- •Введение
- •Глава 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
- •§2. Свойства сходящихся рядов, подобные свойствам сумм
- •§3. Необходимый признак сходимости ряда
- •§4. Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами. Признак сравнения
- •§6. Признак сходимости Коши
- •§7. Интегральный признак сходимости
- •§8. Знакопеременные и знакочередующиеся ряды
- •§1. Определение функционального ряда
- •§3. Функциональные ряды. Критерий Коши
- •§6. Теорема Абеля. Радиус сходимости степенного ряда
- •§8. Разложение функции в степенные ряды. Ряд Тейлора
- •Глава 3. ПРИМЕНЕНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ К ИССЛЕДОВАНИЮ УПРУГОГО ИЗГИБА БАЛКИ
- •§ 1. Общая схема решения задач
- •§ 2. Изгиб балки
- •§ 5. Случай сосредоточенной нагрузки
- •§ 7. Прогиб от сосредоточенного момента
- •§ 8. Статически неопределимая балка
- •Глава 4. ПРИМЕНЕНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ К ИССЛЕДОВАНИЮ УРАВНЕНИЙ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ
- •§ 1. Уравнения гиперболического типа
- •§ 2. Начальные и граничные условия
- •§ 4. Продольные колебания стержня
- •5.1. Задача о вынужденных колебаниях струны при отсутствии начальных возмущений
- •Библиографический список
§3. Необходимый признак сходимости ряда
При анализе рядов, полученных в результате моделирования ка- кой-нибудь конкретной задачи, возникают два вопроса: во-первых, сходится ли полученный ряд, т.е. стабилизируется ли моделируемый процесс, и если он сходится, то, во-вторых, найти его сумму. Во многих практических задачах принципиальное значение имеет ответ на первый вопрос. Поэтому мы уделим основное внимание вопросу ус-
тановлен я пр знаков сходимости рядов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
Рассмотр м необходимое условие сходимости ряда. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
Теорема 1. |
Кр терий Коши (необходимые и достаточные усло- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
сход мости ряда). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Для того, что ы последовательность a1,a2,...,an ,...была сходя- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
щейся, необход мо |
достаточно, чтобы для любого 0 существо- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
вал такой номер N, что при n > N и любом p > 0, где р – целое число, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
выполнялось |
неравенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
вия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an p |
an |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
Доказательство (нео ходимость). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
бы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
Пусть an a, |
тогда для любого числа 0найдется номер N |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
такой, что неравенство |
|
a an |
|
выполняется при n>N. При n>N и |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
любом целом p>0 выполняетсяАтакже неравенство |
|
a an p |
|
|
|
. Учи- |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
тывая оба неравенства, получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
an p an |
|
|
|
(an p |
a) (a an ) |
|
|
|
an p |
a |
|
|
|
a an |
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д |
|||||||||||||||||||||||
|
Необходимость доказана. Доказательство достаточности рас- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
сматривать не будем. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Сформулируем критерий Коши для ряда. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
Для того, чтобы ряд u1 u2 ... un |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
... un был сходящимся, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
необходимо и достаточно, чтобы для любого 0 существовал номер N такой, что при n>N и любом p>0 выполнялось бы неравенство
un 1 un 2 ... un p .
12
признаки сходимости: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1) Теорема 2. Если ряд (1.2) |
сходится, то его общий член an |
||||||||||||||||||||||||||||||||
стремится к нулю. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство. Пусть ряд (1.2) сходится и lim Sn S . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
||||
Тогда имеем также lim Sn 1 |
|
S . Так как an Sn Sn 1, при n 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
получ м |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S S 0. |
|
|||||||||||||||||
lim an |
lim |
Sn |
Sn 1 lim Sn lim Sn 1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Что требовалось доказать. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
ледств е 1. |
|
|
|
|
|
|
n й член стремится к нулю, еще не сле- |
||||||||||||||||||||||||||
дует, что ряд сход тся, ряд может и расходиться. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Пр мер 1. Ряд |
2 |
|
4 |
|
|
|
6 |
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
7 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
расход тся, так как |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
3n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||
lim a |
n |
lim |
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0. |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
n |
|
n |
3n 1 |
n |
3 |
|
1 3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
||
Однако на практике применить непосредственно критерий Коши |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
не очень удобно. Поэтому, как правило, используются более простые |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
При вычислении предела воспользовались тем, что lim |
1 |
0. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
бАn n |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Подчеркнем, что рассматриваемый признак является только не- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
обходимым, но не является достаточным, т.е. из того, что член |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
стремится к нулю, еще не следует, что ряд расходится, |
ряд мо- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
жет и расходиться. Примером такого ряда может служить гармониче- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д |
|||||||||||||||||||
ский ряд (1.5). Он расходится, |
хотя lim an |
lim |
1 |
0. Чтобы дока- |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
зать это, напомним, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n n |
|
|
|
||||||||||||
|
1 n |
|
|
|
n 1 n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
e, т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
e . |
|
|
(1.17) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
И |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Логарифмируя неравенство (2.17) по основанию e, получим |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n 1 n |
lnl |
|
|
|
|
|
nln |
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
ln |
|
|
|
|
|
|
, или |
|
|
|
|
1. |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
13
Отсюда
|
|
|
|
|
|
|
ln |
n 1 |
|
|
1 |
|
|
,или |
|
ln n 1 ln n |
1 |
. |
|
|
|
|
(1.18) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|||||||||||
Подставим |
в (2.18) |
|
поочередноn 1,2,3,...,n 1,n. |
Получаем |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
неравенства |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
ln2 1,ln3 ln2 |
1 |
,ln4 ln3 |
1 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
эти |
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
lnn ln n |
1 |
1 |
|
|
|
,ln n 1 lnn |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
С n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
лож в почленно |
|
|
|
неравенства, получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
бА |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ln n 1 1 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
т.е. |
|
част чная |
|
|
|
|
|
сумма |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
гармонического |
ряда |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Sn 1 |
1 |
|
1 |
1 ln n 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
2 |
|
3 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Поскольку limln n 1 , получаемlim Sn , следовательно, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
гармонический ряд расходится. Существует множество рядов, для ко- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
торых lim un 0, но которые тем не менее расходятся. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример 2. Исследовать сходимость ряда |
|
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
n 1 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
||||||||
Решение. |
Заметим, |
|
что |
|
|
|
lim un =lim |
|
n |
0, т.е. |
необходимое |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
условие сходимости выполнено. Частичная сумма |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Sn 1 |
1 |
|
... |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
... |
1 |
|
|
|
|
n |
|
1 |
|
, |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
поэтому |
lim Sn |
lim n |
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
, |
а это значит, что ряд рас- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n |
|
n |
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ходится по определению. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) Если ряд сходится, то последовательность его частных сумм ограничена.
Однако этот признак также не является достаточным. Например, ряд 1-1+1-1+1-1+ … +(-1)n+1+… расходится, т.к. рас-
ходится последовательность его частных сумм в силу того, что
14
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, при |
четных |
n; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, при нечетных n. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
Однако при этом последовательность частных сумм ограничена, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
т.к. |
|
Sn |
|
|
2 при любом n. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задачи для решения в аудитории |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
Задача. Доказать, что ряд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
un |
расходится, если: |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
|
un |
|
n2 |
3n 10 |
; |
|
б) |
u |
|
|
|
3n 1 |
2n |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3n 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
10n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3n 2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
бА |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
в) |
|
un |
n sin |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
г) |
u |
|
|
2n |
1 1 |
. |
|
|
||||||||||||||||||||||
и2n 1 |
|
|
|
n |
|
|
|
2n 3 3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Индивидуальные задания |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказать расходимость ряда |
un , используя необходимый при- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
знак сходимости [4]. |
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
n 2 |
|
|
||||||||||||||
|
u |
n |
|
|
|
3n 4 |
; |
|
|
|
|
|
|
un |
|
|
|
|
|
|
; |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 n3 2n 4 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
|
|
И |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
n |
1 |
|
n |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
u |
n |
3 5 |
|
|
|
2n 3 |
; |
Дu ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
5. |
|
u |
|
|
|
|
|
4n 1 |
|
|
|
; |
|
6. |
un |
cos |
|
; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
100n 36 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
7. |
|
un |
tg |
|
n |
; |
|
|
|
|
|
|
8. |
un |
|
n 3 n |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4n 1 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
un |
|
3n |
|
4n |
; |
|
|
|
un |
|
n2 2n 1 ; |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4n 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6n 5n 6 |
|
|
15