§8. Разложение функции в степенные ряды. Ряд Тейлора

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2018.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.01.2021

Размер:

2.61 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1811 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

rn x Tn x rn x , (2.38)

умма всякого сходящегося степенного ряда является некоторой функцией, определенной внутри круга сходимости этого ряда (а

также, быть может, еще и в некоторых точках его границы).

СВо-вторых, можно по заданной функции искать сходящийся ряд того или ного т па, сумма которого в области сходимости равнялась бы заданной функц . Эта задача называется разложением функции в

В связи с этим возникают две задачи.

Во-первых, можно по заданному ряду искать ту функцию, кото-

рой равна его сумма в области сходимости ряда. Эта задача называется сумм рован ем сходящегося ряда.

ряд.

ейчас мы займемся вопросами разложения функций в степен-

ные ряды. В дальнейшем

удут рассматриваться также разложения

функц й в

ряды. Наряду со степенными рядами

гонометрические

относительно переменной х, т. е. рядами вида

удобно

(2.26)

a x a

x2 a

нам будет

рассматривать также ряды, степенные относительно

переменной x х0 , ряды вида

a x х

x х

n . (2.27)

Ясно, что подстановкой у x х0

второй из этих рядов превра-

щается в первый. Поэтому если круг сходимости первого ряда состо-

ит из всех точек, для которых

R, то по тем же самым причинам

круг сходимости второго ряда состоит из всех тех точек у, для кото-

рых

R т. е.

х x0

R. Иными словами, на прямой, на которой

изображается независимая переменная х, интервал сходимости ряда (2.27) имеет тот же радиус R, что и круг сходимости ряда (2.26), а центр его расположен в точке х0.

Таким образом, интервал сходимости ряда (2.27) получается путем сдвига интервала сходимости ряда (2.26) на х0 вправо (очевидно, если х0 <0, то фактически происходит сдвиг влево).

1. Коэффициенты Тейлора. Ряд Тейлора

Предположим, что функция раскладывается в степенной ряд в интервале х x0 R:

f x a

a x x

x x

2 a

x x

n .

(2.28)

Найдем коэффициенты ряда (2.28), выразив их через значения

функции f x и ее производных в точке

x0. Для этого, полагая в

(2.28) x x0, получим

f x0

a0.

(2.29)

По теореме о д фференцируемости степенных рядов из (2.28)

наход м

n 1

3a3 x x0

nan (x x0)

(2.30)

f x a1 2a2 x x0

Полагая в (2.30) x x0, получим

a1.

(2.31)

бА

Д фференц руя о е части (2.30), находим

x 2 1a2 3 2a3 x x0 4 3a4 x x0

n n 1 an x x0 n 2

(2.32)

Полагая в (2.32) x x0, получим

f x0

2 1a2.

(2.33)

Продолжая

дифференцировать полученный ряд и подставляя

x x0, будем иметь

f x0 3 2 1a3,

f IV x0 4 3 2 1a4,

f n x0 n n 1 n 2 3 2 1an ,

или

f n x0 n!an , n 0, 1, 2, ,

где полагаем f 0 x0 f x0 .

Из полученных формул и определим

коэффициенты ряда (2.28):

f x

a0 f x0 ,

0И0

, a2

,an

. (2.34)

Определение 1. Числа

n x

называются коэф-

n 0

, 1, 2,

фициентами Тейлора функции f x в точке x0.

Подставим значения an

из (2.34) в (2.28), получим

f x f x0

f x0

x x0

f x0

x x0 2

f n x

x x0 n . (2.35)

Определение 2. Ряд

f x0

x x0

f x0

x x0 2

Если

f n x0

x x0 n . (2.36)

бА

называется рядом Тейлора функции f x

в точке x0.

Из пр веденных выше рассуждений следует.

Теорема 1.

функция

f x разлагается в степенной ряд

(2.28), то это разложение единственно и совпадает с разложением

функц f x в ряд Тейлора функции в точке x0

Если в (2.36) полагать

x0 0, то получим ряд Маклорена для

функции f x

f x f 0

f 0

f 0 x2

n 0

xn , (2.37)

который является частным случаем ряда Тейлора.

Из приведенных выше рассуждений следует, что если функция

f x имеет в точке x0	производные любого порядка, то для нее мож-
		И
но составить ряд Тейлора или (при x0 0) ряд Маклорена (2.35).
Определение 3. Функция		f x называется порождающей для
соответствующего ряда.
2. Многочлены Тейлора. Формула Тейлора
Определение 4.	Частичные суммы Sn x ряда Тейлора (2.35)
обозначаются через	Tn x и	называются многочленами Тейлора

функции f x в точке x0.

Тогда ряд Тейлора функции f x можно представить в виде

где rn x остаток ряда.

Таким образом, если функция f x имеет в точке x0 производ-

ные до n го порядка включительно,					то для нее можно составить
многочлен Тейлора степени n. Хотя в ряд Тейлора эта функция может
и не разлагаться. Для таких функций можно записать равенство
f x f x		f x0	x x	0	f n x0	x x	0	n

С0	1!				n!			Rn x ,

где Rn x разность между f x и Tn x , т.е.									(2.39)

и				f x Tn	x .				(2.40)
		Rn x
Определен е 5. Формула (2.39) называется формулой Тейлора,
бА

а Rn x называется остаточным членом формулы Тейлора.

Рассматриваются различные выражения для остаточного члена

Rn x формулы Тейлора. Мы остановимся, без доказательства, на од-

ном из них, известным под названием “остаточный член формулы

Тейлора в форме Лагранжа”. Если функция

f x

имеет в некоторой

окрестности точки x0 все производные до n 1 го порядка вклю-

чительно,то для любого из x этой окрестности имеет место

n 1 t

n 1

n 1 !

где t некоторая промежуточная точка между x0

и x. Тогда с учетом

(4.62) формула Тейлора (4.60) примет вид

f x f x0

f x0

x x0

f x0

x x0 2

f n x

f n 1 t

n 1

x x0

. (2.42)

n 1 !

Если x0 0, то получим частный случай формулы Тейлора,

формулу Маклорена:

f x f 0 f 0 x f 0 x2 f n 0 xn

f n 1 0

n 1

. (2.43)

n 1 !

Пример

Написать

формулу

Маклорена

для

функции

f x x2ex с остаточным членом в форме Лагранжа для n 4.

Решен е. При n 4 из (2.42) имеем

f x f 0

f 0

Наход м про зводные до порядка 4 1 5 включительно:

2xe

2x x e ;

f x e x

иf x e x 2xe 2x x e ;

2 2x e

2x x e

2 4x x e ;

2 4x x e

6 6x x e ;

x 4 2x e

f 4 x 6 2x ex 6 6x x2 ex 12 8x x2 ex ;

f 5 x 8 2x ex 12 8x x2 ex 20 10x x2 ex .

Для нашего случая:

2 0 0

f 0 0 e

0, f

бА

0 2 4 0 0

0 6 6 0 0

f 4 0 12 8 0 02 e0 12,

t 20 10 t t

e .

20 10t t2 et

6x3

12x4

Следовательно,

или x2ex x2 x3

20 10t t2 et

x5, где

, t и x одного

знака.

3. Сходимость ряда Тейлора к порождающей функции

Если рассмотреть функцию, которая имеет в точке x0 производные любого порядка, тогда для нее можно составить ряд Тейлора (2.36). Нас интересует вопрос: всегда ли составленный ряд Тейлора (2.36) сходится к порождающей его функции? Существуют функции, ряды Тейлора которых сходятся, но не к порождающей их функции или являются даже расходящимися. Ниже приведем теоремы, которые позволяют получ ть положительный ответ на этот вопрос.

Теорема 2. Ряд Тейлора (2.36) сходится к порождающей функ-
ции f x в некоторой окрестности точки x0 тогда и только тогда, ко-
С			x в формуле Тейлора в каждой точке окре-
гда остаточный член Rn			x в формуле Тейлора в каждой точке окре-
стрем тся к нулю.
Доказательство. Пусть ряд (2.36) сходится к функции f x в
некоторой окрестности			x ,т.е. f x lim S				x ,		где S		x n я час-
стности0				n		n				n
тичная сумма ряда (2.36), которая совпадает с многочленом Тейлора
n й степени Tn x для функции f x , т.е. Sn x Tn x .
Тогда		x lim f x T x lim f x S							x
lim R	n	x lim f x T x lim f x S						n	x
n	n	n	n	n				n
f x lim Sn x f x f x 0.
		n
Докажем обратное, пусть lim Rn x 0, тогда
				n
lim S	бА
n	n	n n	n		n
f x lim Rn x f x 0 f x ,
		n		Д
что и требовалось доказать.

Замечание. Если ряд Тейлора (2.36) сходится к порождающей

функции, то Rn x rn x , т.е. остаточныйИчлен формулы Тейлора равен остатку ряда Тейлора.

На основании теоремы 2 сформулируем теорему, которая дает простое достаточное условие сходимости ряда Тейлора к порождающей функции и может быть применима при разложении функции.

Теорема 3. Если все производные функции f x ограничены в некоторой окрестности точки x0 одним и тем же числом, то для любого x из этой окрестности ряд Тейлора функции f x сходится к ней, т.е. имеет место разложение.

f x f x0

f x0

x x0

f x0

x x0 2

f n x

x x0

. (2.44)

4. Разложение элементарных функций в ряд Тейлора

Огран ч мся частным случаем x0 0,

т.е. рядами Маклорена,

функция

которые чаще спользуются на практике.

а) Разложен е функции f x ex

x e

Замет м, что f

, f

. Тогда

x e

f 0 f 0 f

0 e

Следовательно,

сопоставляется в ряд

Для доказательства сходимости данного ряда к порождающей функции ex нужно показать, что ex вместе со всеми своими производными ограничена в некоторой окрестности точки x0 0.

Для данного x найдем интервал h;h , содержащий число x, и

обозначим бe M . ТогдаАдля любой производной функции имеем

f n x

ex eh M .

Отсюда по теореме 3 сумма ряда сходится, т.е. равна порож-

дающей его функции на всей числовой прямой:

Д3 n

ex 1

(2.45)

б) Разложение функции f x sin x

Найдем производные данной функции:

x sinx,

f x cosx,

f x sinx,

x cosx,

f 5 x cosx, f

6 x sin x,

f 7 x cosx, .

Вычислим

значение функции

и ее производных

для x0 0;

f 0 sin0 0,

f 0 cos0 1,

f 0 sin0 0,

0 sin0 0,

0 cos0 1,

f 0 cos0 1,

f 6 0 sin0 0, .

Таким образом получаем, если n четное, т.е. n 2k ,

где k 0,1,2..., то

f n 0 sin0 0.

Если n нечетное, то рассмотрим случаи:

n 4k 1,

n 4k 3,

k 0,1,2,... .

Для первого случая имеем

f n 0 f 4k 1 0 cos0 1.

Для второго случая

f n 0 f

4k 3 0 cos0 1.

бА

Уч тывая далее,

что производные функции sinx ограничены на

всейимч словой прямой, по теоремееем

3 получаем

sin x 0

Отбросив члены с нулевыми коэффициентами, получим

sinx x

1 n

x2n 1

(2.46)

2n 1!

Нетрудно показать, что согласно теореме 3

sinx

равен сумме

этого ряда на всей числовой оси, т.к. все производные функции sinx

ограничены.

f x cosx

в) Разложение функции

Повторяя рассуждения и выкладкиД, аналогичные случаю функ-

ции sinx, получаем

cosx 1

1 n

x2n

(2.47)

2n !

Учитывая далее, что производные функции cosx ограничены на всей числовой прямой, по теореме 3 получаем сходимость ряда (2.47) к порождающей его функции f x .

г) Разложение функции f x ln 1 x

Для разложения функции f x ln 1 x в ряд Маклорена воспользуемся формулой для суммы геометрической прогрессии

1	1 x x2 x3 1 n xn ,	(2.48)

1 x

которая имеет место, если x 1.

Применим теорему об интегрируемости степенных рядов и проинтегрируем ряд (2.48) в пределах от 0 до x.

x	1	x	x	x	x
	1	dx xdx x2 dx 1 n			xn dx
	1 x	dx xdx x2 dx 1 n			xn dx
0	1 x	0	0	0	0

или

n xn 1

ln 1 x |

| 1

С0

3 0

n 1

откуда

ln 1 x x

n xn 1

(2.49)

и2

n 1

Если x 3, то получим числовой ряд

ln2 1

1 n ,

n 1

который является сходящимся, как гармонический. Таким образом,

разложение (2.49) верно в промежутке 1;1 .

д) Разложение функции f x arctgx

бА2

Заменяя в (2.48) x на

, получим разложение

1 x2

1 n x2n ,

(2.50)

1 x2

в промежутке 1;1 . Интегрируя ряд (2.50) на отрезке 0;x ,

x 1;1 ,

получаем разложение в ряд функции

arctgx x

1 n 1

x2n 1

(2.51)

2n 1

полученный ряд сходится при x 1;1 . ДействительноИ, подставим в

(2.51) x 1 и, учитывая, что arctg1

, получаем разложение

1 n 1

2n 1

которое является сходящимся числовым рядом и может быть использовано для приближенного вычисления .

Замечание. При интегрировании ряда (2.50) воспользовались

arctgx.

формулой

01 x

x 1 x α ,

е)

Разложение функции f

где произвольное действительное число. Нетрудно показать, что

функц я 1 x

в нтервале сходимости 1;1 представима рядом

1 x

1 2

1 2 n 1

(2.52)

обо

Более того, можно показать,

что при 0

разложение (2.52)

верноив х концах интервала 1;1 , т.е. имеет место на отрезке

1;1 , а при 1 0 в правом конце, т.е. на полуинтервале 1;1 .

Определен е 6. Ряд (2.52) называется биноминальным рядом.

§9. Примеры практического применения

степенных рядов

1. ВычислениеАзначений функций

Пример 1. Вычислить число e, т.е. значение функции ex при

x 1, с точностью до 0,001 (если известно, что e 3).

Решение. Имеем

ex 1

Тогда

ex 1

И,

причем абсолютная погрешность этого приближения равна

r x

n 1, где

. При x 1 получаем

n 1 !

										e 1						1				1									1			.
										e 1																						.
															1!				2!										n!
									et													et
При этом h											1n 1							n 1 !, где													0 t 1,
При этом h								n 1 !			1n 1							n 1 !, где													0 t 1,
но так как et e1 3, то h															3						.
но так как et e1 3, то h													n 1 !								.						3
Ч		сло n определ м из равенства																									3						0,001.
Ч		сло n определ м из равенства																								n 1 !							0,001.
Если
Откуда	3			10 3					, т.е.			n 1 ! 3 103															3000.
Сn 1 !
			взять n 5, то 5 1 ! 1 2 3 4 5 6 720 3000.
			бА
Возьмем n						6,			6 1 ! 1 2 3 4 5 6 7 5040 3000.
Следовательно,
		e 1 1 1 1 1															1						1	2						1				1	1
						2!			3!			4!			5!				6!								2							2 3	2 3 4
			1						1					2								1			1			1						1	1
	2 3 4 5													2											6
	2 3 4 5						2 3 4 5 6												2						6		24						120		720
2.718.
Пример 2. Вычислить cos18 с четырьмя верными знаками.
																		Д
Решение. По формуле (2.47) §7 имеем
					cosx							x2				x4							x6								1 n x2n
					cosx				1			2!				4!			6!														2n ! .
																															И
Так как угол 18 в радианах (с точностью до 10																																			5) равен
18				0,31416, то
180
			cos18 1							0,31416 2													0,31416 4										0,31416 6			.
			cos18 1																														0,31416 6			.
												2												2 3 4										2 3 4 5 6

Для знакочередующихся рядов абсолютная погрешность при замене суммы ряда некоторой его частичной суммой не превышает модуля первого отброшенного члена. Поэтому вычисление слагаемых проводим до тех пор, пока слагаемое по модулю не станет меньше 0,0001. Непосредственной проверкой убеждаемся, что

0,31416 6

0,0001,

значит,

достаточно ограни-

2 3 4 5 6

720

читься тремя слагаемыми

cos18 1

0,31416 2

0,31416 4

0,901709.

2 3 4

2. Интегр рован е функций

Пр мер 3. При

зучении теории вероятности важную роль иг-

рает функц я

F x

e 2 dx,

называемая функц ей Лапласа, или интегралом вероятностей.

Вычисл ть

нтеграл непосредственным интегрированием нельзя, так

как e

2 dx не выражается через элементарные функции.

Заменяя в разложении (2.45) x на

, получаем

n 1

e 2 1

бА2

Это разложение,

как и разложение для ex, имеет место на всей

числовой оси, поэтому его можно почленно интегрировать, т.е.

1 n 1 x2n

Дdx

1 x

24 2!0

3!0

n 1

2 3

n!0

2!5

3!7

1 n 1x2n 1 .

22n n! 2n 1

Тогда

F x

1 n 1x2n 1

2 3

2!5

3!7

n! 2n

сходящимся на всей числовой прямой оси. Вычислить значение

функции F x

очень просто, так как ряд быстро сходится.

3. Выч слен е определенного интеграла

при

11 cos2x

Пр мер 4. Выч слить интеграл

dx с погрешностью

h 0,0001, где

x 0 значение подынтегральной функции прини-

мается равным ед н це.

бА

Решен е.

Из формулы (2.47), заменяя

на

2x2, получаем

cos2x2

1 n

2n !

4x4

24 x8

26 x12

22n x4n

1 cos2x2

1 n

2n !

Делением о еих частей последнего равенства на x находим

1 cos2x2

24 x7

n 1

22n x4n 1

2n !

Это разложение, как и разложение для

cosx,

имеет место на

всей числовой оси, поэтому можно почленно интегрировать:

11 cos2x2

1 4x3

1 2

4 x7

1 n 1

4n 1

4 x

2n !

6!12

2!4

4!8 0

28 x16

8!16

135

2520

Данный ряд является знакочередующимся, для которого остаток ряда по модулю не превосходит модуль первого члена остатка ряда. Таким образом, вычисления проводятся до тех пор, пока слагаемое по модулю не будет меньше 0,0001.

Так как h	r			1		0,0001, то достаточно взять
				1

	n		2520
			2520
11 cos2x2					dx		1	1	1	0,1657.

		x					2	12
0		x					2	12	135
С

4. Интегрирование дифференциальных уравнений

Рассмотр м теперь применение рядов Тейлора к решению дифференц альных уравнений. Пусть заданы дифференциальное уравне-

чальные услов я, можно разложить в степенной ряд,

циентаминие и начальные услов я, определяющие частное решение. Допустим, что решен е уравнен я в окрестности точки, в которой заданы на-

y a0 a1 x x0 a2 x x0 2 an x x0 n .

Прод фференц руем этот ряд с неопределенными пока коэффи-

столько раз, каков порядок уравнения.

Подставляя затем в уравнение вместо неизвестной функции и ее производных соответствующие ряды, мы получим тождество, из которого и определим неизвестные коэффициенты ряда. При этом первые коэффициенты ряда определяются из начальных условий. Если, далее, доказать, что полученный ряд сходится, то можно быть уве-

ренным, что он выражает искомое решение.

Достаточно большое число членов ряда дает нам как угодно хо-

рошее приближенноебАвыражение решения в виде многочлена.

Рассмотрим указанный метод на примерах.

Пример 5. Найти

решение

дифференциального

уравнения

xy 0, удовлетворяющее начальным условиям y 0 0, y 0 1.

Решение. Ищем решение в виде ряда

y a

a x a

xn .

Дифференцируем полученный ряд дважды, получаем

y a1 2a2x 3a3x2 nanxn 1

y 2a2 3 2a3x 4 3a4x

Иn 2

n n 1 an x x0

Подставляем в дифференциальное уравнение вместо y и y их разложения, получаем тождество

2a2 3 2a3x 4 3a4x2 n n 1 an x x0 n 2

		a		0	a x a							2	x2 a									n	xn		.
				0	1							2										n
		Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенных x, на-
ходим					2a2 0,												3 2a3						a0,							4 3a4 a1,								5 4a5		a2,			,
n n 1 an an 2, .																		a0								a1							a2						an 3
		Откуда a						0,						a				a0			, a					a1		,		a			a2	,		,a			an 3			, .
							2								3			2 3						4		3 4					5		5 4				n		n n 1
		Для определен я a0																		a1			воспользуемся начальными условиями:
для a0			: y 0 0, для a1 : y 0 1.
С																				1							0									0						1
		Тогда a3 0,														a4			3 4				,		a5		0		,			, a6						,	a7				,
		Тогда a3 0,														a4							,		a5		5 4		,			, a6						,	a7		3 4 6 7		,
																											5 4								2 3 5 6						3 4 6 7
a	8		0				, a		9								0								, a							1					.
a							, a																		, a												.
		4 5 7 8												2 3 5 6 8 9											10					3 4 6 7 9 10
и
		Нетрудно замет ть																							1
																									1
a3m 1 a3m 0, a3m 1 3 4 6 7 3m 3m 1 .
		Значит					1										1															1
		y x					1			x	4						1						x	7								1					3m 1			.
		y x								x						3 4 6 7							x																	.
						3 4										3 4 6 7												3 4 6 7 3m
					бА

С помощью признака Даламбера легко убедиться, что этот ряд является сходящимся на всей числовой прямой и, следовательно, представляет искомое решение дифференциального уравнения при

всех x.
	Заметим, что порядок уравнения нисколько не влияет на метод
решения его при помощи рядов.				И
				метод решения позволяет
решить и нелинейные дифференциальныеДанныйуравнения, которые не ре-
шаются в квадратурах, т.е. непосредственным интегрированием урав-
нения.
	Пример 6. Найти решение			дифференциального уравнения
y	xy	2	1, удовлетворяющее начальному условию y 1 0.

Решение. Это уравнение нелинейное, и поэтому подстановка вместо y его разложения в ряд

y a0 a1 x 1 a2 x 1 2 an x 1 n

привела бы к сложным уравнениям для определения коэффициентов. Поэтому обычно поступают иначе.

Продифференцируем уравнение несколько раз подряд, рассматривая y как функцию от x:

y y2

2xyy ,

y 2yy 2yy

2x y 2

2xyy

4yy

2x y 2

2xyy

4 y

4yy

2 y

2yy

2xyy

4xy y

2xy y

6yy

2xyy

6 y

6xy y

Подставляя во все уравнения и во все производные x 1 и учи-

0, последовательно найдем:

тывая начальное услов

y 1

1 y

Сy 1 1y 1 1 1,

1 2 1 y 1 y 1 0 2 0 1 0,

y 1 4y 1 y 1 2 1 y 1

2 1 y 1 y 1

бА

4 0 1 2 1 1 2 1 0 0 2,

6 y 1 y

1 6 y

1 2 1 y 1 y 1

6 1 6 0 0 2 1 0 2 6, .

Следовательно, скомое решение записывается в виде ряда Тейлора в точке x0 1:

y x 1 x 1 3	x 1 4	.
3	4	точки x 1 дает как
Полученный многочлен в окрестности
Д

угодно хорошее приближенное выражение решения.

Задачи для решения в аудитории

Задача 1. Разложить ln х по степеням х 1 .

5Задача 4. Разлагая подынтегральную функциюИв ряд, вычислить

Задача 2. Пользуясь соответствующим рядом, вычислить cos10

с точностью до 0,0001.

Задача 3. Пользуясь соответствующим рядом, вычислить

arctg1с точностью до 0,0001.


	1 ln 1 x
интеграл	0		dx. Указание. При решении этого примера полезно
интеграл	0	x	dx. Указание. При решении этого примера полезно
			1	2
иметь в виду равенство:					.
иметь в виду равенство:				6	.
			n 1n2	6

	Задача				5.					Найти									решение дифференциального																														уравнения
y xy y 0,														удовлетворяющее																						начальному														условию
y 0 0, y 0 1.
С																					Ответы
С
1.	ln х x 1						x 1 2											x 1 3				1 n													x 1 n 1					. 2.									0,9848.
1.	ln х x 1									2							3					1 n																		. 2.									0,9848.
					2					2							3																			n 1						x2n 1
					2											x	3				x5					x7										n 1						x2n 1
и																												1
3.	0,1973. 4.				. 5.								x															1																						.
			12													3 1 3 5 7!																								2n 1 !!
															Индивидуальные задания
		бА
	Выч сл ть определенный интеграл с помощью разложения по-
дынтегральной функц																			в степенной ряд.																	Обеспечить абсолютную
погрешностьh 0,001:
		0,1	e 5x				2													0,1sin10x2																	121 cosx2
	7.01		e 5x						dx;								7.02												dx;							7.03								x4						dx;
		0																			0			x			x										0							x4
																											x
		0,2		e	5x2					1										0,9 ln 1																	12							3
		0,2			5x2															0,9 ln 1																	12							3
	7.04													dx; 7.05													5			dx;						7.06			e x					dx;
	7.04							x						dx; 7.05											x					dx;						7.06			e x					dx;
		0						x													0				x												0
		0,4																			1																	0,1			e		2x				1
	7.07	0,4	sin3x2 dx;														7.08				2	cos5x3 dx;														7.09		0,1					2x							dx;

																																													x
		0									x										0																		0						x
											x
				ln 1																		x		2													1								2
				ln 1																		x		2													1								2
		0,6								6											3	Д90 2 x
	7.10														dx; 7.11						e			dx			;									7.12		sin										dx;
		0							x												0																	0				x2			2
		0,1								2											0,3		3x2														1	2 e				x2				1
										2													3x2															2 e								1
	7.13		cos5x									dx;					7.14					e				dx;										7.15													dx;
	7.13		cos5x									dx;					7.14					e				dx;										7.15						10x							dx;
		0				x2															0																0					10x
		1				x2																										2																4
		2																			0,4	1 cos7x														И0,2
	7.16	e				5 dx;											7.17					1 cos7x											dx; 7.18									sin				x			dx;
	7.16	e				5 dx;											7.17									x2							dx; 7.18									sin							dx;
		0																			0					x2													0								4
																												x
		1							x			2										ln 1															0,1e					5x			2		1
		1										2										ln 1																				5x			2
	7.19	2 cos											dx;				7.20				0,2							2						;		7.21														dx;
																												2			dx

																										x																		x2
		0				5															0					x											0							x2

cosx

dx;

12 e x3

12 ln

1 x2

dx;

7.22

7.23

dx; 7.24

7.25

12 e 2x2

dx.

Найти первые три числа разложения в степенной ряд решения

дифференц ального уравнения с заданными условиями.

8.01

;

y 0 1,

0 1.

1,y(0) 1.

С8.02 y x y

8.03y ey

xy,y(0)

8.11

yбА2e xy,y 0 0.

8.04

2xy

,y(1)

8.05

,y 2 2.

8.06

y cos x y2,y 0 1.

8.07

y ex

y2,y 0 0.

8.08

;

y 0 1,

y 0 1.

8.09

;

y 0 1,

0 1.

8.10

y y y2,y 0 3.

8.12

y sin x y2 ,y 0 1.

8.13

y ex

y,y 0 4.

8.14

y x2

y2,y 0 2.

8.15

y sinx 0,5y

,y 0 1.

8.16

y 2ey

xy,y 0 0.

8.17

y x x2

y 0 5.

8.18

;

y 1 0,

1 1.

8.19

y 0 0,

0 1.

8.20y e2x

y,y 1 1.

8.21

sin x cos y 0; y 0

y 0 1.

8.22

y 1 0,

y 0 1.

8.23 y e3x y2; y 1 0, y 0 0. 8.24 y e2x y,y 1 1.

8.25 y xy2 x2; y 0 0, y 0 1.

С
§10. Разложение функций в тригонометрические
	ряды Фурье

1. Представлен е функций при помощи других заданных функц й

Часто при зучен и функций появляется необходимость представлен я данной функции при помощи других функций, которые на-

зываются	свойства которых считаются известными.
Пусть дана с стема	азовых функций
базовыми
	1 x , 2 x ,	, n x , .
Представить	данную функцию f x при помощи заданных
функций означает разложить f x в функциональный ряд
f x c1 1 x c2 2 x cn n x ,
где коэффициенты	ci действительные числа. Получив такое пред-
ставление, бАможно аппроксимировать данную функцию при помощи
частных сумм соответствующего функционального ряда. Выбор базо-
вых функций определяется, прежде всего, задачей, которую необхо-
димо решить и свойствами данной функции f x . Как мы видели в
предыдущем параграфе, представление функции степенным рядом
	Д
позволяет вычислить числовые значения функции, значения интегра-
лов, находить решение дифференциальных уравнений.
В случае степенных рядов в качестве базовых служат функции
	1, x, x2,	, xn, .	И

2. Тригонометрический ряд. Коэффициенты Фурье. Тригонометрический ряд Фурье

Если изучаемая функция является периодической (моделируется сложный процесс), то в качестве базовых, естественно, взяты тригонометрические функции вида

Asin kx Asin coskx Acos sinkx acoskx bsinkx,

которые представляют простые гармонические колебания. Такие задачи часто возн кают в электротехнике: представить ток, изменяю-

щийся по сложному закону I

I t , через простые синусоидальные

токи I sin t

. Математическим аппаратом для исследования та-

Сk 0

задач служат ряды, для которых базовыми являются функции

1, cosx, sinx, cos2x, sin2x,

, cosnx, sinnx, .

Определен е 1. Тригонометрическим рядом называется ряд

ких

a cosx b sinx a

cos2x b

sin2x a

cosnx

bn sinnx .

(2.54)

Числа

, a , b ,

, a

b ,

называются коэффициентами

1 1

тригонометрического ряда (2.54).

представляется на отрезке ;

Допустим, что функция

f x

бА

тригонометрическим рядом

an cosnx bn sinnx ,

(2.55)

f x a0

n 1

и предположим, что этот ряд является сходящимся для любого

x от-

резка ; , следовательно,

его можно почленно интегрировать. Не

будем приводить вывод коэффициентов an

и bn, а лишь отметим, что

с помощью приемов интегрирования получаем

И(2.56)

f x cosnxdx,

где n 0, 1, 2, 3,

f x sinnxdx,

(2.57)

где n 0, 1, 2, 3, .

Определение 2. Числа an и bn , вычисленные по формуле (2.56) и (2.57), называются коэффициентами Фурье для функции f x .

Определение 3. Тригонометрический ряд

cosnx b

sinnx ,

n 1

коэффициенты которого совпадают с коэффициентами Фурье для

функц

f x , т.е. выч сляются по формулам (2.56) и (2.57), называ-

ются рядом Фурье функции f x .

Как

в случае ряда Тейлора, ряд Фурье не всегда сходится к по-

Срождающей функц . Для формирования условий сходимости ряда

Фурье к порождающей функции введем

дополн тельные понят я.

f x

Определен е 4.

на-

зывается кусочно-непрерывной на отрез-

Функция

ке a;b ,

если она меет лишь конечное

число точек разрыва первого рода (рис.

2.2), на котором жирными точками обо-

значено значение функции в точках раз-

рыва).

Рис. 2.2

Определение 5. Функция f x

на-

зывается кусочно-дифференцируемой на отрезке a;b , если ее про-

изводная являетсябАкусочно-непрерывной функцией на отрезке a;b

(рис. 2.3).

Сформируем

без

доказательства

следующие теоремы

ирихле,

которые

представляют достаточные условия по-

точечной

сходимости

порождающей

функции, за исключением, быть может,

точек разрыва и границ отрезка.

f x

ку-

Теорема 1. Если функция

сочно-дифференцируема

на

отрезке

Рис. 2.3

; ,

то

ряд Фурье

функции

f x

сходится

во

всех

точках x ; ,

причем в точках непрерывности функции

f x его сумма равна

f x ,

в точках разрыва функции

f x

его сумма равна

f x 0 f x 0

на концах отрезка его сумма равна

f 0 f 0

Функция f x на-

Определение 6.

зывается кусочно – монотонной на от-

резке a;b , если его можно разбить на ко-

нечное число интервалов так, что на каж-

дом из интервалов функция монотонна

причем

(рис. 2.4).

Теорема 2. Если функция f x ку-

сочно-монотонна и ограничена на отрез-

ке ; ,

то ряд Фурье для этой функ-

Р с. 2.4

ции сходится во всех точках x ; ,

в точках непрерывности его сумма равна

f x , в точках раз-

рыва функц

f x его сумма равна

f x 0 f x 0

, а на концах

отрезка его сумма равна

f 0 f 0 .

Теорема 3. Если два равномерно сходящихся тригонометриче-

ских ряда тождественно равны

an cosбnx bn sinnx

Аan cosnx bn sinnx ,

n 1

то эти ряды равны и формально:

a0 a0 ;

an an , где n 0, 1, 2, 3,

;

b , где n 0, 1, 2, 3, .

Пример 1. Разложить функцию f x ,

,	x 0,
f x

x,0 x

на интервале ; в ряд Фурье (рис. 2.5).

Рис. 2.5

Решение. Изобразим функцию графиком. Так как функция f x кусочно-дифференцируема на отрезке ; , в силу того, что ее производная

С														f			0, x 0,
														f	x
																	1, 0 x
																	1, 0 x
имеет лишь одну точку разрыва x 0 внутри отрезка ; , то ряд
Фурье функц										f x сходится к порождающей его функции во всех
точках x					; . При этом значение полученного ряда в концах ин-
циенты1 1																			1
тервала равно													f 0 f 0
																									.
a															2						2		2
a					бАf x cosnxdx cosnxdx
Выч сл м коэфф																	Фурье. По формуле (2.56) имеем
															0
a	0						f x dx								dx					x dx
	0																			0
		1																x	2								2
			dx 1										xdx x\|							\|								0
										0								2		0						2
										0								2								2
2										3	.							Д
2											.
						2	2
				1
				1											1 0
n


	1
	1		x cosnxdx cosnxdx 1																		xcosnxdx.
			x cosnxdx cosnxdx 1																		xcosnxdx.
	0												a						a		0	И

При вычислении интеграла																			xcosnxdx воспользуемся форму-
лой интегрирования по частям																			0
													b						b
													udv u v\|ba vdu.																(2.58)
Приняв												u x,				dv cosnxdx,								откуда					du dx,
v cosnxdx								1	cosnxdnx							sinnx				.
v cosnxdx									cosnxdnx											.
								n									n

Тогда

xsinnx

xcosnxdx

sinnxdx

sin n

0 sin0n

sinnxdnx

cosnx

cos n

cos0

1 n 1

sinnx

cosnxdx

cosnxdnx

sin n sin n

2sin n

иОкончательно меем

1 n 1

1 n 1 1

cosnxdx

xcosnxdx 0

По формуле (2.57) имеем

f x sinnxdx

sinnxdx

бА1

x sinnxdx

sinnxdx

xsinnxdx

cosnx

xsinnxdx.

При вычислении интеграла

xsinnxdx воспользуемся форму-

откуда du dx,

лой (2.58).

Приняв

u x,

dv sinnxdx,

v sinnxdx

sinnxdnx

cosnx

Тогда

xcosnx

xsinnxdx

cosnxdx

cos n

0 cos0

cosnxdnx

1 n

sinnx|

1 n 1

sin n sin0

1 n 1

С2

Окончательно имеем

cosnx

cos n cos n

xsinnxdx

функции

1 n 2

1 n 1

cos n cos n

x соответствует ряд Фурье

ледовательно,

бА

f x

1 n

cosnx

sinnx .

n 1

3. Разложение в ряд Фурье функций, заданных

на отрезке ;

Пусть функция

f x определена на отрезке

; . Тогда подста-

новкой x

переходим к функции f

, которая определена на от-

f x

резке ; . Если

кусочно-дифференцируема на отрезке ; ,

тогда

будет

кусочно-дифференцируемой

на

отрезке

; .

Разлагая в ряд Фурье на отрезке ; функцию

получим

(всюду за исключением, быть может, точек разрыва функции и кон-

цов отрезка ; )

cosnt b sinnt , где

n 1

cosnt dt,

n 0, 1, 2,

Переходя к переменной x,

имеем t

и при этом

t соответствует x , t

соответствует x .

Окончательно,

f x

cos

b sin

x ,

(2.59)

n 1

где

f x cos

x dx,

n 0, 1, 2, ,

(2.60)

f x sin

x dx,

n 0, 1, 2, .

(2.61)

ТакимбАобразом, функцию f x , определенную на отрезке ; , можно разложить в ряд Фурье (2.59), коэффициенты которого вычисляются по формулам (2.60), (2.61). Равенство (2.77) может нарушить-

ся лишь в точках разрыва функции и на концах отрезка ; . Пример 2. Разложить функцию f x x на интервале 1;1 в

ряд Фурье.

Решение. По формуле (2.59) (при 2) имеем

f x x a0

aДcos nx b sin nx .

n 1

Вычислим коэффициенты ряда an

по формуле (2.60) и восполь-

зовавшись формулой интегрирования по частям (2.58), где U x,

dV cos nx dx, откуда dU dx, V

sin nx, получим

1 1

sin nx 1

1 sin nx

xcos nx dx x

sin n sin n

sin nx d nx

cos nx 1

cos n cos n

2 n2

Вычислим коэффициенты ряда bn

по формуле (2.61) и восполь-

зовавшись формулой интегрирования по частям (2.58),

где U x,

dV sin nx dx, откуда dU dx, V

cos nx, получим

cos nx 1

cos nx

С1

xsin nx dx x

1 1

cos n cos n

sinπnx|-1

cos n cos n

sinπn sin πn

πn

2cos n

sin n sin n

2 1 n 1

Таким образом,

бА

f x x

sin2 x

1 sin nx

sin x

для 1 x 1.

4. Разложение в ряд Фурье периодических функций

Если данная функция f x является периодической с периодом

T 2 , f x 2 k f x

и для нее имеет место разложение в ряд

Фурье на отрезке ; , то оно справедливоИи на всей прямой

; .

Действительно, сумма тригонометрического ряда Фурье

если она существует, является периодической функцией с периодом 2 , так как cosnx и sinnx периодические функции.

Аналогично, если функция имеет период, то разложение (2.59) имеет место для всей прямой.

Пример 3. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию
С
f x , определенную следующим образом на периоде (рис. 2.6):
			0, x 0, 2 x ,
	f x		1, 0 x 2,


и
			1 2,x 0, x 2.
бА2 n 1
				Рис. 2.6
Решение.	Данная			функция			кусочно-дифференцируема
(см.рис.2.6),следовательно,				Д0
0		a0		Д0
	f x			a	n	cos nx b	sinnx .
					n		n

Изобразим график функции с ее периодическим продолжением. Применивформулы (2.56)и(2.57),найдёмкоэффициентыФурье.

f x dx

|2 2 ,

f x cosnx dx

sinnx|2

1 cosnx dx

sin2n

sin0

sin2n

100

а если функция f(x) четная, то

f x dx 0,

f x sinnx dx

1 sinnx dx

cosnx|2

cos2n

cos0

1 cos2n

ледовательно, разложение в ряд Фурье функции f x имеет вид

1 cos2n

f x

sin2n

cosnx

sinnx .

n 1 n

Оно справедл во во всех точках непрерывности функции f x .

5. Разложен е в ряд Фурье четных и нечетных функций

Как

установлено, задачу разложения функции f(x) в ряд

было

Фурье на про звольном сегменте [a, b] можно свести к задаче разло-

жения несколько в до змененной функции на сегменте [-π, π]. По-

этому мы далее

удем ограничиваться только этим свойством.

Итак, пусть функция f(х) задана на сегменте [-π, π] и удовлетво-

ряет условиям Дирихле. Займемся исследованием двух частных слу-

чаев.

Напомним, что функция f(x) называется четной, если f x f x

во всей области ее задания; и нечетной, если f x f x ) (также для всех тех х, для которых значение функции определено).

Как легко проверить, произведение четной функции на четную,

	И
равно как и нечетной на нечетную, четно, а произведение четной и
нечетной функции нечетно.	Д

Очевидно, если функция f(x) нечетная, то

f x dx 2 f x dx.

Четность функций изменяется при их дифференцировании и интегрировании.

101

Теорема 4. Производная четной функции является нечетной функцией, а производная нечетной функции – четной.

Доказательство. Пусть функция f(x) – четная. Тогда при любых

х и х должно быть
f x f x , f x х f x х ,
С
откуда
f x х f x					f x f x х	,
	х				х
функции
или переходя к пределу,		f	x f x .

лучай нечетной				f(x) рассматривается аналогично.
бА							а не-
Следств е. Вторая производная четной функции четна,							а не-
четной – нечетна.

Теорема 5. Если функция f(x) нечетна, то ее первообразная F четна.

Если функция f(x)четная, а для ее первообразной F имеет место F(0) = 0, то функция F нечетная.

Доказательство. Пусть функция f x нечетна. Тогда

x	x	x
F x f x dx C f x dx C f x dx C
0	0	0
x		Д
f x dx C F x .
0
Если функция f x четна, то при F(0) = 0
x	x	x	x
F x f x dx f x dx f x dx f x dx F x .
0	0	0	0	;
Пусть	f x нечетная	на отрезке		;	функция, т.е.
				И
f x f x , ее ряд Фурье содержит только синусы, т.е.

	f x bn sinnx dx,				(2.62)

n 1

102

где

f x sinnx dx, n 1, 2, 3, .

(2.63)

; функция, т.е.

Если

f x четная

на

отрезке

f x f x ,ее ряд Фурье содержит только свободный член и коси-

нусы, т.е.

f x

an cosnx,

(2.64)

n 1

Если

где

Сan

(2.65)

f x cosnx dx, n 0, 1, 2, .

бА0

f x с пе-

Аналог чные формулы можно получить для функции

риодом 2 .

f x нечетная функция, ее ряд Фурье имеет вид

(2.66)

f x b

sin nx ,

где

n 1

f x sin

dx, n 1, 2, 3, .

(2.67)

Если f x четная функция, ее ряд Фурье имеет вид

f x

(2.68)

где

n 1

nxdx, n 0, 1, 2, 3, .

f x cos

(2.69)

Задачи для решения в аудитории

Задача 1. Разложить ln х по степеням х 1 .

Задача 2. Пользуясь соответствующим

Ирядом, вычислить cos10

с точностью до 0,0001.

Задача

Пользуясь

соответствующим рядом,

вычислить

arctg1с точностью до 0,0001. 5

103

Задача 4. Разлагая подынтегральную функцию в ряд, вычислить

1 ln 1 x

интеграл

dx. Указание. При решении этого примера полезно

иметь в виду равенство:

n 1n2 6

Задача

Найти

решение

дифференциального

уравнения

y xy y 0,

удовлетворяющее

начальному

условию

y 0 0, y 0 1.

Ответы

1. ln х x 1

x 1 2

x 1 3

1 n

x 1 n 1

. 2. 0,9848.

бА

n 1

x2n 1

n 1

3.и0,1973. 4. . 5. x

3 1 3 5 7!

2n 1 !!

Индивидуальные задания

Разложить данную функцию

f x

в ряд Фурье в интервале

; .

9.01

f x x 1

в интервале ; .

9.02

f x x 2

в интервале 2; 2 .

9.03

f x x в интервале ;

9.04

f x 1

в интервале 1;1 .

9.05

f x

x 0

0 x

в интервале ; .

9.06

f x

1 x

в интервале 2; 2 .

9.07

f x

в интервале ; .

9.08

f x x 1

в интервале 1;1 .

9.09 f x

x 1

в интервале 2; 2 .

104

9.10

x 0;

f x

0 x

в интервале ; .

9.11

3 x 0;

в интервале 3;3 .

f x

0 x 3

9.12

f x 2x в интервале 1 x 1.

x ;

9.13

f x

в интервале x .

9.14

f x

2 x 0;

в интервале 2 x 2.

0 x 2

9.15

бА0, 2 x 0;

f x 2x

в интервале ;

9.16

f x 3x в

нтервале 2 x 2.

9.17

f x

4 x 0;

в интервале 4; 4 .

0 x 4

9.18

1 x 0;

в интервале 1;1 .

f x

2 x,

0 x 1

9.19

f x

в интервале 2; 2 .

0 x 2

9.20

f x 10 x в интервале 5;5 .

9.21

f x

x ,

x 0;

в интервале ; .

0 x

9.22

f x

в интервале ; .

9.23

f x 4 x

в интервале 4; 4 .

9.24

f x

в интервале ; .

9.25

f x x 3

в интервале 3;3 .

105

Вопросы для самопроверки

1.Какой ряд называется степенным?

2. формулируйте и докажите теорему о структуре области сходимости степенных рядов.

3.Дайте определение радиуса и интервала сходимости степенного ряда.

4.Формул ровка леммы Абеля и основных свойств степенных

рядов.
5.Дайте	ряда Тейлора функции f(x) и его коэффи-
циентов.
С	многочлена Тейлора. В чем его отличие от
6.Дайте	многочлена Тейлора. В чем его отличие от
ряда Тейлора?
7. формул руйте	докажите теоремы о сходимости ряда Тей-

лораопределениек порождающей его функции.

8.Разложен е элементарных функций в ряд Тейлора.

9.Выч слен е значений функций и определенных интегралов с помощью степенных рядов.

10.Решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов.

11.Коэффициенты Фурье. Тригонометрический ряд Фурье.

12.Формулировка теорем Дирихле.
		Д
13.Разложение в ряд Фурье функций, заданных на произвольном
отрезке.	бА
14.Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций.
Контрольная работа по разделу «Функциональные ряды»
	Вариант № 1							И
	Вариант № 1
1. Исследовать сходимость степенного ряда. Найти его область схо-
димости		2n 1
		2n 1		x		n	.


	n 1 2n
2. Вычислить определенный интеграл с помощью разложения подын-
тегральной функции в степенной ряд. Обеспечить абсолютную по-
грешностьh 0,001:
	12 ex2		1
	0				dx.
	0	x2			dx.

106

3. Найти первые три числа разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения с заданными условиями.

;

y 0 0, y 0 1.

4. Разложить функцию f x x 1 в ряд Фурье в интервале 2; 2 .

Вариант № 2

1. Исследовать сход мость степенного ряда. Найти его область схо-

димости

(n 1)n xn

n 1

2. Выч сл ть определенный интеграл с помощью разложения подын-

тегральной функц

в степенной ряд.

Обеспечить абсолютную по-

грешностьh 0,001:

1 x

12 ln

dx.

3. Найти первые три числа разложения в степенной ряд решения

дифференциального уравнения с заданными условиями.

y e3x y2,y 1 1.

4. РазложитьбАданную функцию f x

в ряд Фурье в интервале

; .

Вариант № 3

1. Исследовать сходимость степенногоДряда. Найти его область схо-

димости

x 2 n

n 1(3n 3)

2. Вычислить определенный интеграл с помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд. Обеспечить абсолютную погрешностьh 0,001:

0,5 ex3 1

0 x2 dx.

107

y	e	3x	y	2	;
y	e		y		;	y 0 1,y 0 0.
4. Разложить данную функцию						f x 4 x в ряд Фурье в интервале
С
4;4 .
			Вариант № 4
1. Исследовать сход мость степенного ряда. Найти его область схо-
.			(2n 1)xn
			(2n 1)xn
							.
							.
			n 1			n!
бА
2. Выч сл ть определенный интеграл с помощью разложения подын-
тегральнойдимостифункц в степенной ряд. Обеспечить абсолютную по-
грешностьh 0,001:
			1
			2
			x2 cosx2 dx.
			0

Найти первые три числа разложения в степенной ряд решения

дифференциального уравнения с заданными условиями.

xy e

y 1 0, y 1 1.

Разложить данную функцию

f x 2x

в ряд Фурье в интервале

; .

Вариант № 5

Исследовать сходимость степенного ряда. Найти его область схо-

димости

n 12n n2

Вычислить определенный интеграл с помощью разложения подын-

тегральной функции в степенной ряд. Обеспечить абсолютную по-

грешностьh 0,001:

0,1 e x2

dx.

108

3. Найти первые три числа разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения с заданными условиями

y	sin x cos y	0; y 0 0,
y	sin x cos y	0; y 0 0,		y 0 1.
4. Разложить данную функцию		f x 2 x		в ряд Фурье в интервале
С
2; 2 .
	Вариант № 6
1. Исследовать сход мость степенного ряда. Найти его область схо-
		xn	.


	n 1(3n 1)n2

димости2. Выч сл ть определенный интеграл с помощью разложения подынтегральной функц в степенной ряд. Обеспечить абсолютную погрешностьh 0,001:

0,1ln 1 x
	dx.
0	x

3. Найти первые три числа разложения в степенной ряд решения
дифференциального уравнения с заданными условиями.
бА
		2x	Д
y	e		y	,y 0 1.
4. Разложить данную функцию
f x	x ,			x 0;
f x				И
	x,			И
	x,			0 x

в ряд Фурье в интервале ; .

109

Вариант № 7

1. Исследовать сходимость степенного ряда. Найти его область сходимости

n 1(n2 1)n 2n

2. Выч сл ть определенный интеграл с помощью разложения подын-

тегральной функц

в степенной ряд. Обеспечить абсолютную по-

Найти

грешностьh 0,001:

2 dx.

2 cos

бА

первые три числа разложения в степенной ряд решения

дифференц ального уравнения с заданными условиями.

x y

y 0 0, y

0 1.

4. Разлож ть данную функцию

3 x 0;

f x x

0 x 3

в ряд Фурье в интервале 3;3 .

Вариант № 8

1. Исследовать сходимость степенного ряда. Найти его область схо-

димости

(4n 1)xn

n 1 n2

0,2 sinх2

0 х2 dx.

110

y	yy	x	2	;
y	yy	x		;		y 1 0, y 1 1.
4. Разложить данную функцию
С	f x	2 x,					2 x 0;
	f x						0 x 2
		x,					0 x 2
в ряд Фурье в нтервале 2; 2 .
димости					x 1 n
		Вариант № 9
1. Исследовать сход мость степенного ряда. Найти его область схо-
бА
								.
		n 1				1 n2

0,11 cos2x2		dx.
	x2
0

y	x	2	y	2	y 0 1.	И

4. Разложить данную функцию
			Д
	0,			2 x 0;
f x				0 x 2
	x,

в ряд Фурье в интервале 2; 2 .

111

Вариант № 10

1. Исследовать сходимость степенного ряда. Найти его область сходимости

2n xn

n 1 nn

2. Вычислить определенный интеграл с помощью разложения подын-

тегральной функц в степенной ряд. Обеспечить абсолютную по-

грешностьh 0,001:

y,y 0

Найтиy e

2 dx.

первые три ч сла разложения в степенной ряд решения

бА

дифференц ального уравнения с заданными условиями.

4. Разлож ть данную функцию

f x 3x в ряд Фурье в интервале

3 x 3.

Вариант № 11

1. Исследовать сходимость степенного ряда. Найти его область схо-

димости

n 2 x 2 n .

n 1

2. Вычислить определенный интеграл с помощью разложения подын-

тегральной функции в степеннойДряд. Обеспечить абсолютную по-

грешностьh 0,001:

0,5 e x2

dx.

y cosx 0,5y2,y 0 1.

112

4. Разложить данную функцию

1, 3 x 0; f x

3, 0 x 3

в ряд Фурье в интервале 3 x 3.
С	Вариант № 12

1. Исследовать сход мость степенного ряда. Найти его область схо-
димости			x2n 1		.

				3n
		n 1nn
бА
2. Выч сл ть определенный интеграл с помощью разложения подын-
тегральной функц в степенной ряд. Обеспечить абсолютную по-
грешностьh 0,001:
		0,1		2 dx.
			e 2x
		0


	y x2 y2,y 0 2.
	Д
4. Разложить данную функцию f x 2x			в ряд Фурье в интервале
; .		И
	Вариант № 13

1. Исследовать сходимость степенного ряда. Найти его область сходимости

	xn
		.

n 12n n 1

0,1

cosx2 dx.

113

	y ex y2,y 0 2.
4. Разложить данную функцию
С	x,	x ;

	f x
	x,			x

			2

димости		xn
в ряд Фурье в нтервале x		.
	Вариант № 14
бА
1. Исследовать сход мость степенного ряда. Найти его область схо-
					.
	n 12n		n 1

2.	Вычислить определенный интеграл с помощью разложения подын-
тегральной функции в степенной ряд. Обеспечить абсолютную по-
грешностьh 0,001:
		12 sinx	2	dx.
		0 x		dx.
		0 x
3.	Найти первые три числа разложения в степенной ряд решения
дифференциального уравнения с заданными условиями
	y	sinx y	2	,y 0	1.
4.	Разложить данную функцию Дf x 3x в ряд Фурье в интервале
1 x 1.					И
					И

114

Вариант № 15

1. Исследовать сходимость степенного ряда. Найти его область сходимости

С		xn
			.

	n 13n n 1

2. Выч сл ть определенный интеграл с помощью разложения подынтегральной функц в степенной ряд. Обеспечить абсолютную по-

Найтиy		2
грешностьh 0,001:
1		x2
e		2 dx.
0

3.	бА
	первые три числа разложения в степенной ряд решения
дифференц ального уравнения с заданными условиями
	y e x y,y 1 0.
4. Разлож ть данную функцию
	0,	3 x 0;
	f x	0 x 3
	x,

в ряд Фурье в интервале 1;1 .

Вариант № 16

1. Исследовать сходимость степенного ряда. Найти его область схо-

димости	И

	n 1
1Д3n 1
	.
n 1	6n 1

		x
0,1	ln 1
		2
			dx.

	x
0

115

	y хy y2,y 0 1.
4. Разложить данную функцию
С		1,	x 0;
	f x		0 x
		3,
в ряд Фурье в нтервале ; .
димости			x .
	Вариант № 17
1. Исследовать сход мость степенного ряда. Найти его область схо-
бА
			n
		n 1	n2 1

2.	Вычислить определенный интеграл с помощью разложения подын-
тегральной функции в степенной ряд. Обеспечить абсолютную по-
грешностьh 0,001:			0,1 e 3x 1
			0,1 e 3x 1				dx.
			0			x	dx.
			0			x
3.	Найти первые три числа разложения в степенной ряд решения
дифференциального уравнения с заданными условиями.
	y	yy	x	2	;
	y	yy	x		;	y 0 1, y 0 1.
4.	Разложить данную функцию					Дf x x 1 в ряд Фурье в интервале
2;2 .								И
								И

116

Вариант № 18

1. Исследовать сходимость степенного ряда. Найти его область сходимости

x 1 n

n 1 nп

2. Вычислить определенный интеграл с помощью разложения подын-

тегральной функц

в степенной ряд. Обеспечить абсолютную по-

грешностьh 0,001:

Найти

cos2x2 dx.

первые три числа разложения в степенной ряд решения

бА

дифференц ального уравнения с заданными условиями.

;

y 0 1, y

0 1.

4. Разлож ть данную функцию

f x x 1 в ряд Фурье в интервале

1;1 .

Вариант № 19

1. Исследовать сходимость степенного ряда. Найти его область схо-

димости

n 1n2 1

2. Вычислить определенный интеграл с помощью разложения подын-

тегральной функции в степеннойДряд. Обеспечить абсолютную по-

грешностьh 0,001:

0,1

sin2x2 dx.

3.	Найти первые три	числа разложения в степенной ряд решения
дифференциального уравнения с заданными условиями.
		y ex y2,y 0 0.
4.	Разложить данную	функцию f x х в ряд Фурье в интервале

; .

117

Вариант № 20

1. Исследовать сходимость степенного ряда. Найти его область сходимости

2n 1

xn .

n 1n 1

2. Вычислить определенный интеграл с помощью разложения подын-

тегральной функц

в степенной ряд.

Обеспечить абсолютную по-

грешностьh 0,001:

0,5

e x3dx.

первые три числа разложения в степенной ряд решения

дифференц ального уравнения с заданными условиями

sinx

,y 0 1.

Найти

f x 1 x в ряд Фурье в интервале

4. Разлож ть данную функцию

2; 2 .

Вариант № 21

1. Исследовать сходимость степенного ряда. Найти его область схо-

димости

бА

n 1 3n

2. Вычислить определенный интеграл с помощью разложения подын-

тегральной функции в степенной ряд.

Обеспечить абсолютную по-

грешностьh 0,001:

12 ex3

dx.

3. Найти первые три числа разложения в Истепенной ряд решения дифференциального уравнения с заданными условиями.

y y2 x3; y 0 0, y 0 1.

4. Разложить функцию f x x 1 в ряд Фурье в интервале 2;2 .

118

Вариант № 22

1. Исследовать сходимость степенного ряда. Найти его область сходимости

(n 1)n xn

n 1

2. Вычислить определенный интеграл с помощью разложения подын-

тегральной функц в степенной ряд. Обеспечить абсолютную по-

грешностьh 0,001:

Найти

ln1

x dx.

первые три числа разложения в степенной ряд решения

бА

дифференц ального уравнения с заданными условиями.

,y 1 1.

Разлож ть данную функцию

f x

в ряд Фурье в интервале

; .

Вариант № 23

1. Исследовать сходимость степенного ряда. Найти его область схо-

димости

x 1 n

n 1(3n

2. Вычислить определенный интеграл с помощью разложения подын-

тегральной функции в степеннойДряд. Обеспечить абсолютную по-

грешностьh 0,001:

0,5 ex3

dx.

3.	Найти первые три числа разложения в степенной ряд решения
дифференциального уравнения с заданными условиями.
	y	e	x	2y	3	;
	y	e		2y		;	y 0 1,y 0 0.
4.	Разложить данную функцию						f x 2 x в ряд Фурье в интервале
2;2 .

119

Вариант № 24

1. Исследовать сходимость степенного ряда. Найти его область сходимости.

	(n 2)xn
С			.

n 1		n!

Выч сл ть определенный интеграл с помощью разложения подын-

тегральной функц в степенной ряд. Обеспечить абсолютную по-

Найти

грешность h

0,001:

x cos

x dx.

первые три числа разложения в степенной ряд решения

дифференц ального уравнения с заданными условиями.

0; y 1 0, y

1 1.

Разлож ть данную функцию

f x 3x

в ряд Фурье в интервале

; .

Вариант № 25

Исследовать сходимость степенного ряда. Найти его область схо-

димости

бА

n 13n n2

Вычислить определенный интеграл с помощью разложения подын-

тегральной функции в степеннойДряд. Обеспечить абсолютную по-

грешностьh 0,001:

0,1 e x2

dx.

Найти первые три числа разложения в степенной ряд решения

дифференциального уравнения с заданными условиями

sin2x cos2y

y 0 0, y 0 1.

Разложить данную функцию f x 2 x

в ряд Фурье в интервале

2;2 .

120

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1811 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.01.20212.61 Mб22013.pdf
#
07.01.20212.61 Mб1012014.pdf
#
07.01.20212.61 Mб32015.pdf
#
07.01.20212.61 Mб32016.pdf
#
07.01.20212.61 Mб232017.pdf
#
07.01.20212.61 Mб252018.pdf
#
07.01.20212.62 Mб182019.pdf
#
07.01.2021346.19 Кб3202.pdf
#
07.01.20212.62 Mб562020.pdf
#
07.01.20212.62 Mб72021.pdf
#
07.01.20212.62 Mб872023.pdf