11.4. Математические методы исследования

Методы исследований, опирающиеся преимущественно на достижения математики, представлены на рис. 11 [4].

показателя может ыть разложено на слагаемые, где значение каждого из них определяется как произведение соответствующей частной производ-

где у – изменение функции; dx1=x1,к-x1,н; к,н – значения первого фактора в конце и начале анализируемого периода; dx1 – второго фактора.

Монте Карло) состоит в том, что при моделированииИследствий исследуемых процессов используются случайные числа и тем самым непосредственно учитывается вероятностный характер этих следст-

Метод статистических испытаний

Сущность метода статистических испытаний (метода

вий [4].

Официальной датой рождения метода Монте Карло принято считать 1949 г., тогда в журнале американской статистической ассоциации была опубликована соответствующая статья С. Улама и Н. Метрополиса. Сам термин появился во время Второй мировой

52

войны, когда Джон фон Нейман и Станислав Марцин Улам работали в Лос-Аламосе над моделированием нейтронной диффузии в расщепляющемся материале [4].

Методы теории игр С

Методы теории игр используются с целью предварительной про-

работки вариантов предлагаемых решений и их следствий.

При этом предполагается, что участники игры (игроки) преследуют свои собственные цели, обладают волей и на каждое действие

инициатора отвечают совершенно непредвидимым образом. Это предопределяет необход мость рассмотрения и оценки всех возможных ответных действий (противника, оппонента). Игры классифицируют по кол честву противников (в качестве одного из которых может рассматр ваться природа) и по правилам поведения игроков

(правилам гры) [4].

Цена стратегии, выраженная в условных единицах. В матрицах могут использоваться и качественные оценки следствий стратегий. В последующем онипереформулируются вколичественные (балльные).

Смысл записей в матрице следующий: если игрок «Гамма» будет следовать стратегии S1, а игрок «Зета» – стратегии С1, то «Гамма» проигрывает 4 единицы (матрица составлена с позиций игрока

«Гамма») [4].

53

В последующем платежная матрица подлежит обработке. Каждый из игроков анализирует свои худшие исходы. При этом игроков интересуют лучшие варианты из худших. Для «Гаммы» это максимин, а для «Зета» (поскольку матрица составлена с позиций «Гаммы») минимакс.

Представим результаты соответствующей обработки в виде табл. 12 [4].

Таблица 12

Пр мер платежной матрицы парной игры

Из табл. 12 видно, что цена игры для «Гаммы» равна –1, а для «Зеты» – +1. Если цены игры по игротекам совпадают, то имеется так называемая седловая точка, выражающая лучшую стратегию для обоих игроков, которая соответствует условию равновесия.

а для игрока «Зета» – ß1, ß2, ß3 соответственно.

Исходя из принятых обозначений и цели достижения равновесной игры, формируют систему неравенств и вышеотмеченных ограничений, подлежащих решению методом линейного программирования. Система призвана отразить цели каждого игрока с помощью по-

54

казателя υ, представляющего собой цену игры. Система неравенств, исходя из данных табл. 13, имеет следующий вид [4]:

нияНаправленность неравенств объясняется так: первые три уравне- в с стеме (21) отражают желание игрока «Гамма» получить цену игры не меньше υ, а с 5 по 7 уравнения – желание «Зета» достигнуть

использоватьсябАтак называемые деловые игры. Основной сферой их применения является о учение. Между тем деловая игра может помочь выявить нелогичность, проколы в проектах законов и других нормативных актов, инструкциях высветить возможности обхода исполнителями различных инструкций, положений и др.

результата, при котором выигрыш «Гамма» не превысил бы υ.

Наряду с методами теории игр в исследовательских целях могут

Динамическое программированиеД– метод обработки собранной информации с целью получения новой производной, ориентированный на исследование процессов, протекающих поэтапно. Предполагается, что действия, осуществляемые на каждом этапе процесса, не оказывают влияния на результаты действий на предшествующих эта-

Динамическое программирование

пах, а общие результаты процесса складываются из частных поэтап-

55

Б

СиА

рассматривалосьбАприменительно к выбору наиболее экономичной траектории взлета самолета. С этой целью при помощи стендовых замеров работы самолетного двигателя на различных режимах, имитирующих вертикальный взлет и горизонтальное перемещение самолета, были получены данные о расходе топлива. Эти эксперименталь-

Р с. 12. Схемат ческое представление траектории взлета самолета:

А – точка начала дв жен я самолета (отрыва от взлетно-посадочной полосы); Б – точка полного на ора высоты; 2, 9 – расход топлива (натуральных единиц)

при горизонтальном движении на первом километре полета; 6, 7 – при вертикальном взлете на 1 км высоты

Впервые решение задачи динамического программирования

ные данные представляются в видеДсетки цен, выраженных в расходе топлива на различных участках траектории взлета. зложенное может быть условно представлено на рис. 12 [4].

Обработка приведенной на рис. 12 информации сводится к нахождению такой траектории движения самолета из точки (состояния) А в точку (состояние) Б, при которой суммарный расход топлива был

При аналитическом методе решения задачи динамического программирования составляется система так называемых рекуррентных уравнений, выражающих принцип Беллмана (названный так в честь создателя метода американского математика Р. Беллмана), решение которой дает искомый результат [4].

56

При ручном алгоритме решения задачи также реализуется этот же принцип, выраженный советским математиком Е.С. Вентцель сле-

дующим образом: каково бы ни было состояние исследуемой системы в результате какого-либо числа шагов (этапов), на ближайшем шаге нужно предпринимать такое действие (управленческое решение), чтобы оно в совокупности с оптимальными действиями на всех последующих шагах (этапах) приводило к оптимальному состоянию на всех оставш хся шагах, включая данный.

Страектор ей взлета (дв жения из состояния А в состояние Б) самолета является начальный пробег по взлетному полю с последующим плавным набором высоты [4].

Из р с. 12 в дно, что наилучшей при принятых исходных данных

Рассматр ваемый метод может с успехом использоваться для решен я мног х экономических исследовательских задач.

57