2039

Так как S1 >> S2, то из уравнения неразрывности следует υ1 << υ2 . Слагаемым, содержащем малую величину второго порядка (υ12), можно пренебречь. Полагая p1 = p2 = pатм, υ2 = υ, h1 = h, h2 = 0,

[Q] = м2·м½·с–1·м½ = м3/с. Q = 107·10–6 м3/c; Q = 6,4 л/мин.

Пример 4. Стальная балка сечением S = 40 см2 закреплена

между двумя неподвижными упорами. С какой силой будет действовать балка на упоры, если она нагреется от температуры 0 °C до 30 °C? Температурный коэффициент линейного расширения стали α = 12∙10-6 К-1.

приложения нагрузки; Е – модуль упругости материала.

Вследствие температурного расширения балка должна была удлиниться до размера l= l0(1 + α T ), где l – длина после нагревания; l0 – начальная длина; α – температурный коэффициент расширения; Т – изменение температуры. Поскольку упоры препятствуют

удлинению балки, она будет находится в напряжённом состоянии. В соответствии с законом Гука

Подставим в формулу силы упругости выражение длины l после нагревания и получим, полагая, что поперечные размеры балки не изменяются (S=const), F = S l 0(1+ αl T )−l0 E ; F =S E α T.

0

Анализ расчётной формулы показывает, что механическое напряжение, возникающее при нагревании балки, зажатой между неподвижными упорами, не зависит от её первоначальной длины.

151

Проверка по наименованию единиц: [F ] = м2 Hм2 1K K = H .

F =40 10−4 2,1 1011 12 10−6 30.

Ответ. Сила, с которой балка действует на упоры, F = 0,30 МН.

Пример 5. Определить отношения: а) концентраций свобод-

ных электронов; б) скоростей упорядоченного движения электронов; в) напряжённостей электрического поля, при одинаковой плотности тока в меди и вольфраме. Считать, что

в проводимости меди участвует по одному электрону от каждого атома, а в проводимости вольфрама – по два.

Концентрация свободных электронов ne пропорциональна концентрации атомов. В соответствии с условием задачи выражения концентрации свободных электронов в меди и в вольфраме

Ответ а. Медь содержит на 25 % больше электронов проводимости в единице объёма, чем вольфрам.

Скорость υ дрейфа заряженных частиц в электрическом поле связана с плотностью тока j уравнением j = q0 neυ, где q0 – заряд одного носителя тока; ne – концентрация свободных носителей тока, в данном случае – электронов. Отсюда дрейфовая скорость носителей

152

υ= q0 jne , а также искомое отношение скоростей электронов в меди

ив вольфраме при одинаковой плотности тока ( j = const )

j = ρ1эл E , где ρэл – удельное электрическое сопротивление провод-

ника. Учитывая, что плотности тока одинаковы (по условию), найдём отношение напряжённостей

Ответ в. Чтобы создать в меди такую же плотность тока, как в вольфраме, требуется приблизительно в 3 раза меньшая напряжённость электрического поля.

Пример 6. Красная граница внутреннего фотоэффекта

селенида кадмия составляет λгр1 = 0,73 мкм при абсолютном нуле температуры, тогда как красная граница внешнего фотоэффекта – λгр2 = 0,27 мкм. Определить ширину запрещённой зоны, работу выхода электрона из вещества и положение уровня Ферми.

νгр1 и λгр1 – частота и длина волны, соответствующие красной границе внутреннего фотоэффекта.

Ширина запрещённой зоны данного полупроводника

E= hc ; E= 6,63 10−34 Дж с 3,0 108 м/с = 2,7 10−19 Дж=1,7 эВ. λгр1 0,73 10−6 м

153

1.Горизонтальный цилиндр насоса имеет диаметр D = 4,0 см. В нём движется поршень, выталкивающий воду через отверстие в цилиндре. С какой скоростью будет вытекать вода из отверстия, если его диаметр d = 2,0 мм, а скорость поршня 0,15 м/с?

2.Из отверстия в стенке сосуда вытекает вода. Диаметр отверстия 0,5 см, что много меньше диаметра сосуда; уровень воды находится на высоте 1,5 м над отверстием. Сколько литров вытечет за 10 мин?

3.Определить время истечения несжимаемой жидкости из открытого цилиндрического сосуда высотой 4,9 м, заполненного до краёв. Диаметр небольшого отверстия в дне сосуда в 60 раз меньше диаметра сосуда.

154

4.Тяжёлая пустая бочка ёмкостью 300 л и высотой 1 м затонула в вертикальном положении на глубине 5 м. В дне бочки имеется отверстие диаметром 2 см. Оценить время, в течение которого в бочку будет поступать вода. Сколько литров воды окажется в бочке? Температура воздуха внутри бочки 15 °C. Атмосферное давление равно 100 кПа.

5.В резервуаре танкера, заполненном нефтью, образовалась круглая пробоина диаметром 10 мм. Высота уровня (напор) нефти над центром отверстия составляет 3 м. Полагая, что отверстие не затоплено водой, т. е. истечение происходит при атмосферном давлении, рассчитать объёмный расход жидкости через отверстие. Будет ли вытекать нефть, если отверстие образуется на глубине 3 м под водой?

6.Сопло фонтана имеет форму усеченного конуса, суживающегося

вверх. Диаметр нижнего сечения dн = 6 см, верхнего dв = 2 см. Высота сопла h =1 м. Фонтан выбрасывает вертикальную струю воды высотой Н = 5 м. Пренебрегая сопротивлением воздуха в струе и сопротивлением в сопле, определить: а) расход воды Q; б) разность между давлением в нижнем сечении сопла и атмосферным давлением.

7.Краскопульт выбрасывает струю жидкой краски со скоростью

25м/с. Плотность краски 800 г/л. Определить давление, создаваемое компрессором в краскопульте.

8.Бак цилиндрической формы c площадью основания S1 = 1,0 м2 заполнен водой. Пренебрегая вязкостью, определить время, за которое

вытечет три кубометра воды через круглое отверстие площадью S2 = 1,0 см2 в дне бака.

9.Жидкое топливо плотностью ρ = 0,8 г/см3 впрыскивается под

10. Поршень движется со скоростью 10 см/с в горизонтальном цилиндре диаметром 5,0 см и выталкивает воду через отверстие диаметром 1,0 мм. Каково избыточное давление в цилиндре?

155

Задание 42. Поверхностное натяжение

1.Каким может быть наибольший диаметр пор в фитиле керосиновой лампы, чтобы керосин поднимался на высоту h = 10 см? Считать поры фитиля цилиндрическими трубками, а смачивание – полным.

2.В дне сосуда с водой имеются отверстия. Каким может быть наибольший диаметр отверстий при высоте столба воды 5,8 мм, чтобы жидкость из сосуда не выливалась?

3.Полый цилиндр, подвешенный на пружине, своим нижним торцом соприкасается с жидкостью. При медленном опускании поверхности жидкости пружина растянулась и, когда деформация её достигла значения ℓ = 5,3 мм, цилиндр оторвался от жидкости. Жёсткость пружины k = 0,97 Н/м. Внутренний диаметр цилиндра равен 25 мм, внешний – 26 мм. Определить поверхностное натяжение жидкости по данным этого опыта.

4.Требуется разделить две пластины, смоченных изнутри каплей глицерина массой m = 0,15 г, прикладывая силу по нормали к поверхности. Оценить значение этой силы при следующих допущениях: пятно жидкости имеет форму круга; толщина слоя d = 2 мкм; смачивание полное.

5.Ареометр плавает в жидкости, полностью смачивающей его стенки. Диаметр вертикальной цилиндрической трубки ареометра

9,0 мм. Плотность жидкости 800 кг/м3, поверхностное натяжение 30 мН/м. Если вследствие замасливания ареометр станет полностью не смачиваемым этой жидкостью, то на сколько изменится глубина погружения ареометра?

6.Какую энергию надо затратить, чтобы выдуть мыльный пузырь диаметром 12 см? Каково будет добавочное давление внутри пузыря?

7.Через капельницу с наконечником, диаметр которого d = 1,5 мм, прошло 50 капель растительного масла. Их общая масса m = 0,84 г. Определить поверхностное натяжение σ данной жидкости.

8.Капиллярная стеклянная трубка, верхний конец которой запаян, опущена вертикально в широкий сосуд с водой. Чтобы уровень воды в трубке сравнялся с уровнем жидкости в сосуде, потребовалось дополнительно погрузить трубку на 1,5 % её длины. Атмосферное давление 101 кПа. Считая смачивание полным, определить внутренний диаметр трубки.

156

9. Если платиновую проволоку диаметром 1 мм смазать жиром, чтобы она не смачивалась водой, то будет ли она плавать на поверхности воды?

10. Определить массу 20-ти капель глицерина, прошедших через капельницу с диаметром отверстия 1,0 мм.

Задание 43. Упругость твёрдых тел

1. Гранитная колонна построена из 30-ти цилиндрических блоков, установленных вертикально один на другой. Высота каждого блока в ненапряжённом состоянии h0 = 50,0 см. Оценить относительную деформацию нижнего блока.

2.На медный болт диаметром D = 5 мм, пропущенный через

отверстие в недеформируемой детали толщиной ℓ = 150 мм, навинчивают гайку до касания с деталью. На какую максимальную длину ℓ можно продвинуть гайку по болту при её дальнейшем вращении? Каково максимальное растягивающее усилие? Допустимое механическое напряжение для меди σдоп = 0,05 ГПа.

3.Требуется установить вертикально чугунную трубу, внешний диаметр которой 500 мм, толщина стенки 25 мм. Какой может быть высота трубы, чтобы давление на установочную поверхность не превышало 5,0 МПа? Оценить относительную деформацию трубы после установки.

4.Стальную ленту прямоугольного сечения 100×5 мм2 растянули на 1,0 мм, приложив силу 15 кН. Какова длина ленты?

5.Медный образец сечением S = 50 мм2 и длиной 1,00 м нагрузили так, что его продольный размер изменился на 18 мкм. Определить максимальную силу упругости и объёмную плотность энергии упругой деформации в образце.

6.Медную и стальную проволоки одинакового сечения S = 3,0 мм2 и длины ℓ = 1,0 м срастили концами. Каково будет общее удлинение составной проволоки, если к ней подвесить груз 10 кг? Рассмотреть случаи параллельного и последовательного соединения.

7.При изготовлении предварительно напряжённого железобетона

в стальных прутьях арматуры создали механическое напряжение σ = 100 МПа. На сколько удлинился при этом прут длиной ℓ0 = 5,0 м и сечением S = 3,0 см2? Какое растягивающее усилие F приложено?

157

9.Для определения модуля упругости Е к стальному образцу сечением S = 100 мм2 и длиной ℓ = 1,00 м приложили растягивающую нагрузку F = 15,0 кН. Длина образца увеличилась при этом на

700мкм. Какое значение величины Е получено в данном опыте?

10.С неподвижного вертолёта равномерно опускают груз 20 кг на медной проволоке сечением 3,5 мм2. Когда проволоку выпустили на длину ℓ, механическое напряжение σ проволоки у верхнего её конца стало на 7,0 % больше, чем в начале спуска. Найти длину ℓ выпущенной части проволоки, удлинение ℓ и относительное удлинение ℓ/ℓ в конце спуска.

44.Теплоёмкость твёрдых тел26

1.Вычислить теплоёмкость кристалла флюорита (CaF2) в форме куба с ребром 5,0 мм. Плотность CaF2 равна 3,2 г/см3.

2.Молярная теплоёмкость твёрдого тела изменяется по параболическому закону С = 67·10-6·Т 3, где С – молярная теплоёмкость, Дж/(моль·К); Т – температура, К. Какое количество теплоты потребуется для нагревания 0,5 моль этого вещества от 20 до 50 К ?

3.Экспериментально установлено, что удельная теплоёмкость меди линейно изменяется от 385 до 420 Дж/(моль·К) при повышении температуры от 50 до 350 °С. Проверить расчётом, согласуются ли эти данные с теорией Дебая.

4.Определить удельную теплоёмкость каменной соли (NaCl) при нормальных условиях.

5.Теплоёмкость медного образца при нагревании от 20 до 50 К

изменялась по закону С = 1950 (Т /ΘD)3 , где С – теплоёмкость

образца, Дж/К; Т – температура, К. Найти количество подведённой теплоты.

26 Во всех задачах на теплоёмкость табличные значения удельной теплоёмкости твёрдых тел неизвестны. Их вычисляют через молярные теплоёмкости и плотности тел. При низких температурах (Т << θD) учитывается закон Дебая. Значения θD приведены в таблице (см. прил. 6).

158

6.На сколько повысится температура медного образца массой 500 г, если к нему подвести 20 кДж тепла? Нагревание происходит при температурах Т > ΘD, где ΘD – температура Дебая.

7.Кристалл диоксида кремния (SiO2) нагрели от 800 до 900 К, затратив 1,0 кДж тепла. Каков объём нагреваемого твёрдого тела?

8. Размеры железного цилиндра: длина L = 10 см; диаметр D = 5,0 см. Сколько теплоты потребуется для его нагревания от температуры Т1 = 500 К до Т2 = 520 К?

9.При нагревании алюминия массой 0,5 кг от 200 до 250 К

Т – температура, К. Оценить количество подведённой теплоты.

10. Определить молярную и удельную теплоёмкости фторида лантана (LaF3) при температурах Т выше температуры Дебая (Т > ΘD). Плотность кристаллического LaF3 равна 5,8·103 кг/м3.

Задание 45. Электропроводность твёрдых тел

1. Результаты измерения электрического сопротивления кварцевой нити представлены в табл. 15. Построить график зависимости lnR(1/T), где T – абсолютная температура. Ток какой силы I пройдёт через данный образец кварца при напряжении U = 500 В и температуре Т = 500 К?

2. Сопротивление образца кремния с примесью сурьмы, измеренное при15 оС, равно 3,4 кОм. Зная, что энергия ионизации примесного атома составляет 0,039 эВ, рассчитать сопротивление при 50 оС. Вклад собственной проводимости не учитывать.

3. Ширина запрещённой зоны олова Е = 0,08 эВ. Работа выхода Авых = 4,5 эВ. Определить красную границу внутреннего фотоэффекта λгр1 и красную границу внешнего фотоэффекта λгр2.

4. Какова средняя скорость дрейфа электронов в серебряном проводнике сечением S = 1 мм2 при силе тока 10 A? Считать, что в проводимости участвует по одному электрону от каждого атома.

159