Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2018.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.01.2021

Размер:

2.61 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1813 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

§ 5. Случай сосредоточенной нагрузки

Пусть балка свободно оперта своими концами при х = 0 и х = l и загружена вертикальной силой Р, приложенной вниз к точке х = с

(рис. 3.7).

Очевидно, в этом случае реакции опор направлены вверх и рав-

ны

P l c

для левой опоры и

Pс

– для правой. Элементарный ста-

бАn P

Рис. 3.7

тическ й расчет показывает,

что для изгибающего момента MP спра-

ведливо соотношен е

P l c

если0 х с;

MP x

(3.27)

Pс

l x ,

еслис х l.

Для коэффициентов m разложения M (x) в ряд Фурье на [0,l] по

синусам (см. (2.67)§ 10, гл. 2) мы имеем

nxdx

MP x sin

( )

или, подставляя выражения для значений функции

согласно

(3.27) отдельно длях с и длях с, имеем

2 P l c c

хsin

l sin

хsin

dx.

(3.28)

136

Интегрирование по частям дает нам при любых а и b

l b

хsin

dx x

cos

n c

cos

sin

Подставляя так е выражения вместо первого и третьего интеграла в (3.28) ( беря второй интеграл непосредственно), мы получаем

2 l c

Сm

cos

sin

n 1 l

cos

1 n 1

sin

или после отбрасывания взаимно уничтожающихся членов

2Pl

sin

nс

(3.29)

бА

Подстановка в (3.25) дает нам

2Pl3

sin

nс

(3.30)

n4EI

и окончательно

2Pl

nс

b sin

sin

(3.31)

4EI

n 1

n 1n4

Производная функция прогиба по длине балки есть тангенс угла поворота φ ее поперечного сечения. Ввиду предположенной жесткости балки этот тангенс мы будем при любой нагрузке R балки отождествлять с самим углом поворота:

dvR x R x . dx

137

Поэтому выражение для Р x может быть получено путем почленного дифференцирования ряда из (3.31):

2Pl

sin

cos

(3.32)

3EI n 1n3

х и с входят в выражение для прогиба балки в

Заметим, что

(3.31) симметрично. Отсюда вытекает известное правило взаимности: прогиб в точке х от с лы, приложенной в точке с, равен прогибу в точке с от с лы той же величины, приложенной в точке х.

грузки

тоящ й в (3.31) ряд сходится весьма быстро, и для практиче-

ских целей достаточно в нем удерживать малое число членов.

Пр мер 1. Найдём прогиб

алки длиной l

в её середине, сво-

бодно опёртой на концах под действием на неё сосредоточенной на-

б2

в точке l .

Решен е. Нео ходимо найти vp

при c

Положив для этого в (3.31) x

, мы получим

2Pl3

sin

4EI n 1n4

Здесь члены, соответствующиеА= 2, 3, 4, обращаются в нуль, а

член с = 5 имеет коэффициент 1/625. Поэтому, ограничиваясь лишь

первым членом ряда и полагая

Pl3

0,017781

4EIДEI

мы допускаем относительную ошибку, не превосходящую 0,002. Действительно, точное значение величины прогиба равно

23Pl3 0,017747Pl3 .

1296EI EI

Рассмотрим теперь случай, когда нагрузка R на балку состоит из вертикальных сил ,..., , приложенных соответственно к точкам с абсциссами = ,..., .

138

В этом случае мы можем искать коэффициент разложения

x b sin nx

n 1

при помощи метода наложения, т. е. на основе соотношения

MR x

MP x ,

(3.33)

i 1

которое вытекает

з (3.1).

Если теперь положить

x mi,n sin nx

СMP

n 1

и, как раньше,

будет

sin nx,

R,n

иn 1

то из (3.33)

следовать

mR,n mi,n .

i 1

Но разложение каждой из функций

нам уже известно. Со-

гласно (3.29)

mi,n

2lPi

sin

ci,

n 2

так что

P sin n c .

R,n

i 1

Поэтому (3.25) дает нам

2l3

P sin

R,n

4EI n4

i 1

и мы получаем

2l3

1 k

P sin

sin

(3.34)

4EI n 1 n4 i 1

139

При применении метода наложения мы пользовались только линейностью соотношения (3.33) и не пользовались линейностью дифференциального уравнения (3.12) и вытекающего из него равенства (3.15). В действительности, однако, мы могли бы это сделать, тогда формула (3.34) получилась бы в результате непосредственного суммирования коэффициентов в ряде Фурье в формулах вида (3.31). Поступая так, мы лишь придерживались обычной в математике «эконо-

мии предположен й», состоящей в том,									чтобы не пользоваться тем,
без чего можно обойт сь.
Пр мер 2.			Найдём прогиб балки длиной l в её середине, сво-
бодно опёртой на концах под действием на неё жесткой однородной
С
фермы весом Р, меющей форму прямоугольного треугольника и по-
ложенной на балку так, что концы стороны фермы, лежащей на балке,
			l				3l
коорд наты А				;0		и В		;0	.
коорд наты А				;0		и В	4	;0	.
				4			4
имеют
Решен е.
Так как			под фермой имеет прогиб, то на балку фактически
действуют две сосредоточенные нагрузки Р и РВ , приложенные в
l			3l
точках А		балка;0 и В ;0 .
точках А	4	балка;0 и В ;0 .
	4		4
Пусть С хс			А
Пусть С хс			; ус – центр тяжести фермы, у которой сторона АВ
						Д
параллельна оси 0х, а сторона BD перпендикулярна оси 0х. Так как
центр тяжести треугольника лежит на пересечении его медиан. то
абсцисса центра тяжести хс					делит сторону АВ в соотношении 2 к 1,
считая от точка А, т.е.

Ахс 2хсВ .

В силу того, что

РА РВ Р,

а система находится в состоянии равновесия, т.е.
РА Ахс РВ Ахс ,И
найдем
Р		1 Р,	Р	2 Р.
	А	3	В	3

140

По формулам (3.31) и (3.34) находим прогиб балки от двух сосредоточенных нагрузок в произвольной точке.

			V x VР								VР					2Pl3 1												n						3 n					nx				.
																								sin						2sin						sin
									А				В											sin				4		2sin			4			sin
									А				В				4EI n 1n4											4					4
			Находим прогиб в её серединеv																								l
			Находим прогиб в её серединеv
																										2
l				2Pl3								1					2k 1														3 2k 1									k
V															sin											2sin											1
V															sin											2sin											1
или																			4													4
	2				4	EI	n	1						4					4													4
						EI				2k 1
Спосле преобразований
l				2Pl3					1					1				1			1							1				1			1						1
						б
V						б														А
V					4							2												2														2						.
2						EI					2				2			81			2								2			625			2							2
			Окончательно получаем
																	l						2		Pl3			82		.
																V						4EI 81								.
																		2				4EI 81
						§ 6. Прогиб									алки от распределенной нагрузки
																				Д
			Пусть балка находится под действием вертикальной нагрузки,
распределенной по ее длине с плотностью q(x) (рис. 3.8).
																			Рис. 3.8												И
																			Рис. 3.8
		Мы будем решать эту задачу способом наложения. Обозначим
через						изгибающий момент, порожденный в балке элементарной
сосредоточенной( )												силой q(с)dc, приложенной в точке х = с, и напишем

интегральный аналог формулы (3.33):

Mq x Mc x dc.

141

Формула (3.24) дает нам

Mq x

mc,n sin

x dc,

0 n 1

где, в соответствии с формулой (3.29),

q c sin

n 2

Знач т,

2l l

Mq x

q c

sin

c sin

xdc.

n 1n2

тоящ й здесь справа ряд можно понимать как функциональ-
ный ряд относ тельной переменной с. Согласно признаку Вейершт-
расса он сход тся равномерно, и потому его можно почленно интег-
рировать:
2l 1		l	n		n
Mq x		q c sin		cdc sin		x.	(3.35)
			l		l
2	n 1n2	0

Для перехода от разложения в ряд Фурье момента

к раз-

ложению в ряд Фурье функции прогиба

нам остается(,

)в соот-

ветствии2

с формулой (3.25), умножить n-й коэффициент( )

ряда (3.35) на

бА

2EIn2 , т.к.

nx .

b sin

n 1

В итоге мы получим

2l3 1

vq x

q c sin

cdc sin

(3.36)

4EI n 1n4

Разумеется, как и в предыдущем параграфеИ, мы могли бы применять метод наложения не к моменту, а непосредственно к прогибам, беря в (3.31) вместо Р элементарную силу q(c)dc и интегрируя ряд почленно по с.

Пример. Рассмотрим распределенную нагрузку, описаннуюв примере из § 3. Для нее

142

q x

если0

х с;

(3.37)

еслис х l.

На основании сказанного в § 10 гл. 2 (переходя от сегмента

к сегменту

) имеем

[0,

]

[0,

]q x qn sin

(3.38)

n 1

где

q x sin

xdx.

Уч тывая в д оп сываемой в (3.37) функции q (х), мы получим

q x sin

xdx

cos

1 cos

.(3.39)

l 0

Подстановка в (3.36) дает нам

2l4

1 1

1 cos

c sin

4EI n 1n4

или

2ql4

(3.40)

1 cos

sin

5EI n 1n5

бА

Дифференцируя

по х, мы получаем выражение для танген-

са угла поворота сечения(

балки)

(который ввиду ее жесткости можно

отождествлять с самим углом):

dvq

2ql3

q x

(3.41)

1 cos

c cos

4EI n 1n4

В частности, если с =l, т. е. если равномерная нагрузка q распре-

делена по всей длине балки, то мы получим

4ql

vq x

sin

(3.42)

5EI r 0 2r 1 5

4ql

cos

2r 1

(3.43)

r 0

143

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1813 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.01.20212.61 Mб22013.pdf
#
07.01.20212.61 Mб1012014.pdf
#
07.01.20212.61 Mб32015.pdf
#
07.01.20212.61 Mб32016.pdf
#
07.01.20212.61 Mб232017.pdf
#
07.01.20212.61 Mб252018.pdf
#
07.01.20212.62 Mб182019.pdf
#
07.01.2021346.19 Кб3202.pdf
#
07.01.20212.62 Mб562020.pdf
#
07.01.20212.62 Mб72021.pdf
#
07.01.20212.62 Mб872023.pdf