . |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0,20 10−6 5,1 10−3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
Так как в данном случае ω02 >> β2, то ω ≈ ω0. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
T |
= |
|
2 π |
; T = |
|
2 3.14 |
|
|
c = 2,0 10 |
−4 |
c = 0,20 мс . |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ω0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
√9,8 10 |
8 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Λ = β T ; |
Λ = 0,22. |
|
|
|
|||||||||||
|
|
Логарифмический декремент |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
Сопротивление контура |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R = 2βL; |
R =2·1,1·103·5,1·10-3 ; R =11 Ом. |
|||||||||||||||||||||
Вынужденные колебания в механических и электромагнитных колебательных системах
Пример 8. Электрическая цепь (рис. 33) содержит последова-
тельно соединённые резистор сопротивлением R = 30 Ом, конденсатор ёмкостью С = 20 мкФ и катушку, индуктивность которой L = 45 мГн. К концам цепи подведено переменное напряжение с амплитудой U0 = 12,8 В и частотой ν = 50 Гц. Определить: 1) амплитуду силы тока I0 в цепи; 2) амплитуды напряжений U0R, U0L, U0C на отдельных элементах (резисторе, катушке, конденсаторе, соответственно); 3) сдвиг фаз φ колебаний силы тока и напряжения на концах цепи.
91
I |
0=? U0R |
=? U |
0L |
=? |
Решение. |
Для |
нахождения |
|
|
|
|
|
|
|
C |
L |
R |
|||||||||||||||
искомых величин используем закон |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
U0С= |
? φ=? |
|
|
Ома |
для |
амплитуд |
напряжения |
|
|
U0C |
U0L |
U0R |
||||||||||||||||||||
R = 30 Ом |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
L =45 ·10–3 Гн |
|
и силы |
тока I 0 = |
U 0 |
, где U0 – |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ø~Ø |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
С= 20 ·10–6 Ф |
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 33 |
|
|
||||||||||||||||||||
U0 = 12,8 В |
|
амплитуда напряжения на концах цепи; Z – полное |
||||||||||||||||||||||||||||||
ν = 50 Гц |
|
сопротивление. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
На векторной диаграмме (рис. 34) показаны |
|
U0L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
амплитуда силы тока Io, амплитуды напряжений на |
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
0R |
I0 |
|||||||||||||||||||||
отдельных элементах, U0R, U0L, U0C и сдвиг фаз φ U0C–U0L |
|
|
|
|
|
φ |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
колебаний силы тока Io и колебаний напряжения U0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U0 |
|||||||||||||||||||||
в данной цепи. Напряжение на катушке U0L отстаёт |
U0C |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
на 90° от колебаний силы тока в цепи, а на |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
конденсаторе U0C – опережает на те же 90°. |
|
|
Рис. 34 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
По теореме Пифагора |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
(I0 Z )2 = (I 0 X C−I 0 X L)2 +(I 0 R)2 . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
U 02 = (U 0C −U 0 L)2 + U 02 R , или |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Полное |
сопротивление |
Z = √ |
|
|
|
, |
гдe X L = ω L – |
|||||||||||||||||||||||
( X C− X L)2 + R2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
индуктивное сопротивление; |
1 |
|
– ёмкостное сопротивление; |
|||||||||||||||||||||||||||||
X C= |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
ωC |
||||||||||||||||||||||||||||||||
R – активное сопротивление; ω = 2πν – угловая частота; ν – частота |
||||||||||||||||||||||||||||||||
колебаний тока в цепи. Подставляя числовые значения, получим |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ХL = 141 Ом; ХС = 159 Ом; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Z=√ |
|
; Z = 35 Ом. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(141−159)2 +302 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
Амплитуда силы тока I 0 = 12,8 B = 0,37 A. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
Амплитуды напряжений: |
35 Ом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
на конденсаторе U 0 C=I0 X C = 0,37 159; U 0C = 58 B; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
на катушке |
U0L = I 0 X L = 0,37 141; U 0 L = 52B; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
на резисторе |
|
U0R = |
I 0 R=0,37 30; U 0 R = 11 B. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Из рисунка видно, cosφ = U 0 R /U 0 .
cosφ = 11/12,8 = 0,857. φ = 31° = 0,54 рад.
Пример 9. Если катушка подключена к источнику перемен-
ного тока частотой ν = 50 Гц и напряжением U = 220 В, то сила тока равна Iпер = 6,0 А. Если эту же катушку подключить к источнику постоянного тока того же напряжения, то сила тока Iпост = 11 А. Какова индуктивность катушки?
92
|
|
L = ? |
|
|
|
Решение. По закону Ома для участка цепи постоянного |
|||||||||
|
Iпер = 6 А |
|
тока, |
I пост= U |
, |
где R – активное сопротивление, найдём |
|||||||||
|
Iпост =11 А |
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|||
|
U = 220 В |
|
|
R = |
U |
; R= |
220 B=22 Ом. |
|
|||||||
|
ν = 50 Гц |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I пост |
|
11А |
|
|||
|
|
|
|
|
Выражение закона Ома для участка цепи переменного тока |
||||||||||
имеет вид I |
|
U |
|
U – действующее10 напряжение; I – |
|||||||||||
= Z , где |
|
||||||||||||||
действующая |
|
|
сила |
|
тока; Z=√ |
( X L− X C )2 + R2 |
– |
полное |
|||||||
сопротивление |
участка; |
|
X L = ω L – индуктивное сопротивление; |
||||||||||||
|
|
X C = |
|
|
1 |
|
– |
ёмкостное |
|
сопротивление; L – индуктивность; C – |
|||||
|
ωC |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
электроёмкость; ω = 2πν – угловая частота; ν – частота переменного тока.
Катушка обладает активным сопротивлением при прохождении через неё как постоянного, так и переменного тока. Кроме того, когда ток изменяется (ω ≠ 0), проявляется и индуктивное
сопротивление катушки |
|
X L = ω L. |
|
|
|
X C в данной цепи |
||||||||||
Так как ёмкостное |
сопротивление |
|||||||||||||||
отсут-ствует, то |
|
Z = √ |
X 2L + R2 |
, |
или |
|
Z=√ |
(ω L)2 + R2 |
. |
|||||||
По закону Ома I пер= U |
найдём полное сопротивление |
|||||||||||||||
|
|
U |
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
||||
Z = |
|
|
|
220 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
; |
Z = |
|
; Z = 36,7 Ом . |
|||||||||
|
I пер |
6 |
||||||||||||||
Индуктивность катушки |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
√ |
|
|
. |
[L] = Ом |
= B c = Вб = Гн. |
||||||||||
L = |
Z2−R2 |
|||||||||||||||
|
√ |
2 π ν |
|
|
|
|
Гц |
A |
A |
|||||||
L = |
36,72−222 |
= 0,094; |
L = 94 мГн. |
|||||||||||||
|
|
2 3,14 50 |
|
|
|
|
||||||||||
Волны в упругой среде
Пример 10. Амплитуда колебаний частиц упругой среды в
бегущей волне А = 2,0 мм. Период колебаний Т = 10 мс. Расстояние между частицами, колеблющимися с разностью фаз δ = π/4 рад составляет х = 5,0 см. Определить фазовую скорость волны и максимальную скорость частиц среды.
10 Если приводятся данные силы тока и напряжения для цепей переменного тока без указаний о характере этих величин, то имеются в виду действующие значения этих величин.
93
Решение. Уравнение бегущей волны имеет вид
ξ = A cos[ω(t −x/υ)], (1)
где ξ – смещение точек среды с координатой х в момент времени t, A – амплитуда; ω = 2πν = 2π/T – угловая частота; ν – частота; Т – период колебаний.
Уравнение плоской гармонической волны (1) позволяет определить смещение ξ(х, t) любой точки, участвующей в волновом процессе, в любое время. Периодичность колебательного процесса в пространстве характеризуется длиной волны λ. По определению длина волны – это кратчайшее расстояние между точками среды, колеблющимися с разностью фаз 2π рад. Длина волны равна расстоянию, на которое перемещается волновая поверхность с фазовой скоростью υ за время, равное периоду T колебаний частиц среды: λ = υ·Т (формула-закон).
Из определения длины волны следует взаимосвязь разности хода
волны х и разности фаз колебаний δ: |
δ = (2 π/λ) |
x . |
|
|
|
||||||||
Длина волны λ= |
2π x |
. |
λ= |
2 3,14 0,050 4 |
; |
λ = 0,40 м. |
|||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|||||||||||||
|
δ |
|
|
3,14 |
|
|
|
|
|
||||
Уравнение колебаний какой-либо точки среды с фиксированной |
|||||||||||||
координатой х0 можно записать в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||
|
ξ = A cos(ωt−ω |
0 |
), |
|
|
|
|
||||||
|
υ |
|
|
|
|
||||||||
где ω x0/υ = φ0 – фаза в момент времени t0 = 0. |
|
|
d ξ |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Скорость смещения частиц υ* – есть производная |
υ = |
|
: |
||||||||||
dt |
|||||||||||||
|
υ =− Aω sin (ωt−φ0). |
|
|
|
|
||||||||
Так как максимальное |
значение |
синуса равно |
единице, то |
||||||||||
максимальная скорость частиц среды υ* = Аω, где ω = 2π/Т – угловая
частота колебаний частиц среды; |
υ* = |
2,0 10−3 |
2 π |
|
|
; |
υ* =1,3 м/с. |
|||
|
|
−3 |
||||||||
|
|
|
|
|
10 10 |
|
|
|
||
Фазовая скорость волны υ = |
λ |
; |
υ = |
0,40 |
; |
|
υ = 40 м/с. |
|||
Т |
10 10−3 |
|
||||||||
Пример 11. Найти длину волны и частоту колебаний из
уравнения стоячей волны ξ=20 cos 0,0802 π x cos(2,4 103 π t ), где
ξ – смещение частиц, мм; х – координата, м; t – время, с.
94
λ = ? ν = ? |
|
Решение. Запишем уравнение стоячей волны в общем |
|||||
υ = 0,080 м/с |
|
виде |
ξ=2 A cos |
2 ω x |
cosωt , где А – постоянная вели- |
||
ω = 2,4π·10 |
3 |
с |
-1 |
υ |
|||
|
|
чина; |
ω – угловая частота колебаний, ω = 2πν, |
||||
ν – частота; υ – фазовая скорость волны. Сопоставив общий вид с заданным уравнением, найдём угловую частоту и фазовую скорость
π |
= |
ω |
и 2,4 10 |
3 |
π = ω |
=> ω = 2,4π·103; |
|||
|
υ |
|
|||||||
0,080 |
|
||||||||
υ = |
0,080ω |
= |
0,080 2,4 103 π |
= 192. |
|||||
|
π |
|
|
π |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Угловая частота ω = 2,4π·103 с-1; фазовая скорость υ = 1,9·102 м/с.
Так как ω = 2πν, то частота колебаний ν = |
ω |
. |
ν = 1,2·103 Гц. |
|||||
|
||||||||
|
|
|
|
1,92 102 |
|
2 π |
|
|
Длина волны |
λ= |
υ |
. λ= |
=0,16. |
λ = 0,16 м = 16 см. |
|||
|
||||||||
|
|
ν |
1,2 103 |
|
|
|
|
|
Свойства электромагнитных волн. Поляризация
Пример 12. На границу раздела «лёд – вода» падает электро-
магнитное излучение частотой ν = 4.52∙1014 Гц. Найти: а) скорости υл и υв электромагнитных волн в первой и второй средах соответственно; б) длины волн λл и λв; в) угол αБ падения данной волны на границу радела, при котором отражённая волна будет полностью поляризована.
υл |
= ? υ |
в |
= ?; |
|
|
|
|
Решение. Показатель преломления вещества |
||||||||||||||
λл=? λв=? αБ= ? |
показывает, |
во |
сколько |
раз |
|
скорость |
|
υ |
||||||||||||||
nл = 1,31 |
электромагнитной волны в веще-стве меньше, чем в |
|||||||||||||||||||||
nв = 1,33 |
вакууме, |
n = c/υ. |
Значения nл = 1,31 и nв = 1,33 для |
|||||||||||||||||||
с =3,00·108 м/с |
||||||||||||||||||||||
льда и воды найдём в таблице (прил. 6) и вычислим |
||||||||||||||||||||||
соответствующие скорости |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
υл = |
c |
; υл = |
3,00 108 м/с |
= 2,288 108 м/с ≈ 229 Мм/с ; |
|
|
||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
nл |
|
1,31 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
υв = |
c |
; |
|
υв |
= 3,00 108 м/с |
= 2,254 108 м/с ; |
υв = 225 Мм/с. |
||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
nв |
|
|
|
|
1,33 |
|
|
|
|
|
|
λ = υ/ν , где |
||||||
|
Используя взаимосвязь длины волны λ и частоты ν, |
|||||||||||||||||||||
ν = const в данном случае, находим длины волн: |
λл = |
υл |
и λв = |
υв |
; |
|||||||||||||||||
ν |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ν |
|||
λл = 2,29 108 |
|
; |
|
λл = 506 нм |
|
и |
λв = 2,25 108 |
; |
λв = 499нм . |
|
|
|||||||||||
|
4,52 1014 |
|
|
|
|
|
|
4,52 1014 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
95
Условие полной поляризации отражённой волны (и максимальной поляризации проходящей волны) определено законом Брюстера
tgαБ = n2−1 ,
где αБ – угол падения (угол Брюстера); n2−1 – относительный показатель преломления, в данном случае равный показателю
преломления воды относительно льда, n2−1= nв--л = |
|
υл |
= |
nв |
. |
||
|
υв |
|
|||||
|
1,33 |
|
|
|
nл |
||
nв-л = |
= 1,015; αБ = arctg1,015 = 45,43° ; |
αБ = 0,793 рад. |
|||||
|
1,31 |
|
|
|
|
|
|
Пример 13. Найти амплитуду магнитной составляющей Bm
радиоволны в воздухе и в бензине при одинаковой плотности среднего потока электромагнитной энергии J = 40 мкВт/м2.
Вm1=? Вm2=?
J = 40·10-6 Вт /м2 υ1= с = 3,0·108 м/с
μ1 = μ2 =1
n2 = 1; n2 = 1,40
ε0 = 8,85·10-12 Ф/м μ0 = 4π·10-7 Гн/м
|
Решение. |
Из уравнений |
Максвелла следует: |
|||
|
и |
S = υ w |
эл.м |
, где |
|
– вектор Пойн- |
S |
=E×H |
|
|
S |
|
|
тинга (плотность потока энергии электромагнитной волны); E и Н – напряжённости электрической и магнитной составляющей электромагнитного поля; wэл.м – суммарная объёмная плотность энергий
электрического и магнитного полей.
wэл.м = wэл + wм = 12 εε0 E2 + 2μμ1 0 B2 .
Интенсивность волны, или средняя плотность потока энергии
J эл.м=S =υwэл.м .
Если считать волну гармонической функцией времени и учесть
E H и H B , то wэл.м =½(½εε0 E2m + ½ B2m /(μμ0)), где Em и
Hm – амплитуды напряжённостей электрического и магнитного полей; Hm = Вm/(μμ0); ε – диэлектрическая проницаемость; μ – магнитная
проницаемость среды; ε0 и μ0 |
|
– |
электрическая и |
магнитная |
||||||||||||||||
постоянные. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Взаимопревращение магнитного и электрического полей |
подчи- |
||||||||||||||||||
няется закону сохранения энергии: |
½ εε E2 = ½ B2 /(2μμ |
). Тогда |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
0 |
m |
|
|
m |
|
|
0 |
|
|
||
|
|
J эл.м = |
υ Bm2 |
=> |
B2 |
= |
2μμ0 |
J |
|
. |
|
|
|
|
||||||
|
|
2μμ0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
υ |
|
|
эл.м |
|
|
|
|
|
||
|
Проверка решения по наименованию единиц: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Тл |
2 |
Гн c Вт B c2 B A |
B2 c2 |
; Тл |
B c |
|
Bб |
|
Тл м2 |
= Тл. |
||||||||||
|
= м м м2 = |
|
м2 |
|
= м4 |
|
= м2 |
= м2 = |
|
м2 |
||||||||||
|
A м2 |
|
|
|
||||||||||||||||
96
Амплитуда магнитной составляющей данной электромагнитной
|
√ |
|
υ1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
волны в воздухе Bm 1= |
|
|
2μ1μ0 |
J эл.м ; |
Bm1 = 5,8·10-2 Тл = 58 мТл. |
|||||||
|
|
|
|
|||||||||
Скорость волны в бензине υ2= |
с |
=2,14 10 |
8 |
м/с, а амплитуда |
||||||||
n |
|
|
||||||||||
магнитной индукции Bm2=√ |
|
|
|
2 |
|
. Bm2 = 6,9·10-2 Тл = 69 мТл. |
||||||
2μ2μ0 J эл.м / υ2 |
||||||||||||
Пример 14. Два поляроида (поляризатор и анализатор)
сориентированы так, что интенсивность проходящего через них света максимальна. На какой угол φ* нужно повернуть анализатор относительно своего начального положения вокруг оси, проходящей через луч (ось Y на рис. 35), чтобы света на выходе стала в 4 раза меньше интенсивности естественного света? Каким будет угол поворота φ** анализатора, если учесть, что каждый из поляроидов дополнительно поглощает 20 % падающего на него излучения?
Решение. Используем закон Малюса J =J o cos2 φ ,
где J0 и J – интенсивности света, падающего на анализатор и прошедшего через него; φ – угол между плоскостями поляризации поляризатора и анализатора.
Идеальный поляроид уменьшает в два раза интенсивность
падающего на него неполяризованного излучения: J 0= ½ J ест . Тогда |
||||||||
Z |
Z |
|
J = ½ J |
cos2 |
φ. |
|
||
|
|
φ |
|
|
ест |
|
|
|
Jест |
J0 |
Так как по |
условию |
J / J ест = ¼, |
то |
|||
J |
||||||||
|
cos2 φ* = 0,5; |
cosφ*=0,707; φ* = 45°. |
|
|||||
Х |
X |
Y |
|
|||||
|
Для четырёхкратного ослабления естес- |
|||||||
|
|
|
||||||
|
Рис. 35 |
|
твенного света в случае идеальных поля- |
|||||
|
|
роидов нужно повернуть анализатор на 45°. |
||||||
Если учесть дополнительное поглощение света в обоих поляроидах, то интенсивность света, выходящего из анализатора
J = Kпол K ан (½ J ест )cos2 φ**,
где Кпол и Кан – коэффициенты пропускания поляризатора и анализатора, соответственно; К =1 – k; k – коэффициент поглощения (k = 0,2); Jест – интенсивность света, падающего на поляризатор.
J / J ест = ½ K пол K ан cos2 φ**,
¼=½ 0,8 0,8 cos2 φ**; cos2 φ** = 0,78; cos φ** = 0,781; φ** = 39°.
97
Если в каждом поляроиде дополнительно поглощается 20 % падающего на него излучения, то для ослабления естественного света в 4 раза достаточно повернуть анализатор относительно положения максимального пропускания на угол φ** = 39° (φ** < φ*).
Интерференция
Пример 15. Пространство между линзой и пластинкой в
приборе “Кольца Ньютона” заполнено жидкостью с показателем преломления меньшим, чем у стекла. Радиус пятого красного (λ0 = 690 нм) интерференционного кольца в отражённом свете r3 = 1,1 мм. Радиус кривизны линзы R = 0,50 м. Определить показатель преломления жидкости.
n =? |
Решение. Волны, возникающие в результате отражения |
|||||||||
от границы “линза-жидкость” (рис. 36) и от границы |
||||||||||
λ0 = 690·10-9 м |
||||||||||
r3 = 4,0·10-4 м |
“жидкость-стекло”, |
когерентны. |
Накладываясь, |
они |
||||||
r5 = 8,2·10-4 м |
дают интерференционную картину в виде колец. При |
|||||||||
R = 0,50 м |
отражении от границы “жидкость-стекло” фаза волны |
|||||||||
меняется на π рад, так как по условию показатель преломления стекла |
||||||||||
больше, чем жидкости. Оптические длины пути от места разделения |
||||||||||
волн (на первой границе) до места соединения отражённых волн (на |
||||||||||
той же границе |
“линза-жидкость”): L1 = |
0; |
О● |
|
|
1 |
||||
L2=d n+ λ0/2, |
где d – расстояние между лин- |
|
|
▼ |
2 |
|||||
зой и пластиной; n – показатель преломления |
|
|
|
|
||||||
жидкости; λ0 – длина волны в вакууме. |
|
A |
r B |
|
|
|||||
Разность хода |
= 2 d n + λ0 /2 . |
|
n |
|
|
|
||||
= L2 – L1; |
(1) |
К |
|
М |
|
|||||
Картина имеет вид колец, так как |
Рис. 36 |
|
|
|||||||
геометрическое место точек на поверхности |
|
|
|
|
||||||
линзы, где толщина слоя жидкости d между линзой и пластинкой |
||||||||||
одинакова, представляет собой окружность. |
|
|
|
|
|
|||||
В прямоугольном треугольнике ОАВ катет AB равен радиусу интерференционного кольца r ; ОВ = OK = R – радиус линзы; АК = d; ОА = R − d. По теореме Пифагора R2= r2 +(R−d)2 .
Так как d << R, то r2 =2 d R и |
d = |
r2 |
, |
или |
|
2 R |
|||||
|
|
|
|
где m = 1, 2, 3, … номер кольца.
r2
d m = 2 mR , (2)
Объединяя уравнение (2) с уравнением (1) и с условием интерференционного максимума = m∙λ, получим
98
2 d n + λ |
= m λ |
|
и |
rm2 |
n + |
λ0 |
= m λ |
. |
|
0 |
|
|
|||||||
m |
2 |
|
R |
|
2 |
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Радиусы светлых колец в отражённом свете |
rm= |
√ |
|
R(2 m−1) |
λ0 |
, |
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
n |
|
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
где m = 1, 2, 3, … ; n – показатель преломления жидкости между пластинкой и линзой; λ0 – длина световой волны в вакууме.
Показатель преломления n = |
R (2 m−1) λ0 |
. |
|||
|
|||||
|
|
2 rm2 |
|
|
|
n = |
0,50 (2 5−1) 690 10−9 |
= 1,3. |
|||
2 1,1 |
2 10−6 |
||||
|
|
|
|||
Дифракция
Пример 16. Свет с длиной волны 530 нм падает нормально на
дифракционную решетку с периодом 1,5 мкм. Найти угол дифракции, под которым наблюдается максимум наибольшего порядка.
Решение. Углы, под которыми наблюдаются главные максимумы при дифракции на решётке, удовлетворяют условию d sinφ = m λ , где d – период решётки; φ –
угол между первоначальным направлением света и направлением на максимум m-го порядка (угол дифракции); m = ±1, ±2, ±3, …, считая от центрального максимума, для которого m = 0); λ – длина волны.
Угол дифракции не может быть больше 90°, поэтому sinφ ≤ 1 .
|
Выразим |
sinφ |
из условия |
максимумов: |
sinφ = m λ/d . Тогда |
|||||
m λ |
|
|
d |
|
d |
|
1,5 10−6 |
|||
d |
|
≤ 1 => |
m ≤ |
|
=> mнаиб ≈ |
|
. |
mнаиб ≈ |
|
≈ 2,8. |
|
|
|
530 10−9 |
|||||||
|
λ |
λ |
||||||||
Анализируя полученный результат, следует учесть два обстоятельства: 1) число m может быть только целым; 2) округление в большую сторону противоречит условию: m ≤ d /λ . Из этих соображений номер максимума наибольшего порядка получается округлением в меньшую сторону: mнаиб = 2. Соответствующий угол дифракции найдём, используя условие главных максимумов
d sin φ |
|
=m |
|
λ |
=> sinφ |
наиб |
= m |
|
λ |
=> sin φнаиб = 0,707. |
|
|
|
||||||||
наиб |
наиб |
|
|
наиб |
d |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ. Угол дифракции, под которым наблюдается максимум наибольшего порядка, φнаиб = 45°.
99