Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2018.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.01.2021

Размер:

2.61 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 185 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

11.

3 2n

2 3

12.

un cos

n 1

;

un e

;

6n2 5n 4

13.

14.

un n2

1 sin

;

n 1

;

8n 7

15.

6 3n 22n

;

16.

2n2 3n 1

;

7 22n

3n 1

10n2 15n 3

С17. n 3

18.

2n 1 3n

sin

;

2n 1

19.

бА

20.

2n 1

и un

;

21.

n tg

;

22.

un cos

sin

;

10n 1

23.

5 2

2 5

24.

4n 1

2n 5

;

2 5n 1

100n

;

25.

;

26.

n 1

n 2

n2 4 9n2 1

;

27.

n 4

28.

cos

;

29.

cos

30.

2 4n 1

;

4n 1

5n 7

§4. Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами. Признак сравнения

Существует довольно много примеров, позволяющих устанавливать сходимость или расходимость рядов. Все эти приемы называ-

ются признаками сходимости. В настоящее время известно большое число различных признаков сходимости рядов. С некоторыми из них

мы уже успели познакомиться. Так, например, сходимость ряда можно установить, составив последовательность его частичных сумм и выяснив, имеет ли эта последовательность конечный предел. Этот Сприем, очевидно, является необходимым и достаточным признаком сходимости рядов. Стремление к нулю члена ряда по мере роста его номера также является признаком сходимости ряда, уже только необ-

ходимым, но недостаточным (см. § 3).

К ч слу пр знаков сходимости можно отнести также всякого рода теоремы, позволяющие сводить выяснение вопроса о сходимости некоторого данного ряда к аналогичному вопросу о другом ряде, который устроен олее просто или хотя бы более знакомый.

Эти теоремы о ычно состоят в сравнении членов исследуемого ряда с членами другого ряда, поведение которого уже выяснено. По-

Если bn an для любого n, то из сходимости ряда (1.19)следует сходимость ряда (1.20) и сумма ряда (1.20) не превосходит сумму ряда (1.19); из расходимости ряда (1.20) следует расходимость ряда

этому	называются признаками сравнения. По существу,			все рас-
они
сматриваемые в этой главе признаки сходимости являются такими
признаками сравнен я.		В некоторых из них производится сравнение
исследуемого ряда с конкретными стандартными рядами (например, с
геометрическими прогрессиями). В этих случаях «сравнительная» при-
родапризнакавнешнезатушевывается,но,разумеется,непропадает.
Бездоказательствасформулируемследующиепризнакисравнения.
Теорема 1. Пусть даны два ряда с неотрицательными членами:

	бА				(1.19)
	an	a1 a2 an ,	an 0.		(1.19)
	n 1

	bn b1 b2 bn , bn		0.		(1.20)
	n 1	Д
		Д
		И

(1.19).

Замечание 1. Утверждение теоремы остается в силе, если существует натуральное N такое, что для любого n N выполняется не-

равенство bn an .

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд
1		1	1		1
						.
			lgn
	lg2	lg3		n 2 lgn

Решение. Сравним данный ряд с гармоническим.

Имеем lnn n, значит,															1								1	.
Имеем lnn n, значит,															lnn									.
															lnn						1		n			1				1							1
Так как гармонический ряд																					1					1				1							1	расходится, то
Так как гармонический ряд																														4								расходится, то
С																				2					3					4							n
и данный ряд расходится.
Пример 2. Исследовать на сходимость ряд
										1			1									1													1					.
							1

										2				3
									3	2			3	3								3				n									n 13 n
дится
Решен е. Сравн м данный ряд с гармоническим рядом. Имеем
3 n n, знач т,				1				1 .
				3			n			n
	бА
Так как гармон ческий ряд расходится,																																			то и данный ряд расхо-
.
Пр мер 3. Исследовать на сходимость ряд
		1							1					1											1																		1	.
	1							n 52					n 53													n 5n					1													.
		n 5						n 52					n 53													n 5n															n 1n 5n
Решение. Сравним данный ряд с рядом геометрической
прогрессии 1			1					1						1		, который сходится. Имеем
прогрессии 1								52						5n		, который сходится. Имеем
		5						52						5n
																	1								1			.
																n 5n									5n			.
Следовательно, данный ряд сходится.																																							1
																																							1
Пример 4. Исследовать сходимость ряда																																										.
Пример 4. Исследовать сходимость ряда																																										.
																			Дn 1 n
Решение.					Заметим,								что					lim					un = lim											1		0, т.е. необходимое


																	n											n							n
условие сходимости выполнено. Частичная сумма
		1								1				1						1												1								1
Sn	1					...																			...										n							И

		2									n				n							n											n
		2									n				n							n											n									n	,
поэтому lim				Sn				lim				n		1				lim											,						а это значит, что ряд
														1													n

															n
	n								n						n					n

расходится по определению.

Несмотря на простоту формулировки признака сравнения, на практике более удобна следующая теорема, являющаяся его следствием.

Теорема 2. Если аn 0, bn 0 и существует предел

lim

h, где h – число,

отличное от нуля, то ряды

ведут

n b

одинаково в смысле сходимости.

В качестве ряда, спользуемого для сравнения с данным, часто

выбирают

ряд в да

;

p 0. Такой ряд называется рядом Дирих-

n 1 np

ле. В пр мерах 2

ыло показано, что ряд Дирихле с p

расход тся. Можно показать, что ряд

при р>1сходится, а при

р<1 расход тся.

n 1

Если p 1, то получаем гармонический ряд

...

... .

n 1 n

Гармонический ряд расходится.

Пример 5. Исследовать сходимость ряда

бn 1 А2 n

е 1

n 1

Решение. Возьмем в качестве вспомогательного гармонический

ряд, составим соотношение

и вычислим его предел, пользуясь правилом Лопиталя:

en 1

lim

lim e

Поэтому рассмотренный выше ряд должен расходиться.

2n 1

Пример 6.

Исследовать на сходимость ряд

с по-

мощью предельного признака сравнения.

n 13n2 5n 1

Решение. Так как при достаточно больших

n 2n 1 ~ 2n, а

2n 1

3n2 5n 1 ~ 3n2,

то

Выберем для

3n2 5n 1 3n2

3 n

расходится

, т.е. b

сравнен я с данным гармонический ряд

n 1

lim an lim

(2n 1) n

(см. [5]).

n b

n 3n2 5n 1 3

бА

Поскольку предел конечен и отличен от нуля и гармонический

ряд расход

, то

и данный ряд.

Пр мер 7. Исследовать на сходимость ряд

с по-

мощью предельного признака сравнения.

n 14n4

5n2 1

Решение.

При достаточно

ольших n имеем n2 3n 4

n2 ,

4n4 5n2

1 ~ 4n4 , поэтому

– общий член ряда, с кото-

рым будем сравнивать данный:

lim

n lim

n2 3n 4 n2

(см. [5]).

4n4

5n2

n b

Ряд

сходится (ряд Дирихле с p 2),

поэтому данный ряд

n 1 n2

также сходится.

Пример 8. Исследовать на сходимость ряд

n arctg

n 1

помощью предельного признака сравнения. И

Решение.

lim arctg

поэтому

бесконечно

малую

n 1

arctg

можно заменить на эквивалентную ей при n величину

n 1

3 так какarctg t ~ t при t 0(см. [5]). n 1

Тогда b

– общий член ряда для сравнения.

n 3

lim

n arctg

n lim

n b

n 1

n n 1

Задачи

Так как предел конечен и не равен нулю, а ряд

расходится

n 1

(ряд Д р хле с p 1 ), то данный ряд расходится.

для решения в аудитории

Задача 1. Исследовать сходимость ряда

, если

а)

б1 )

n 1 n

3 n .

;

Задача 2. Исследовать на сходимость ряд un

с помощью предель-

ного признака сравнения, если

n 1

а)

2n2 3

б)

3n3 2n2 4

в)

;

6n5 2n4 1;

sin

n2 1

5n2 1

Ответы

1. а) Ряд сходится, б) ряд расходится. 2. а) Ряд расходится, б) ряд сходится, в) ряд сходится.

Индивидуальные задания

Исследовать на сходимость ряд un

с помощью предельного при-

знака сравнения.

n 1

С8 2

5n 1

;

n6 3n2 2

n2 n

;

n n 9n

(n 1) n

бА4n 4n 1

;

n(n 1)(n 2)

;

(3n 2)(3n 1)

1 ;

;

(2n 1) 53

2n n2

;

10.

sin

;

5n n5

11.

;

12.

;

13.

n 1

arcsinn2

;

14.

;

n 3

15.

16.

5n 6

3 2n

n7 4n5 2

;

un 2n 4 4n4 2n2 3;

17.

3n 2

;

18.

n tg

;

n4 3n2 2n

10n3

19.

n 1 arctg

;

20.

;

(n 2)2

(n 1)(n 2)(n 3)

21.

n2 2n 5

22.

;

n4 2n2 5

32n 3n 1 4

23.

n sin

24.

;

2n3

(4n 1)(4n 3)

25.

sin

2 n

26.

;

4n2

27.

28.

;

un n2 tg4

n5 2

29.

arctg

30.

;

6n n 1

Сn 3

§5. Пр знак сходимости Даламбера

Мы в

пр меры весьма медленно сходящихся и весьма

дели

медленно расходящ хся рядов. В их число прогрессии не входят: если

в прогресс

знаменатель меньше единицы,

то прогрессия довольно

бА

быстро сходится. С другой стороны, если знаменатель прогрессии не меньше единицы, то прогрессия расходится весьма быстро: частичные ее суммы, начиная с некоторого места, растут во всяком случае не медленнее, чем линейная функция.

В связи со сказанным едва ли можно надеяться, что основанный, по существу, только на свойствах прогрессий признак сходимости

Даламбера окажется особенно чувствительным.

Теорема 1. Признак				(Жан Лерон Даламбер
(1717 – 1783) – французский математик). Пусть дан ряд (1.19) с поло-
жительными членами. Допустим, что
		an 1
	Даламбера
	lim
	n an
существует и		an 1
	lim	an 1	.	(1.21)
	lim		.	(1.21)
	n an			И
	n an

Тогда:

если 1, то ряд (4.19) сходится; если 1, то ряд (4.19) расходится;

если = 1, то на вопрос о сходимости ответить нельзя.

Доказательство. 1) Пусть 1, в этом случае существует такая точка q на числовой оси 0x, что q 1. Тогда, начиная с некоторо-

го номера N , при n N , все члены последовательности an 1 будут

							an
находиться в окрестности 0;q , т.е. для всех n N имеем
		an 1	q 1.
		an	q 1.
		an
и				K
Знач т, для n N , N 1, N			2,... получаем неравенства
С	aN 1 qaN ,
			q2aN ,
	aN 2 qaN 1		q2aN ,
			2			3
бАn
	aN 3 qaN 2		q aN		1	q aN	,



	aN K qaN K 1 q aN ,

		Так как 0 q 1, ряд из членов бесконечно геометрической про-
грессии aN aN q aN q2			сходится; следовательно, по замечанию
1 и ряд (1.19) сходится.				an 1	Д
						N ,
		Пусть 1, т.е.lim			1. Тогда, начиная с некоторого
	an 1			an

		1 при n N , т.е. при n N , an 1 an an 1 aN .
	an

щимся, так и расходящимся (см. приведенныеИниже примеры 4 и 5). В этом случае для решения вопроса о сходимости ряда необходимы дополнительные исследования.

Отсюда следует, что lim an 0.

Это противоречит необходимому признаку сходимости рядов. Таким образом, ряд (1.19) расходится, что и требовалось доказать.

Замечание 1. Если 1, то ряд (1.19) может быть как сходя-

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд

3n	3	6	9	3n	.

		3	5	2n 1
n 12n 1

Решение. Имеем

3n 1 2n 1

n 1

3n 1

lim

3n 2n 1

n an

n 2 n 1 1 2n 1

lim

ледовательно, признак Даламбера не дает ответа на вопрос о

ходимое

сходимости данного ряда. Но так как

Сlim a lim

lim

т.е. не выполняется необ-

n 2n 1

бА

услов е сход мости ряда,

значит,

предложенный ряд расхо-

дится.

Пр мер 2. Исследовать на сходимость ряд

n 2 2

n 1 n 2 2

Решение. Для данного ряда получаем

n 2 2

n 1

lim

n 2 2

lim

n an

n n 3 2

lim

4n 4

lim

n n2 6n 9

6 9

1 n

Следовательно, признак Даламбера не дает ответа на вопрос о

сходимости ряда. Сравним данный ряд с рядом

1 3

2 4

3 5

n n 2

n 1n n 2

который, как мы знаем (пример 3, §1), является сходящимся.

меем

n 2 2 n n 2 , т.е.

n 2 2

n n 2

отсюда по теореме 1 получаем сходимость исходного ряда

n 2 2

n 1 n 2 2

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд

n 1 2n 1 !

3! 5!

2n 1 !

Решен е. Напомн м,

2n 1 !

2 1 1 2 2 1 2 3 1 2 n 1 1 2n 1

3 5 7 2n 1 2n 1 .

Имеем

бА

lim

n 1

lim

;

lim

n a

2 n 1 1 !

2n 1 !

2n 3 !

lim

3 5 7 2n 1

lim

2n 1 !

n 3 5 7 2n 1 2n 3

n 2n 1 ! 2n 3

lim

0 1.

n 2n 3

Следовательно, по признаку Даламбера данный ряд сходится.

Пример 4. Исследовать на сходимость ряд

n 1

Решение. Имеем

n 1

n 1 5n

n 1

1 5n

lim

limДlim

n an

n 5n 1

n n

n 1

lim

n 5n

Следовательно, по признаку Даламбера данный ряд сходится.

Пример 5. Исследовать на сходимость ряд

n 1

Решение. Имеем

				a	n 1														2n 1												2n												2n 1 8 6n
		lim			n 1		lim																			:											lim
		lim					lim															n	1			:											lim										n	8 6				n 1
		n an															8 6					n	1				8 6						n					n 2									n					n 1
		n an									n						8 6										8 6											n 2
С																																		n				8															8
																														2 6											1											2				1
																														2 6											1											2				1
																																					6n																6n
		lim				2n	2 8 6n														lim																6n											lim					6n
		lim																			lim																8											lim						8
		n 2n 8 6 6n																						n								n					8													n				8	6
																													6											6
																																																					6n

При																																				6n
При																																																			.
	2 1		1	1,			следовательно,																						по признаку Даламбера ряд сходится.
6		3																																														8
	решен						воспользовались тем, что lim																																											0.
																																								n 6n
		Пр мер 6. Исследовать на сходимость ряд
														2	n				3				5						7					11												2		n	3
														2					3				5						7					11												2			3

											n 1						n!						1						2!					3!														n!
		Решен е. Имеем																																														2n 1 3 n!
				an 1														2n 1 3 2n 3																														2n 1 3 n!
		lim					lim																			:											lim
		lim					lim																			:											lim											n
		n an																	n 1 !												n!								n 2									n		3 n 1 !
		n an									n								n 1 !												n!								n 2											3 n 1 !
													2				n			2			3						n!

																							2		n
																							2
		lim				бА
		n											3
						2n	1											1 2 3 n n 1
						2n	1						2n					1 2 3 n n 1
													2n
													3																															3
										2									n!																			2
										2			2			n			n!																			2				2				n
													2																													2
		lim																								limД
		lim								3																limД
		n								3					n! n 1															n									3						n 1
						1																													1
						1					2n																								1				2n
											2n																												2n
						2				3										1								2														следовательноИ, по признаку
												lim																			0 0 1,
		lim							2n
		lim																									1
		n				1				3				n n 1													1
						1		2n

Даламбера ряд сходится.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 185 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.01.20212.61 Mб22013.pdf
#
07.01.20212.61 Mб1012014.pdf
#
07.01.20212.61 Mб32015.pdf
#
07.01.20212.61 Mб32016.pdf
#
07.01.20212.61 Mб232017.pdf
#
07.01.20212.61 Mб252018.pdf
#
07.01.20212.62 Mб182019.pdf
#
07.01.2021346.19 Кб3202.pdf
#
07.01.20212.62 Mб562020.pdf
#
07.01.20212.62 Mб72021.pdf
#
07.01.20212.62 Mб872023.pdf