2039

направлены в одну сторону. Если контур выводится из равновесия внешними силами, то возникающий момент сил (1) стремится вернуть контур в исходное положение.

Так как момент сил меняется в зависимости от угла φ, то для подсчёта работы применим формулу работы в дифференциальной форме δA = M∙dφ. Учитывая (1), δ A=I B S sinφ d φ. Работа при повороте контура на конечный угол φ* = π рад равна интегралу от

π

A=IBS∫sin φ d φ=IBS (−cosφ)|π0 =IBS (−cos π +cos0)=2 IBS .

0

Подобный результат можно получить, применяя формулу взаимосвязи работы консервативных сил и потенциальной энергии:

А = – Π, где П мех = − рm B – потенциальная энергия контура с током в магнитном поле; П мех = − рm B cosα, где рm – магнитный момент контура с током; α – угол между векторами pm и В ; pm = IS.

A = –(ISB∙cosπ – ISB∙cos0) = –ISB∙(–1– 1); A = 2ISB. Тот же результат можно получить по формуле

A = I·ΔΦ,

где ΔΦ = Ф2 – Ф1; Ф = B∙S·cosα – магнитный поток через поверхность S, ограниченную контуром; α – угол между вектором магнитной индукции и нормалью к контуру.

[ A]=А Тл м2 =A HA мм2 =Дж . A = 2·10·0,20·400 10-4 Дж = 0,16 Дж.

Пример 13. Проводящий стержень вращается в постоянном во

времени однородном магнитном поле. Ось вращения параллельна силовым линиям магнитного поля и проходит через один из концов стержня перпендикулярно ему (рис. 20). Частота вращения n = 300 оборотов в минуту, длина стержня l = 50 см, индукция поля B = 20 мТл. Найти разность потенциалов, возникающую на концах проводника.

70

2. Способ с использованием среднего значения переменной величины. Так как скорость υ, входящая в формулу разности потенциалов, изменяется по линейному закону, то для вычисления искомой величины U можно использовать среднее арифметическое значение υ в интервале изменения переменной величины υ. Скорость частиц стержня, усреднённая по длине, в данном случае равна полусумме:

Тогда разность потенциалов на концах вращающегося проводника

Задание 7. Напряжённость и потенциал электростатического поля

1.Электрический заряд 1,7 нКл равномерно распределён по тонкому кольцу с линейной плотностью 2,7 нКл/м. Найти напряжённость электрического поля в точках, равноудалённых от всех точек кольца на расстояние: а) 0,1 м; б) 1 м.

2.Две квадратные пластины площадью 1,0 м² находятся на расстоянии 1,0 см друг от друга. Разность потенциалов между пластинами 1000 В. Найти поверхностную плотность заряда и силу кулоновского взаимодействия пластин, пренебрегая краевыми эффектами.

3.Электростатическое поле создано длинным прямым цилиндром радиуса R = 1 см, равномерно заряженным с поверхностной плотностью σ = 0,2 мкКл/м². Определить силу, действующую на точечный заряд q = 25 нКл, удалённый на расстояние r = 10 см от оси цилиндра.

4.Поверхностная плотность заряда на бесконечной заряженной плоскости σ = 8,85·10-9 Кл/м2. Найти работу кулоновских сил по

перемещению точечного заряда q = 10 нКл на расстояние х = 2,0 см вдоль силовых линий электростатического поля данной плоскости.

5.Две круглые разноимённо заряженные пластины площадью по

50 см² расположены параллельно. Заряд первой пластины q1 = 8,85 нКл. Если расстояние между пластинами составляет 1,0 мм, пластины притягиваются с силой FI = 10 мН. Чему равен заряд второй пластины? Какой будет сила кулоновского взаимодействия пластин, если расстояние между ними увеличить до 1,0 м?

72

6. Две параллельные пластины расположены на расстоянии d = 4 мм друг от друга. Разность потенциалов между ними U = 20 В. Часть пространства, прилегающая к одной пластине, заполнена стеклом (d1 = 3,0 мм), остальная часть – фарфором. Найти напряжённости электрического поля в стекле Е1 и в фарфоре Е2.

7.Бесконечная плоскость, расположенная горизонтально, заряжена с поверхностной плотностью σ = 9,0 мкКл/м². Сплошной алюминиевый шарик радиуса R с зарядом q = 0,367 мкКл помещают над плоскостью, не касаясь её. Каким может быть значение R, чтобы шарик не падал?

8.На бесконечном тонкостенном цилиндре диаметром 10 см

равномерно распределён заряд с поверхностной плотностью 10 нКл/м². Определить напряжённость поля в точках, отстоящих от поверхности цилиндра на 5,0 см.

9. Найти электрическое смещение D и напряжённость E электрического поля в кварцевой пластине толщиной d = 5 мм, когда к ней приложено напряжение U = 20 кВ.

10. В однородном электрическом поле с напряжённостью 60 кВ/м перемещается заряд 5 нКл. Вектор перемещения, равный по модулю 20 см, составляет угол 60° с направлением силовых линий поля. Найти разность потенциалов между конечной и начальной точками, работу, совершённую при перемещении заряда.

Задание 8. Принцип суперпозиции электрических полей

1.На тонком стержне длиной 20 см равномерно распределён электрический заряд. На расстоянии 10 см от стержня по его оси находится точечный заряд 40 нКл, на который действует со стороны стержня кулоновская сила 6 мкН. Определить линейную плотность заряда на стержне.

2.В парафине расположены две параллельные металлические пластины, имеющие поверхностные плотности электрического заряда

σ1 = 2 мкКл/м2 и σ2 = 4 мкКл/м2. Определить электрическое смещение D и напряжённость Е электрического поля между пластинами.

3.Электрический заряд распределён по тонкому кольцу диаметром

10см. Линейная плотность заряда равна 3 нКл/м. Оценить напряжённости электрического поля в центре кольца и в точке на оси кольца, удалённой от его центра на расстояние 1 м.

73

4.Четыре одинаковых точечных заряда по 10 нКл расположены в вершинах куба на одной его грани. Длина ребра куба a = 10 см. Заряды находятся в среде с диэлектрической проницаемостью ε = 2,2. Определить напряжённость электростатического поля в центре грани куба, расположенной напротив той, где находятся заряды.

5.На тонком стержне длиной L равномерно распределён заряд с линейной плотностью 10 нКл/м. Найти электрический потенциал поля, образованного стержнем в точке, удалённой от его ближайшего конца на расстояние L вдоль стержня.

6.Две концентрические проводящие сферы радиусами RA = 6,0 см и RВ = 10,0 см несут заряды 1 и –0,5 нКл, соответственно. Найти напряжённости электростатического поля в точках, отстоящих от центра сфер на расстояния: I) 5,0 см; II) 9,0 см; III) 15 см.

7.Два одинаковых точечных заряда по 0,1мкКл помещены в точках (0; 3; 0) и (3; 0; 0) прямоугольной системы координат. Координаты точек даны в метрах. Определить силу (модуль и направление), действующую на заряд 10 мкКл, помещённый в точку (0; 0; 0).

8.Электрическое поле создано тремя точечными зарядами 10 нКл, расположенными вдоль одной прямой с интервалом 1,0 см. Найти кулоновскую силу, действующую на один из крайних зарядов.

9.Нить в форме полукольца радиусом R = 10 см равномерно заряжена с линейной плотностью заряда τ = 0,2 мкКл/м. Определить напряжённость электрического поля, созданного нитью в центре окружности, частью которой является нить.

10.Четыре одинаковых точечных заряда по 10 нКл находятся в вершинах куба на одной грани, площадь которой S = 100 см2. Найти плотность энергии электростатического поля в центре противоположной грани. Заряды погружены в керосин (ε = 2,0).

Задание 9. Электроёмкость. Закон сохранения заряда и закон сохранения энергии в электростатике

1. К воздушному конденсатору, заряженному до 500 В и отключённому от источника, присоединён параллельно второй конденсатор таких же размеров и формы. Напряжение на выводах полученной батареи конденсаторов оказалось равным 70 В. Определить диэлектрическую проницаемость вещества между обкладками второго конденсатора.

74

2. Плоский воздушный конденсатор с площадью пластин 100 см2 и расстоянием между ними d1 = 1,00 мм заряжен от источника напряжением 100 В. Затем пластины раздвигаются до d2 = 2,50 мм. Какова энергия конденсатора в начальном и конечном состояниях, если источник при этом: а) подключён; б) отключён?

3.Потенциал поля внутри плоского конденсатора, одна из обкла-

док которого заземлена, изменяется по закону ϕ = 0,20 – 40х, где ϕ – потенциал, кВ; х – расстояние от незаземлённой обкладки, м.

Определить разность потенциалов обкладок, напряжённость электрического поля внутри конденсатора и расстояние между обкладками.

4.Конденсаторы С1 = 2 мкФ и С2 = 0,5 мкФ были предварительно заряжены до напряжений U1 = 100; U2 = 50 В соответственно и затем отключены от источника. Сколько энергии электрического поля будет преобразовано в теплоту при соединении конденсаторов одноимённо заряженными обкладками?

5.Плоский воздушный конденсатор заряжен до напряжения U = 0,4 кВ и отключён от источника. Какой станет разность потенциалов, если расстояние между пластинами увеличить от 200 до 700 мкм, а пространство между ними заполнить стеклом?

6.Два конденсатора ёмкостями С1 = 5 мкФ и С2 = 8 мкФ соединены последовательно и присоединены к батарее с ЭДС = 80 В.

Определить заряды q1 и q2 конденсаторов, а также разности потенциалов U1 и U2 между их обкладками.

7.Определить электроёмкость плоского конденсатора, диэлектрическая проницаемость вещества внутри которого изменяется от одной обкладки до другой по закону ε = 2,0 + 12х, где х – координата, м. Площадь каждой обкладки 40 см², расстояние между ними d = 10 мм.

8.Конденсатор ёмкостью 1,0 мкФ заряжен от источника напряжения 100 В и отключен от него. Затем он был соединен параллельно с другим незаряженным конденсатором ёмкостью 3,0 мкФ. Найти энергию электростатического поля до и после соединения конденсаторов. Объяснить результаты вычислений.

9.Отдельные конденсаторы ёмкостями 1,0 и 10 мкФ зарядили до напряжений 300 и 400 В соответственно и затем соединили параллельно одноимёнными обкладками. Определить заряд на каждом конденсаторе после соединения.

10.Энергия поля конденсатора, подключённого к источнику напряжением 500 В, составляет 0,12 мкДж. Пространство между обкладками

75

заполнено диэлектриком (ε = 3). Площадь одной пластины S = 40 см2. Найти объёмную плотность энергии поля в диэлектрике.

Задание 10. Закон Ома для однородного участка цепи

изакон Джоуля – Ленца

1.Сопротивление R определяют по показаниям измерительных

проводнике равна 10 А/мм2. Определить объёмную плотность тепловой мощности при протекании тока.

5. Во сколько раз сопротивление R нагрузки должно быть больше внутреннего сопротивления r источника тока, чтобы при расчётах силы тока в цепи, если пренебречь величиной r, ошибка не превышала бы 1,0 % ?

76

7. Ток в проводнике сопротивлением 12 Ом уменьшается до нуля по закону I = 5,0 – 0,20t, где I – сила тока, А; t – время, с. Определить количество теплоты, выделенной за время существования тока.

9.Вблизи высоковольтного провода, упавшего на землю, потен-

расстояние от провода, м. Построить график функции φ(r) и определить ближайшее к проводу безопасное положение человека, идущего по направлению к проводу. Длина шага человека 1,0 м, сопротивление между подошвами ног 500 кОм, допускаемая сила тока 1,0 мА.

10.При измерении сопротивления R использована схема (рис. 24).

Задание 11. Закон Ома для неоднородного участка цепи

идля замкнутой цепи

1.Два аккумулятора оказались замкнутыми друг на друга разноимёнными полюсами. ЭДС источников: 1 = 12 В и 2 = 6 В;

внутренние сопротивления: r1 = 0,1 Ом и r2 = 0,2 Ом соответственно. Определить силу тока в данной цепи и разность потенциалов на полюсах источников тока.

2.Потребителю сопротивлением R = 0,1 Ом требуется питание током I = (6,0 ± 0,5) А. Достаточно ли будет одного гальванического элемента с ЭДС 1,8 В и внутренним сопротивлением r = 0,3 Ом?

3.Имеются два аккумулятора с ЭДС по 12 В каждый и внутренними сопротивлениями 2 и 4 мОм. Как нужно соединить эти

77

источники тока (параллельно или последовательно), чтобы получить наибольший ток I* при сопротивлении нагрузки 10 Ом? Найти значение силы тока I*.

4.Внутреннее сопротивление батареи аккумуляторов равно 3,0 Ом. Разность потенциалов на зажимах батареи измерили вольтметром, сопротивление которого 200 Ом. Сколько процентов от действительного значения ЭДС составит ошибка, если измеренное значение принять равным ЭДС?

5.Аккумулятор заряжают током 10 А от источника напряжением

15В. При этом 20 % энергии расходуется на нагревание электролита. Определить ЭДС и внутреннее сопротивление аккумулятора.

6.ЭДС нового элемента питания бытовой электроники = 1,65 В. При замыкании его на нагрузку R = 3,0 Ом потребляемая мощность составляет 3,0 Вт. Каково внутреннее сопротивление элемента?

7.ЭДС гальванического элемента = 1,6 В, его внутреннее сопротивление r = 0,5 Ом. Выразив КПД элемента η(I) как функцию силы

тока I, найти значения: I1, при котором КПД имеет максимальное значение; I2, при котором КПД равен нулю.

8.Как нужно соединить два резистора 1 и 2 Ом, чтобы получить максимальную мощность, отдаваемую источником с ЭДС 1,5 В и внутренним сопротивлением 0,5 Ом? Какова сила тока через источник при этих условиях? Изобразить схему электрической цепи.

9.Автомобильный стартер потребляет ток силой 300 А, питаясь от аккумуляторной батареи с ЭДС, равной 12,5 В. Напряжение на батарее составляет при этом 11,6 В. Определить сопротивление батареи, мощность, развиваемую источником тока, и полезную мощность.

10.Как нужно соединить (параллельно или последовательно) два аккумулятора с ЭДС 12 В каждый и внутренними сопротивлениями 2 и 4 мОм, чтобы получить наибольшую полезную мощность P* при сопротивлении потребителя 5 Ом? Вычислить значение P*.

Задание 12. Характеристики магнитного поля

1. Квадратный проводящий контур со стороной 20 см свободно подвешен в однородном магнитном поле с индукцией 0,20 Тл. Каково изменение магнитного потока при повороте контура на 180° вокруг оси, перпендикулярной направлению силовых линий поля?

78

2. По рамке гальванометра с числом витков N = 200 пропускают ток силой I = 100 мА. Длина рамки а = 4,0 см, ширина b = 3,0 cм. Найти магнитный момент рамки.

3. Рассчитать индукцию магнитного поля в вакууме внутри соленоида длиной 10 см, имеющего 100 витков радиуса 10 мм, при силе тока I = 500 мА.

4.С какой силой на каждый метр их длины взаимодействуют в вакууме два прямых длинных параллельных проводника с токами I1 = I2 = 10 А, расположенные на расстоянии r = 1 см?

5.Круговой виток установлен так, что его плоскость перпендикулярна силовым линиям магнитного поля с индукцией В = 0,1 Тл. При повороте кругового витка на 90° вокруг оси, перпендикулярной направлению вектора В и лежащей в плоскости витка, магнитный

поток изменяется на 0,02 Вб. Определить радиус витка.

6.Определить индукцию магнитного поля, созданного отрезком прямого проводника длиной 80 см с током I = 5,0 А, в точке, удалённой от одного из концов провода на 2,0 см в радиальном направлении.

7.Плоская рамка размером 10×10 см2, расположена в магнитном поле (В = 0,40 Тл) так, что плоскость рамки перпендикулярна линиям индукции поля. Найти изменение магнитного потока при повороте рамки на 45о относительно оси, лежащей в плоскости рамки.

8.Длинный прямой проводник с током I = 5 А расположен в одной плоскости с контуром в форме квадрата со стороной а = 5 см. Ближайшая сторона контура параллельна проводнику и находится на расстоянии 5 см от него. Оценить поток вектора магнитной индукции через поверхность контура.

9.Круговой контур радиуса 10 см с током 2 А установлен в магнитном поле Земли (В = 20 мкТл) параллельно силовым лииям

10. Найти значение индукции магнитного поля, созданного отрезком прямого проводника длиной 1,0 м с током I = 1,0 А, в точке, удалённой от середины проводника в радиальном направлении на 0,5 м.

79