§ 7. Прогиб от сосредоточенного момента

функцию n 1

Рис. 3.9

Представ м

проги а, как и выше, в виде

бА

v

x b

sin n x.

M

n

>0 и

заменить момент М парой

вертикальных сил величины

каж-

дая: силы Р1, приложенной в точке с

силы Р ,

и направленной вверх, и ⁄

2

приложенной в точке с + и направленной вниз (рис. 3.10), после че-

го, устремив к нулю, перейти к пределу.

Д

Рис. 3.10

И

1

2

или, после перехода к пределу по

,

vМ

x limvМ

x lim vР

x vР

x .

0

0

1

2

2

М

l

3

1

n

n

n

vМ x lim

c

sin

sin

с sin

x,

l

l

l

0 4EI n 1n4

откуда (проверка законности почленного дифференцирования ряда по

с не составляет труда)

vМ x

2Ml

3

1

1

n

c

sin

n

с

n

x

lim

sin

sin

l

l

l

4EI n 1n4 0

2Ml3 1 n

cos

n

c sin

n

x

l

l

l

С

4EI n 1n4

2Ml2

1

n

n

бА2Ml 1

3

3

cos

l

c sin

l

x.

(3.44)

EI

n 1n

М x

dv

2Ml

1

n

n

M

cos

c cos

x.

(3.45)

dx

2EI n 1n

2

l

l

Правую часть этой формулы мы примем, как и раньше, за опи-

сание угла поворота сечения

алки в точке с абсциссой х.

Найдём значения углов поворота на концах балки, когда на неё

действует момент М в одном из концов

М 0 0

.

2EI n 1n2

И

Воспользовавшись формулой

2

1

Д,

n 1n2

получим

М 0 0

Ml

.

3EI

Аналогично

2Ml 1

n

Ml

М l l

1

,

2

6EI

2EI n 1n

1 n

2

.

n 1 n2

12

§ 8. Статически неопределимая балка

лишние реакц

опор рассматриваются как неизвестные внешние си-

С

лы, которые

вместе с известной нагрузкой осуществляют прогиб,

являются спец фические (в виде рядов Фурье) представления

приема

функц й прог

угла поворота.

Для ллюстрац

сказанного ограничимся примером балки

Рис. 3.11

И

q

0

4ql

3

.

(3.46)

3EI r 0 2r 1 4

2Мl

М 0

1

.

(3.47)

2EI n 0 n2

q 0 М 0 0.

Вместе с (3.46) (3.47) это дает нам

С

4ql3

1

1

2ql3

М

r 0 2r 1 4

.

(3.48)

2Мl

1

2

1

2EI n 0 n2

n 0 n2

Воспользуемся

, приведенными в § 2:

формулами

2

1

;

6

n 1n2

2

1

.

96

n 1

4

2n 1

4

2ql3

М

r 0 2r 1 4

2ql3

96

.

2

1

2

2

n 0 n2

6

Окончательно получим

Д

М

1

ql3,

(3.49)

v x

2ql

4

1

1 1 n cos

n

x

5EI n 1n5

l2 1

l

2 12

ql

2

1

sin

n

x.

4

l

3

r 0 2r 1 4

EI n 1n3

С

Или

4

4

v x

2ql

1

cos

2r

x

2

ql

1

sin

n

x

5EI r 1 2r 5

l

3 EI n 1n3

l

d4vq

q x

Задачи

1 1

n

ql4

4

1

2r

5

5

cos

x

3

3

x .

4

n

EI

2r

l

n 1

l

r 1

для решения в аудитории

редине.

бА

1. Для д фференц ального уравнения изгиба балки

dx4

EI

, сво-

бодно опертой на концах ( краевые условия для функции прогиба

балки имеют вид: v

q

0 v

l

v

0 v

l ). Под действием на неё

q

q

q

рыхлого

груза

веса Р,

равномерно распределенного на

отрезке

l

3l

x

. Найти прогиб балки в её се-

;

,найти функцию прогиба

yq

4

4

Д

d2y

М x

2.

Для дифференциального уравнения изгиба балки

,

dx2

EI

И

свободно опертой на концах ( краевые условиям для функции прогиба

балки имеют вид: