1

1

1

1

1

1

1

1

.

n 2

2

n

n 2

4

2

n 1

2

Отсюда

С

1 1

1

1

1

lim

Sn

lim

n

n 4 2

n

1

2

n

2

lim

1

1

lim

1

1

lim

1

1

,

n 4

2n n 1

2n n 2 4

Задачи

т.к.

lim

1

0

lim

1

0.

n n 1

n n 2

ледовательно, данный ряд сходится и его сумма равна

1

.

бА

4

для решения в аудитории

Задача 1. Исследовать на сходимость ряды:

1

1

.

а)

;

б)

5n 6

n 3 n

2 3n 2

n 4 n2

произвольного числа c ряд

С

can ca1 ca2 can .

(1.11)

n 1

Так же сход тся

его сумма, равная cS . Если же ряд (1.2) рас-

ходится c 0, то

ряд (1.11) расходится.

чим

Доказательство.

Пусть ряд (1.2) сходится и S lim Sn. Обозна-

частные суммы ряда (1.11) через Sn .

n

Тогда

бА

(1.12)

Sn ca1

ca2

can

c a1

a2

an cSn.

Следовательно,

lim Sn lim cSn

c lim Sn

cSn .

n

n

n

Пусть теперь ряд (1.2) сходится, c 0, и допустим противное, что

ряд (1.11) сходится, причем lim Sn

S . Тогда, учитывая (1.12), имеем

n

Д5

S lim cSn

c lim Sn ,

откуда

lim

Sn

S

, что противоречит нашему

n

n

n

C

условию орасходимостиряда (1.2),чтои требовалось доказать.

Пример 1. Известно, что ряд (1.4) сходится. Показать, что схо-

дится и ряд

54 53 52 5 1 1

1

.

5

n 4

Решение. Последний ряд получается из ряда (2.4) умножением

на c 54 , следовательно, он сходится согласно теореме 1.

Теорема 2. Если ряды

Иa (1.13)

a

a

a

n

2

n 1

1

n

и

bn b1 b2 bn

(1.14)

a1 b1 a2 b2 an bn

an bn

(1.15)

вать и вычитать.

С

S lim Sn , где

Доказательство. По условию имеем S lim Sn ,

n

n

S a1 a2 an , S b1 b2 bn.

тичная

b2 an

bn ,

n 1,2,

, час-

Пусть

Sn

a1

b1 a2

сумма ряда (2.15). Тогда

lim Sn

lim Sn

Sn lim Sn

lim Sn S S .

n

n

n

n

бА

ледовательно, каждый из рядов (1.15) сходится и сумма каждо-

го равна соответственно S S

S

, что и требовалось доказать.

Пр мер 2. Исследовать на сходимость ряд

2n 3n

5

13

2n 3n

6n

2

6

36

6n

n 0

и если он сходится, найти его сумму S .

Решение. Данный ряд можно представить в виде

2n 3n

2

n

3 n

1

1

6

n

n

2

n

n 0

n 0 6

6

n 0 3

1

1

1

1

И

1 1

2

.

3

2

2

2

3

Так как ряды

Д

1

1

1

1

1

3

32

3n

n 0 3n

и

1

1

1

1

1

2

22

2n

n 0 2n

венно

S

1

3

, S

1

(см. пример 1).

1

2

1

2

1

1

3

2

С

ледовательно, данный ряд сходится и его сумма равна

S S S

3

2

7

.

и

2

2

Без доказательства сформулируем следствие.

ледств е 1. Разность сходящихся рядов есть ряд сходящийся.

ледств е 2. Сумма расходящихся рядов есть ряд расходящийся.

Пр мер 3. Ряды

бесконечности8 16 24 8n

3n

5 10 15 5n , 3 6 9

очевидно являются расходящимися, так как пределы их частных сумм

равны

.

Их сумма

и разность

2 4 6 2n

также расходящиеся ряды.

Без доказательствАрассмотрим следующую теорему.

Теорема 3. Если в ряде (1.1) добавить или отбросить конечное

число членов, то полученный ряд

И

a1 a2

an

(1.16)

5

1

1

1

1

,

2

53

55

56

5n 1