n 1 !

4n 1 n

4.22а)

;

б)

;

в)

nlnn.

7n

n 1 n 2n

n 1

n 1

2n 3n

n2 3n n2

2

4.23а)

;

б)

;

в)

n

n

1.

n

5n

2

1

n 1 6

n 1

n 1

2n 1

2n

ln n 1

4.24а)

;

б)

;

в)

.

n 1

n 1 2n 1 !

n 1 n 1 n

n 1

n1

3n 1 n

3n2 1

4.25а)

;

б)

;

в)

.

2

n

1

5n

3

n

3

n

n 1

n 1

n 1

С

§8. Знакопеременные и знакочередующиеся ряды

Определен 1. Ряды, содержащие как положительные, так и

члены, называются знакопеременными.

отрицательные

Пусть дан знакопеременный ряд

a1 a2 an .

(1.23)

an

n 1

бА

Рассмотрим ряд, состоящий из модулей всех членов ряда (1.23):

a1 a2

Д

(1.24)

a3 an .

1 n 1

1

1

1

n 1

1

1

1

.

2

2

2

32

4

2

n2

n 1 n

1

1

1

1

1

,

1

22

32

4

n2

2

n 1n2

сходится (см. пример 1, §7), следовательно, и данный ряд сходится.

С

Знакопеременный ряд (1.23) называется абсо-

Определение 2.

лютно сходящимся, если сходится ряд (1.24), составленный из моду-

лей его членов.

Определен е 3. Ряд

a1

a2 an

цательнымичленами.

если

он

сходится, а ряд

называется

условно

сходящимся,

a1

a2

an

, составленный из модулей его членов, расхо-

дится.

бА

Теорема 1 показывает, что исследование сходимости знакопере-

менных рядов свод тся к исследованию сходимости рядов с неотри-

Мы огран ч мся

сследованием знакочередующихся рядов, яв-

редующимися рядами вида

Д

a

a

a

(1.25)

2

3

1 n 1a

n

,

1

ся ряда.

И

Теорема 2 (признак Лейбница). Знакочередующийся ряд (1.25)

сходится, если:

его члены убывают по модулю,

a1 a2 a3 an

;

(1.26)

его общий член стремится к нулю,

lim an 0.

(1.27)

n

При этом сумма S ряда (1.25) удовлетворяет

неравенствам

0 S a1.

не отрицательны, следовательно, S2n 0.

С

не убывает при n ,

Кроме того, последовательность S2n

ввиду того, что

S2n 2 S2n a2n 1 a2n 2 S2n.

другой стороны, S2n можно представить в виде

причемS 0.

a2n 1 a2n.

S2n a1 a2 a3 a2n 2

Так как каждое выражение в скобках не отрицательно и an не

отрицательно, то последовательность четных частичных сумм не

бА

S,

убывает огран чено сверху; значит, она имеет пределlim S2n

n

Частные

суммы

S2m 1 можем

представить в

виде

S2m 1 S2m a2m 1, отсюда

lim s2m 1 lim S2m a2m 1 lim S

2m lim a2m 1

m

m

m

m

S 0 S .

Д

Следовательно, и lim Sn S .

n

Так как S2n 0, то и S 0, а из второго представления S2n

при

n 1 имеем S2n a1 a2

a3 b a1.

Отсюда 0 S lim

S

n

b a , что и требовалось доказать.

n

1

И

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд

1 .

1 n 1

1 1 1 1 1 1 n 1

3

3

3

3

3

n 1

n

2

3

4

n

1

1

1

1

1

.

(1.28)

1

n 13 n

3 2

3

3

3

4

3

n

цию f x

1

, x 1. Эта функция непрерывна, монотонно убывает и

3

x

f n

1

, следовательно,

условие интегрального признака удовле-

3 n

творено. Имеем

2

1

2

1

M

x

3

M

3

3

dx lim

x

3

dx lim

M

,

|

lim

1

x

1 3

M 1

M 2

1

M 2

2

3

так как lim M

3

.

расходится

M

Итак, ряд (1.28)

, т.е. исходный ряд не является абсо-

Слютно сходящ мся.

Исследуем ряд на условную сходимость.

Воспользуемся пр знаком

. Имеем

Лейбница

1

1

1

1

1

,

3

2

3

3

3

4

3

n

lim an lim

1

0.

3 n

n

n

Оба условия признака Лей ница выполняются, значит, ряд явля-

ется условно сходящимся.

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд

2 n 1

4 8

Для

16

2 n 1

А

.

n 1 3n 1

4 10

28

3n

1

Решение. Исследуем ряд на абсолютную сходимость.

этого

рассмотрим ряд, состоящий из абсолютных величин

2

n 1

4

8

16

2

n 1

.

(1.29)

3n 1

n 13n 1 4

10 28

Для исследования знакоположительного ряда (1.29) воспользу-

емся признаком Даламбера. Имеем

n 2

n 1

n 2

n 1

an 1

2

2

2

И

lim

lim

n

:

n 1

` lim

n 1

3

n

1

n an

3

1 3

1

2

n

n

n 1

n

1

1

2

2 3

3

2

3

3n

lim

3n

lim

6,

1

n

n 1

n

n

1

1

2

3

1

3n

3n

солютно сходящ мся.

и

Пр мер 4. Исследовать данный ряд

С

n 1

2

2

4

2n

1

1 n 1

. (1.30)

n 1

2n 1

3

5

2n 1

1 0бА, т.к. lim 0.

Решен е.

Исследуем данный ряд на абсолютную сходимость.

Для этого рассмотр м ряд, состоящий из абсолютных величин

2n

2

4

2n

.

3

5

2n 1

n 1 2n 1

Имеем