Глава 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

Теория рядов широко используется в теоретических исследова-

ниях различных вопросов естествознания и в приближенных вычис-

лениях. помощью рядов вычисляются значения различных функ-

С

ций, интегралов, решаются дифференциальные уравнения и т.п., в ча-

стности, программы приближенного вычисления значений элемен-

тарных функц й

решения многих стандартных задач,

заложения в

память м кроЭВМ (включая и микрокалькуляторы), основанные на

Числовой

применен теор

рядов [1,2].

§1. Ч словые ряды. Основные понятия и свойства

бА

Определен е 1.

ряд есть алгебраическая сумма бес-

конечного ч сла слагаемых. Всякий ряд имеет, таким образом, вид

a1 a2 a3

an 1 an an 1 .

(1.1)

a1 a2 an an .

(1.2)

Рассмотрим некоторые примеры рядов. В курсе математики

средней школы мы уже встречались с понятием ряда, который полу-

чается при вычислении суммы членовДгеометрической прогрессии:

a aq aq2

(1.3)

aqn aqn .

n 0

Определение 3. Ряд (1.3) называется рядом геометрической

прогрессии.

1

И

Если, например, a 1, q

, то получим ряд

5

1

1

1

1

1

.

(1.4)

5

52

5n

n 0 5n

1

1

1

1

1

(1.5)

2

3

n

n 1n

называется гармоническим рядом.

С

Сумма первых n

членов ряда называется час-

Определение 5.

если

есть,

существует ч

сло

S , для которого S1, S2,..., Sn ,...являются

прибл женными значениями, то S называют суммой ряда и пишут

a1 a2

a3 an S .

(1.6)

бА

Определен е 6.

Ряд (4.1)

называется сходящимся, если после-

довательность его частных сумм (4.6) сходится, т.е. если существует

конечный предел

lim Sn S .

(1.7)

n

Если

lim Sn

не существует или

lim Sn

,

то ряд называется

n

n

расходящимсяи емуне приписывается никакое числовое значение[3].

Пример 1. Исследуем на сходимость ряд геометрической про-

грессии (1.3).

Д

Решение.

a1 qn 1

Sn a

aq aq

2

aq

n

1 q

a aqn 1

a

aqn 1

И

1 q

.

(1.8)

1 q

1 q

Рассмотрим q, удовлетворяющее условию

q

1.

Тогда

aqn 1

aqn 1

a

a

lim S

lim

lim

lim

1 q

1 q

1 q

n

n

n

n

n

1 q

a

a

lim qn 1

a

a

0

a

.

1 q

1 q

1 q n

1 q

1 q

Итак, при

q

1 ряд (1.3) сходится и его сумма S равна

a

. В

1

5

1 q

частности, сумма ряда (1.4) равна S

.

1

1

4

q

1, то ряд (1.3)

5

Если

сходится лишь при a 0. В этом случае

Sn 0 ,

следовательно,

lim Sn

0. Если

a 0 и

q

1,

то из (1.8)

следует, что

n

a1 qn 1

lim 1 qn 1

limS

n

lim

a

a

,

т.е. ряд

С

1 q

1 qn

1 q

n

n

(1.3) расход

тся.

q

1,то получим при q 1 ряд

Если a 0

при

а q 1 ряд a a a ,

(1.9)

a a a a 1 n 1a .

(1.10)

Для ряда (1.9)

lim Sn

lim n a a lim n a , т.е. ряд яв-

n

n

n

ляется расходящимся.

S2n 0,

S2n 1

a,

Для

ряда (1.10)

следовательно,

последова-

тельность частичных сумм a, 0, a, 0,... не имеет предела.

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд

бА

n 1

3

4

5

n

1

.

ln2 ln

ln

ln

ln

ln

2

3

4

n

n

n 1

Решение. Для частных сумм данного ряда имеем

3

4

5

Дn 1

Sn ln2 ln

ln

ln

ln

2

3

4

n

ln

2 3 4 n n 1

ln n 1 .

1 2 3 n

limln n 1 .

Следовательно,

lim S

n

n

n

И

Согласно определению 6 ряд является расходящимся.

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд

1

1

1

1

1

.

3 5

n n 2

1 3

2 4

n 1n n 2

1

A

B

an

.

n n 2

n

n 2

С

и B :

Найдем числа A

A n 2 Bn

1

A B

A B n 2A

n n 2

n

n 2

n n 2

n n 2

.

при A B 0,

Если две равные дроби имеют одинаковые знаменатели, то и их

числители равны, т.е.

1 A B n 2A ли 0 n 1 A B n 2A.

бА1 1 1 1 1

Два многочлена являются равными, если равны коэффициенты

од наковых степенях неизвестных, т.е.

2A 1.

Откуда A

1

, B

1

1 1

1

. Тогда an

,

2

2

n 2

2 n

S1 a1

1

1

,

Д

1

2

3

S

a a

1

,

3

2

2

1

2

2

2

4

S3 a1 a2

a3

1

1

1

1 1

1

1

1

1

3

2

3

2

2 4

2

5

1

1

1

1

1

,

4

4

5

2

2

S4 a1 a2

a3 a4

1 1

1

1

1

1 1

1

4 2

4

2

5

2 4

6

1

1

1

1

1

,

И

4 2

n

1

2

n

2

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Sn

1 1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

2

5

4 2

5

6

7

2 n 1