Глава 4. ПРИМЕНЕНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ К ИССЛЕДОВАНИЮ УРАВНЕНИЙ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ

В гл. 3 описывалось применение рядов Фурье к некоторым ис- Сследованиям упругого изгиба балок [13]. В данной главе мы рассмот-

рим метод решения уравнения колебаний струны методом разделения переменных, который также называется методом Фурье (хотя для случая колебан й струны был предложен еще Даниилом Бернулли).

Фурье.

иущественным для этого метода является также использование рядов

Рассмотр м задачу о сво одных колебаниях струны.

Вывод волнового уравнения.

Струной называется ги кая упругая натянутая нить, не оказы-

вающая сопрот влен я зги у.

Рассмотрим натянутую струну, которая в начальный момент времени совмещена с отрезком [0, l] оси 0х. Пусть концы струны закреплены неподвижно. Если струну тем или иным способом отклонить от первоначального положения и затем предоставить самой себе,

бА§ 1. Уравнения гиперболического типа

то она начнёт совершать колебанияДотносительно положения равновесия, называемые свободными колебаниями (см. рис. 4.1). Требуется найти закон этих колебаний, то есть зависимость перемещения точек

струны от времени x. И Рис. 4.1

149

Будем предполагать, что струна однородна, то есть имеет постоянную линейную плотность ρ [кг·с2/м4] (ρ = γ/g – удельная плотность материала [кг/м3], g = 9,81 м/с2 – ускорение силы тяжести).

Пусть длина струны равна l, а в состоянии равновесия струна прямолинейна и расположена вдоль оси 0х между точками х = 0 и х = l. Если вывести струну из состояния равновесия, подвергнув ее действию какой-нибудь силы, то струна начнет колебаться. Будем считать, что дв жен е всей струны происходит в одной плоскости и что каждая ее точка движется перпендикулярно оси 0х. Смещение точки струны с коорд натой х в момент времени t будем обозначать

что в предположении малости угла поворота элемента (и тем самым тангенса этого угла) приближенно равно х.

и φ + φ. Тогда вертикальная составляющаяДравнодействующей этих двух сил натяжения будет равна

Рассмотрим воздействие на элемент ММ' равнодействующей вертикальных составляющих сил натяжения Т, действующих на его концы. Эти силы действуют в направлении касательных к струне.

Обозначим углы, образуемые этими касательными с осью 0х, через φ И

Т sin ( + )-Т sin .

Ввиду малости углов φ и φ + φ мы можем синусы заменить тангенсами:

Тtg ( + )-Т tg .

Но тангенсы углов наклона касательных равны производным:

150

Сила инерции, действующая на элемент ММ', очевидно равна

2u

t2 x,

где ρ – масса единицы длины струны. Составляя на основании принципа Даламбера (Даламбер Жан Лоран (16 ноября 1717 – 29 октября 1783) – французский механик, физик и математик) уравнение равновесия с л, действующ х на элемент струны, в проекции на ось 0y,

которое и называется уравнением свободных колебанийИструны.

Это уравнение и описывает процесс малых свободных поперечных колебаний струны и называется одномерным волновым уравнением. Это уравнение и его решение впервые были получены Ж.Даламбером в 1743 году.

151

§ 2. Начальные и граничные условия

Уравнению (4.1) удовлетворяет всякое свободное колебание струны, независимо от его физического происхождения, а также от

способов закрепления концов струны в точках х = 0 и х = l.

Сее точкам те ли ные скорости, – то другой. Кроме того, неподвижное подв жное закрепления концов струны приводят, как можно достаточно наглядно себе представить, к весьма различным ее движе-

Вместе с тем совершенно ясно, что если мы выведем струну из положения равновесия и представим самой себе, то характер ее колебаний будет од н, а если, выведя из состояния равновесия, придадим

.

Из сказанного следует, что для определения движения струны, кроме уравнен я (4.1), нео ходимо еще задать начальные условия, описывающ е поведен струны в начальный момент времени t = 0,

Разумеется, в частности, может оказаться, что в начальный момент времени струна не имеет отклонения от равновесного состояния (f(х) = 0) или же неподвижна ( (х) 0).

Граничные условия задачи вместе с начальными ее условиями иногда называются краевыми условиями.

Рассмотрим постановку начально-краевой задачи для волнового уравнения на примере задачи о малых свободных поперечных колебаниях струны конечной длины с закреплёнными концами.

152

Требуется решить однородное волновое уравнение

удовлетворяющее лишь однородным граничным условиям (4.4)–(4.5), в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит только от одной переменной:

В этом равенстве при изменении t леваяИчасть, не зависящая от t, остаётся постоянной, поэтому будет постоянной и равная ей правая часть, то есть обе части равенства (4.7) не зависят от t. С другой стороны, при изменении x правая часть равенства, не зависящая от x, будет оставаться постоянной, значит, будет постоянной и не зависеть от x и равная ей левая часть. Таким образом, обе части равенства (4.7) не зависят ни от x, ни от t. Следовательно, они являются постоянными.

153

Обозначая эту постоянную через μ (её называют постоянной разделения), то есть принимая

иВ результате для определения функции X(x) приходим к задаче на собственные значен я (4.9), (4.10) (задаче Штурма – Лиувилля).

Эта задача меет нулевое (тривиальное) решение 0≡X, не представляющее ф з ческого нтереса, так как тогда

u(x,t) 0.

(Штурм Жак Шарль Франсуа (29 сентября 1803 – 18 декабря 1855) – французский математик, Лиувилль Жозеф (24 марта 1809 – 08 сентября 1882) – французский математик). Однако при некоторых значениях параметра μ, называемых собственными значениями, задача (4.9), (4.10) имеет решения, не равные тождественно нулю. Эти решения называются собственными функциями.

Покажем сначала, что ненулевые решения (4.9), (4.10) существуют при μ˂0. Доказательство от противного. Пусть μ=0. Тогда урав-

Его общее решение будет иметь вид И

Х(х) С1х С2.

Определяя произвольные постоянные из граничного условия (4.10), получаем

С1 С2 0.

154

Тогда

Х(х) 0.

Пусть μ > 0 ( 2, 0). Характеристическое уравнение, со-

155

Если С2 = 0, то опять получим нулевое решение

X (х) = 0.

Поэтому, чтобы существовало нетривиальное решение задачи, необходимо принять

156

Произвольные постоянные An и Bn находим далее из начальных условий. Подстановка (4.19) в (4.5) приводит к равенствам

Выражение (4.19) с учетом (4.22) и (4.23) и даёт окончательное решениезадачи омалыхсо ственныхпоперечныхколебаниях струны.

В полученном решении разные значения n соответствуют различным собственным формам колебаний струны. Функцию

Из (4.24) следует, что все точки струны совершают гармонические колебания относительно положения равновесия с одинаковыми

дольной координаты x точки струны. Такие колебания называются

157

стоячими волнами. При этом максимальное отклонение от положения

равновесия будет достигаться при sin nx 1, то есть в точках с абс- l

циссами x = (2k +1)l/(2n), (k = 0,1,2,...,n-1) на отрезке [0, l]. Точки, в

которых отклонения достигают максимума, называются пучностями. Но при колебаниях струны имеются и неподвижные точки, которые называются узлами стоячей волны. Они определяются из условия

СвремениПервые три формы колеблющейся струны в разные моменты показаны на р с. 4.2.

sin nx 0. Так х точек на отрезке [0, l] будет (n +1) с абсциссами

l

x = kl/n, (k = 0,1,2,..., n).

Рис. 4.2

Результирующее отклонение u(x, t) произвольной точки струны, как следует из (4.19), равно сумме отклонений, соответствующих раз-

Она соответствует основному тону колебаний струны. Как видно, частота основного тона колебаний тем выше, чем сильнее натянута струна и чем она короче и легче. Высшие тона колебаний называются обертонами.

Пример. Найти закон колебания струны длиной l, если в начальный момент струне придана форма кривой

u x l x ,

8l

а затем струна отпущена без начальной скорости. Струна закреплена на концах. Внешние силы отсутствуют.

158